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2017届高考数学二轮复习第1部分专题六解析几何2圆锥曲线的方程与性质限时速解训练文


限时速解训练十六

圆锥曲线的方程与性质

(建议用时 40 分钟) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 解析:选 C.∵ = e -1= 1 B.y=± x 3 D.y=±x

x2

y2 a b

5 ,则 C 的渐近线方程为( 2

)

b a

2

5 1 -1= , 4 2

1 ∴C 的渐近方程为 y=± x.故选 C. 2 2.已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 ( A. 3 C. 3m ) B.3 D.3m
2 2

解析:选 A.双曲线 C 的标准,方程为 - =1,(m>0) 3m 3 ∴a =3m,b =3. 焦点到渐近线的距离为 b= 3. 3.(2016·高考四川卷)抛物线 y =4x 的焦点坐标是( A.(0,2) C.(2,0) B.(0,1) D.(1,0)
2 2 2

x2

y2

)

解析:选 D.先确定焦参数 p,再求焦点坐标. 由 y =4x 知 p=2,故抛物线的焦点坐标为(1,0). 4.焦点为(0,6)且与双曲线 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2 A. - =1 12 24 C. - =1 24 12
2

x2

2

)

x2 y2

y2 x2

B. D.

- =1 12 24 - =1 24 12

y2 x2

x2 y2

解析:选 B.设所求双曲线方程为 -y =λ ,因为焦点为(0,6),所以|3λ |=36,又焦点在 2

x2

2

y 轴上,所以 λ =-12,故选 B.

1

5.斜率为 2 的直线 l 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左、右两支 都相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(-∞, 2) C.(1, 5) )

x2 y2 a b

B.(1, 3) D.( 5,+∞)

解析:选 D.依题意,结合图形分析可知,双曲线的一条渐近线的斜率 必大于 2,即 >2, 因此该双曲线的离心率 e= =

b a

b a

c a

a2+b2 = a

1+? ? > 5. a

?b?2 ? ?

6.若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3, 9 16 则|PF2|等于( A.11 C.5 ) B.9 D.3

x2

y2

解析:选 B.|PF1|=3<a+c=8,故点 P 在双曲线的左支上,由双曲线的定义得|PF2|-|PF1| =2a=6,所以|PF2|=9,故选 B. 7.下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4 C. -x =1 4
2

)

y

2

B. -y =1 4 D.y - =1 4
2

x

2 2

y2

2

x2

解析:选 C.由于焦点在 y 轴上,故排除 A、B.由于渐近线方程为 y=±2x,故排除 D.故选 C. 8.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3),且双曲线的一个焦点在 抛物线 y =4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( A. - =1 21 28 C. - =1 3 4
2

x2 y2 a b

)

x

2

y

2

B.

- =1 28 21

x

2

y

2

x2 y2

D. - =1 4 3

x2 y2

解析:选 D.因为点(2, 3)在渐近线 y= x 上,所以 = 7,

b a

b a

3 ,又因为抛物线的准线为 x=- 2

所以 c= 7,故 a +b =7,解得 a=2,b= 3.故双曲线的方程为 - =1. 4 3

2

2

x2 y2

x2 y2 9.(2016·甘肃兰州联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右 a b
2

顶点为 A,上顶点为 B,若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 =( A. 2 2 2 3 ) B. 3 2 3 3

6 |F1F2|,则椭圆 C 的离心率 e 6

C.

D.

解析:选 A.设椭圆 C 的焦距为 2c(c<a),由于直线 AB 的方程为 bx+ay-ab=0,所以由题 意知

ab 6 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 = c,又 b =a -c ,所以 3a -7a c +2c =0,解得 a =2c 或 3a =c (舍), 2 2 3 a +b
2 ,故选 A. 2
2 2

所以 e=

10.(2016·山西太原质量检测)设 P 为双曲线 C:x -y =1 上一点,F1、F2 分别为双曲线 C 1 的左、右焦点,若 cos∠F1PF2= ,则△PF1F2 的外接圆半径为( 3 9 A. 4 3 C. 2 B.9 D.3 )

1 解析:选 C.由题意知双曲线中 a=1,b=1,c= 2,所以|F1F2|=2 2.因为 cos∠F1PF2= , 3 2 2 |F1F2| 2 2 所以 sin∠F1PF2= .在△PF1F2 中, =2R(R 为△PF1F2 的外接圆半径),即 = 3 sin∠F1PF2 2 2 3 3 3 2R,解得 R= ,即△PF1F2 的外接圆半径为 ,故选 C. 2 2 11.(2016·豫东、豫北十校联考)椭圆 C: 2+y =1(a>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2 的中点分别为 M,N,O 为坐标原点,四边形 OMPN 的周长为 2 3,则△PF1F2 的周长是( A.2( 2+ 3) C. 2+ 3 B. 2+2 3 )

x2 a

2

D.4+2 3

解析:选 A.因为 O,M 分别为 F1F2 和 PF1 的中点, 1 所以 OM∥PF2,且|OM|= |PF2|,同理, 2

3

ON∥PF1,且|ON|= |PF1|,所以四边形 OMPN 为平行四边形,由题意知,|OM|+|ON|= 3,
故|PF1|+|PF2|=2 3,即 2a=2 3,a= 3,由 a =b +c 知 c =a -b =2,c= 2,所以 |F1F2|=2c=2 2,故△PF1F2 的周长为 2a+2c=2 3+2 2,选 A.
2 2 2 2 2 2

1 2

x2 y2 12.(2016·河南洛阳统考)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0),斜率为 1 的直线过双曲 a b
→ → 线 C 的左焦点且与该双曲线交于 A,B 两点,若OA+OB与向量 n=(-3,-1)共线,则双曲 线 C 的离心率为( A. 3 4 C. 3 ) B. 2 3 3

D.3
2 2 2 2

解析:选 B.由题意得直线方程为 y=x+c,代入双曲线的方程并整理可得(b -a )x -2a cx -a c -a b =0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=
2 2 → → 2a c 2b c ? ? ∴OA+OB=? 2 2, 2 2?, ?b -a b -c ? 2 2 → → 2a c 2b c 2 2 2 2 2 又∵OA+OB与向量 n=(-3,-1)共线,∴ 2 =3· ,∴a =3b ,又 c =a +b ,∴ b -a2 b2-a2 2 2 2 2

2a c 2b c ,y1+y2=x1+x2+2c= 2 , b2-a2 b -a2

2

2

c 2 3 e= = .故选 B. a 3
二、填空题(把答案填在题中横线上) 13.若抛物线 y =2px(p>0)的准线经过双曲线 x -y =1 的一个焦点,则 p=________. 解析:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=- (p>0),故直线 x=- 过双曲线 x -y 2 2 =1 的左焦点(- 2,0),从而- =- 2,得 p=2 2. 2 答案:2 2 14.(2016·山东聊城一模)抛物线 y =8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是________. 解析: 由抛物线方程知 2p=8? p=4, 故焦点为(2,0), 由点到直线的距离公式知, 焦点(2,0)
2 2 2 2 2

p

p

2

2

p

4

|2- 3×0| 到直线 x- 3y=0 的距离 d= =1. 1+3 答案:1 15.(2016·贵州贵阳一模)已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 100 64

x2

y2

PF1⊥PF2,则△F1PF2 的面积为________.
解析: 由题意可得 a=10, b=8, c=6.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=20①, 在 Rt△PF1F2 中,由勾股定理,得|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c =144②, ① -②,得 2|PF1|·|PF2|=400-144=256, 1 1 ∴|PF1|·|PF2|=128,∴S△F1PF2= |PF1|·|PF2|= ×128=64. 2 2 答案:64 16.过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________.
解析:如图,F1,F2 为双曲线 C 的左、右焦点,将点 P 的横坐标 2a 代入 2- 2=1 中,得 y =3b ,
2

x2 y2 a b

2

不妨令点 P 的坐标为(2a,- 3b), 此时,kPF2= 3b b = , c-2a a

得到 c=(2+ 3)a, 即双曲线 C 的离心率 e= =2+ 3. 答案:2+ 3

c a

5


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