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2013高考数学 解题方法攻略 导数求根 理


第一讲 函数与导数—曲线的交点和函数的零点 第三课时 用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数 曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关,解题时,还需要用图 象帮助思考,而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数. 【例 1】 (2008 江西卷, 文)已知函数 f ? x ? ? (Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 1 恰有两个交点,求 a 的取值范围. 【分析及解】 (Ⅰ)令 f ? ? x ? ? x ? x ? 2a x ? x ? x ? 2a ?? x ? a ? ? 0 , 3 2 2 1 4 1 3 x ? ax ? a 2 x 2 ? a 4 ? a ? 0 ? 4 3 得 x1 ? ?2a,x2 ? 0,x3 ? a . 在 a ? 0 的已知条件下, f ? ? x ? 及 f ? x ? 随 x 的变化情况列表如下: x ? ??,? 2a ? ? 减 ?2a 0 极小值 0 ? ?2a, ? ? 增 0 0 极大值 ? 0,a ? ? 增 a ? a,? ? ? ? 减 f ?? x? 0 极小值 f ? x? a 所以 f ? x ? 的递增区间为 ? ?2a, 0 ? 与 ? a,?? ? , f ? x ? 的递减区间为 ? ?? , ?2a ? 与 ? 0, ? . (Ⅱ)要研究函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 1 的交点的情况,就要考虑函数 y ? f ? x ? 的极大值和极小值相对于 y ? 1 的位置. 由 ( Ⅰ ) 得 到 f ? x ?极小值 ? f ? ?2 a ? ? ? 5 4 7 a , f ? x ?极小值 ? f ? a ? ? a 4 , 3 12 f ? x ?极大值 ? f ? 0 ? ? a 4 , y y -2a y=1 a O y=1 x -2a O a x 由图可知, 要 使 f ? x ? 的图象与直线 y ? 1 恰有两个交点,只需 -1- (1) 两个极小值一个大于 1 且另一个小于 1 ,即 ? a 4 ? 1 ? 4 5 3 7 4 a ; 12 (2) 极大值小于 1 ,即 a 4 ? 1 ,即 a ? 12 或0 ? a ?1. 7 2 【例 2】 2008 四川 卷,理) ( 已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x ? 10 x 的一个极值点. (Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围. 【分析及解】 (Ⅰ)因为 f ?( x) ? 所以 f ?(3) ? a ? 2 x ? 10 , 1? x a ? 6 ? 10 ? 0 .因此 a ? 16 . 4 2 ? x 2 ? 4 x ? 3? 2 ? x ? 3?? x ? 1? 16 当 a ? 16 时, f ?( x) ? , ? 2 x ? 10 ? ? 1? x x ?1 x ?1 由此可知,当 x ? ?1,3? 时, f ( x) 单调递减,当 x ? ? 3, ?? ? 时, f ( x) 单调递增,所以, 当 a ? 16 时, x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x 2 ? 10 x 的一个极值点. 于是, a ? 1

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