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3.1.1直线的倾斜角和斜率 学案(人教A版必修2)


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3.1.1 直线的倾斜角与斜率
一、学习目标: 知识与技能:正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线 的倾斜角与斜率的关系. 过程与方法:理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公 式. 情感态度与价值观: 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示, 培 养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.通过斜率概念的建 立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点, 培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 二、学习重、难点 学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围. 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材 82---85 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一 道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及 解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆.(尤其是正切的三角函数值,斜率的计算 公式必须牢记)3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平 行班至少完成 A.B 类题.平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 力争完成 60% 以上. 四、知识链接: 1:一次函数的图象的形状是---(一条直线) 2:确定一次函数的图象的条件是---(两个点) 3:锐角正切函数的定义--- (对边比邻边) 五、学习过程:问题的导入: 大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木,会出现什么现象?(倾斜)本节课我们就重点研究 有关直线的倾斜问题. A 问题 1:对平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由那些条件确定?(两点) B 问题 2:一点能确定一条直线吗?经过一点的直线的位置能够确定吗?它的位置会怎样? (观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜) 直线在倾斜时与那个 量有关?怎样描述直线的倾斜程度呢? A 问题 3:什么是直线的倾斜角?它的范围怎样?写出并背熟,记牢倾斜角及范围! 当直线 L 与 x 轴垂直时, ? ?

A 问题 4:除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗?什么是直线的斜率?只有倾斜角 或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件?

B 问题 5:直线的倾斜角和斜率有什么关系?它们是一一对应的吗?(牢记公式) 【温馨提示】 (1)
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当? ? ( 0, 当? ? (

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?
2

) 时,k ? 0, k随?的增大而增大,k也随?的增大而增大;

?
2

,? )时,k ? 0, k随?的增大而增大,但k随?的增大而减小;

当? ? 0 时,k ? 0; 当? ?

?
2

时,斜率不存在。

(2)平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角,但不是每一条直线都有,倾斜角为 90°的直 线没有斜率,在使用斜率来研究直线时,经常要对直线是否有斜率分情形讨论. (3)倾斜角和斜率都是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的,倾斜角是直接反映这种 倾斜程度的,斜率等于倾斜角的正切值,在以后的学习中将体会到,研究直线时,使用斜率 常常比使用倾斜角更方便. B 问题 6:阅读教材 83---84 页探究如何由直线上的两点求直线的斜率呢?计算公式如何? (牢记公式) 典型例题: A 例 1:已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB、BC、CA 的斜率, 并判断它们的倾 斜角是钝角还是锐角.

B 例 2:在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1、 -1、2 及-3 的直线 L1、L2、 L3、L4

六、达标训练: A1.如图,图中的直线 l1、l 2、l3 、的斜率分别为 k1, k2 ,k3,则( )

y

l2 l3 x l1

A. k1< k2 <k3 B. k3< k1 <k2 C. k3< k2 <k1 D. k1< k3 <k2 A2、若经过 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率为 1,则 m=( ) A、1 B、4 C、1 或 3 D、1 或 4 A3、若 A(3,-2) ,B(-9,4) ,C(x,0)三点共线,则 x=( ) A、1 B、-1 C、0 D、7 B4、直线 ? 经过原点和(-1,1) ,则它的倾斜角为( ) A、45° B、135° C、45°或 135° D、-45° C5、△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线在 x 轴上,求 边 AB 与 AC 所在直线的斜率. C6、若经过点 P(1- a ,1+ a )和 Q(3,2 a )的直线的倾斜角为钝角,求实数 a 的取值 范围. 七、小结与反思 1,掌握直线的倾斜角、斜率及二者关系,会进行倾斜角、斜率的有关运算. 【励志良言】日出唤醒大地,读书唤醒头脑

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【答案】直线的倾斜角与斜率

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问题 3 定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所 成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.[0。,180。) 规定 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 0 0 它的倾斜角为 0 .当直线 L 与 x 轴垂直时, . 倾斜角为 90 问题 4

坡度(比) ?

升高量 前进量

1 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. k ? tan a ? 2 x 2 ? x1 问题 5

y ?y

例 1:解:直线 AB 的斜率 k AB ?

1? 2 1 ? ?4 ? 3 7

直线 BC 的斜率 k BC ?

?1 ? 1 1 ?? 4 2 ?1 ? 2 ?1 0?3

直线 CA 的斜率 kCA ?

由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角;由 k BC ? 0 知,直线 BC 的倾斜角为钝角. 例 2 解:取直线上某一点为 A1 的坐标是 ( x1 , y1 ) ,根据斜率公式有: x1 ? y1 设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1 的坐标是(1,1) .过原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1

l 2 是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线, l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 ) 的直线, l 4 过原点及 A4 ( x4 , y4 )
的直线. 达标训练:1,D 2, A 3, B 4, B 5,KAB=

3 3

KAC= ?

3 3

6, (-2,1)

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