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江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试(理科数学)(含答案)


2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试

数学
2013.05 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第 二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) . 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.第一部分试题答案均

写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.

第一部分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上)

1. 已知集合 A ? {1, 2}, B ? {2,3} ,则 A ? B ? 2. 若复数 z ?



. ▲ . ▲ .

1 ? (a 2 ? 4)i, (a ? R) 是实数,则 a ? a?2

3. 已知某一组数据 8,9,11,12, x ,若这组数据的平均数为 10,则其方差为 若以连续掷两次骰子得到的点数 m, n 分别作为点 P 的横、 纵坐标, 则点 P 在直 线 x ? y ? 4 上的概率为 ▲ . ▲ .

4. 运行如图语句,则输出的结果 T= 5. 若抛物线 y ? 8x 的焦点与双曲线
2

x2 ? y 2 ? 1的右焦点重合,则双曲线的 m

离心率为





T←1 I←3 While I<50 T←T +I I←I +2 End While Print T

6. 已知一个圆锥的底面圆的半径为 1,体积为 ▲ .

2 2 ? ,则该圆锥的侧面积为 3

7. 将函数 f ( x) ? 2sin(? x ? 图象,若 y ? g ( x) 在 [ ?

?
3

), (? ? 0) 的图象向左平移

? ?

? 个单位得到函数 y ? g ( x) 的 3?
▲ .

, ] 上为增函数,则 ? 最大值为 6 4

?x ? y ? 2 ? 8. 已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ?y ? 2 ?

OM 的取值范围是 则 OA?

??? ? ???? ?





, 2, 3, ?) 9. 数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 ,且 a1,a2,a3 成公
1

比不为 1 的等比数列,则 {an } 的通项公式是 10. 若对任意 x ? R ,不等式 3x ? 2ax ? x ?
2



. ▲ .

3 恒成立,则实数 a 的范围 4
▲ .对.

11. 函数 f ( x) ? ?

?log 4 x, x ? 0 的图象上关于原点 O 对称的点有 ? cos x, x ? 0

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一个动点,点 P 在线段 25 9
▲ .

??? ? ??? ? OA 的延长线上,且 OA ? OP ? 72 ,则点 P 横坐标的最大值为
13. 从 x 轴上一点 A 分别向函数 f ( x) ? ? x3 与函数 g ( x) ?

2 引不是水平方向的切 | x | ? x3
3

线 l1 和 l2 ,两切线 l1 、 l2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C,O 为坐标原点,记△OAB 的 面积为 S1 ,△OAC 的面积为 S2 ,则 S1 + S2 的最小值为 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? sin( (1)求 f ( x) 的最小正周期;

?
2

? x) ? 2 cos(? ? x) ? cos x ? 2 .

(2)在 ?ABC 中,a, b, c 分别是 ? A、? B、? C 的对边,若 f ( A) ? 4 ,b ? 1 ,?ABC 的面积为

3 ,求 a 的值. 2

16. (本小题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AD⊥平面 A1BC, 其垂足 D 落在直线 A1B 上.

(1)求证:平面 A1BC⊥平面 ABB1A1;
2

(2)若 AD ? 3 ,AB=BC=2,P 为 AC 中点,求三棱锥 P ? A1BC 的体积。

17. (本小题满分 15 分) 某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元,其中用于风景区改 造为 y 亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:① 每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加; ②每年改造生态环境总费 用至少 a 亿元,至多 b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用 的 15%,但不得每年改造生态环境总费用的 22%。 (1)若 a ? 2 ,b ? 2.5 ,请你分析能否采用函数模型 y= 改造投资方案; (2)若 a 、b 取正整数,并用函数模型 y= 请你求出 a 、 b 的取值.

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境 100

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案, 100

18. (本小题满分 15 分) 椭圆 C 的右焦点为 F ,右准线为 l ,离心率为

3 ,点 A 在椭圆上,以 F 为圆心, FA 2

为半径的圆与 l 的两个公共点是 B, D . (1)若 ?FBD 是边长为 2 的等边三角形,求圆的方 程; (2)若 A, F , B 三点在同一条直线 m 上,且原点到直线 m 的距 离为 2 ,求椭圆方程.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ln x , g ( x) ? ln x ?

a , (a ? 0) . x

3

(1)求函数 g ( x) 的极值; (2)已知 x1 ? 0 ,函数 h( x) ?

f ( x) ? f ( x1 ) , x ? ( x1 , ??) ,判断并证明 h( x) 的单调性; x ? x1
x1 ? x2 1 ) 与 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,并加以证明. 2 2

(3)设 0 ? x1 ? x2 ,试比较 f (

20. (本小题满分 16 分) 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n (n ? 2,3, 4,?) 阶“期待数列” : ① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 . (1)若等比数列 {an } 为 2 k ( k ? N * )阶“期待数列” ,求公比 q ; (2)若一个等差数列 {an } 既是 2 k ( k ? N * )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通 项公式; (3)记 n 阶“期待数列” {ai } 的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) : (ⅰ)求证: | S k |?

1 ; 2 1 ,试问数列 {Si } 能否为 n 阶“期待数列”? 2

(ⅱ)若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 Sm ?

若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

第二部分(加试部分)
(总分 40 分,加试时间 30 分钟) 注意事项: 答卷前, 请考生务必将自己的学校、 姓名、 考试号等信息填写在答题卷上规定的位置. 解 答过程应写在答题卷的相应位置,在其它地方答题无效.
4

21.B 选修 4 - 2:矩阵与变换(本题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

? 2 1? ?10? 2 ,向量 b ? ? ? .求向量 a ,使得 A a ? b . ? 0 1 2 ? ? ? ?

21.C 选修 4 - 4:坐标系与参数方程(本题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 内,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t , ( t 为参数 ) .以 Ox 为极轴建 ? y ? 1 ? 4t ,

立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) .判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

22. (本题满分 10 分) 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独立完成全部实验操作。规定:至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。 已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成。 (1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是

2 ,且每题正确完成与否互不影响。试从至少正确 3

完成 2 题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.

23. (本题满分 10 分) (1)设 x ? ?1 ,试比较 ln(1 ? x) 与 x 的大小; (2) 是否存在常数 a ? N , 使得 a ?

1 n 1 (1 ? )k ? a ? 1 对任意大于1 的自然数 n 都成立? ? n k ?1 k

若存在,试求出 a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由。

5

参考答案 第一部分
2013.05 1. ?1, 2,3? 2. ?2 3. 2 7. 3? 4.

1 12

5.625

6.

2 3 3

8. 2

6

9. [0, 2] 12.3 13. 15

10. an ? n2 ? n ? 2

11. ?1 ? a ? 1

提示:设 OP ? ?OA(? ? 1) ,由 OA ? OP ? ? ? OA ? 72 ,得 ? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

72 , OA2

xP ? ? ? xA ?

72 72 72 72 ? xA = ? xA = , ? xA = 2 9 2 16 2 9 16 x ? yA 2 9? ? xA ? xA 9? ? xA ? ? xA 25 25 x A 25
2 A

研究点 P 横坐标的最大值,仅考虑 0 ? xA ? 5 ,

xP ?

72 15 ? 15 (当且仅当 x A ? 时取“=”) . 12 4 2? 5
1 1 , ( x ? 0) ,设两切点分别为 (m, ?m3 ) , ( n, 3 ) , (m ? 0 ,n ? 0) , 3 x n

14.8 提示: g ( x ) ?

l1 : y ? m3 ? ?3m2 ( x ? m) ,即 y ? ?3m2 x ? 2m3 ,令 x ? 0 ,得 yB ? 2m3 ;
令 y ? 0 ,得 x ?

2 m. 3

1 3 3 4 4 4 ? ? 4 ( x ? n) , 即 y ?? 4 x? 3 , 令x ? 0, 得 yC ? 3 ; 令 y ? 0, 得 x ? n. 3 n n n n n 3 2 4 m ? n ,得 m ? 2 n , 依题意, 3 3 1 1 4 4 8 1 f (n) ? S1 + S2 = (| yB | ? | yC |) ? x A = (2m3 ? 3 ) ? n = (4n 4 ? 2 ) , 2 2 n 3 3 n

l2 :y ?

8 2 2 f '(n) = (16n3 ? 3 ) ,可得当 n ? 时, f ( n) 有最小值 8. 3 n 2

15. 解: (1) f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ················ 4 分 6 2? ?T ? ? ?. ···························· 6 分 2 ? ? 1 (2)由 f ( A) ? 4 ,? f ( A) ? 2 sin( 2 A ? ) ? 3 ? 4 ,? sin( 2 A ? ) ? . 6 6 2
又? A为?ABC 的内角,?

?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13 ?, 6
7

?2A ?

?

5 ? ? ? ,? A ? . ······················· 8 分 6 6 3

? S ?ABC ?

3 1 3 , b ? 1 ,? bc sin A ? ,? c ? 2 ············ 11 分 2 2 2
1 ? 3 ,?a ? 3. ········· 14 分 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ?

16.证:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A A1⊥平面 ABC, ∴A A1⊥BC, ∵AD⊥平面 A1BC, ∴AD⊥BC, ∵A A1 ,AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线, ∴BC⊥平面 ABB1A1, 又∵ BC ? 平面 A1BC, ∴平面 A1BC⊥平面 ABB1A1 ···································· 7 分 (2) 由等积变换得 VP? A1BC ? VA1 ? PBC , 在直角三角形 A1 AB 中,由射影定理( AB 2 ? BD ? BA1 )知 AA1 ? 2 3 , ∵ AA 1 ? 平面PBC , ∴三棱锥的高为 AA1 ? 2 3 ························ 10 分 又∵底面积 S?PBC ? 1 ··························· 12 分

1 2 3 ∴ VP? A1BC ? VA1 ? PBC = S?PBC ? AA1 ? 3 3

·················· 14 分

法二:连接 CD ,取 CD 中点 Q ,连接 PQ ,∵P 为 AC 中点,? PQ // AD, PQ ?

1 AD 2

? AD ? 3 ,? PQ ?

3 , ························· 9 分 2 由(1)AD⊥平面 A1BC,∴ PQ ⊥平面 A1BC,
∴ PQ 为三棱锥 P- A1BC 的高, ······················ 11 分 由(1)BC⊥平面 ABB1A1 ? BC ? BA1 ,? S?PBC ? 4 ············ 12 分

?VP-A1BC ?

2 3 , ···························· 14 分 3

17.解: (1)∵ y ' ? ∴函数 y=

1 (3x 2 ? 4) ? 0 , 100

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 是增函数,满足条件①。 ············ 3 分 100
8

设 g ( x) ? 则 g '( x) ?

y 1 16 ? ( x2 ? 4 ? ) , x 100 x

1 16 ( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) (2 x ? 2 ) ? , 100 x 50 x 2

令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 2 。 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, 2) 上是减函数; 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (2, ??) 上是增函数, 又 a ? 2 , b ? 2.5 ,即 x ? [2, 2.5] , g ( x) 在 [2, 2.5] 上是增函数, ∴当 x ? 2 时, g ( x) 有最小值 0.16=16%>15%, 当 x ? 2.5 时, g ( x) 有最大值 0.1665=16.65%<22%,

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案。 ····· 9 分 100 y 1 16 ( x2 ? 4 ? ) , (2)由(1)知 g ( x) ? ? x 100 x
∴能采用函数模型 y= 依题意,当 x ? [a, b] , a 、 b ? N * 时, 15% ? g ( x) ? 22% 恒成立;

16 ? 22 的正整数解。 x 16 2 令 h( x ) ? x ? 4 ? , ························· 12 分 x
下面求 15 ? x ? 4 ?
2

由(1)知 x ? N , h( x) 在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数,
*

又由(1)知,在 x ? 0 时, g ( x)min ? g (2) ,且 g (2) =16%∈[15%,22%],

? x ? 2 合条件,经枚举 g (1) , g (3) ∈[15%,22%],
而 g (4) ?[15%,22%],可得 x ? 1 或 x ? 2 或 x ? 3 , 由 g ( x) 单调性知 a ? 1, b ? 2 或 a ? 1, b ? 3 或 a ? 2, b ? 3 均合题意。 ······ 15 分

18.解:设椭圆的半长轴是 a ,半短轴是 b ,半焦距离是 c ,

x2 y2 3 由椭圆 C 的离心率为 ,可得椭圆 C 方程是 2 ? 2 ? 1 , ········· 2 分 4b b 2
(只要是一个字母,其它形式同样得分, )

9

焦点 F ( 3b,0) ,准线 x ?

4b ,设点 A( x0 , y0 ) , 3

(1) ?FBD 是边长为 2 的等边三角形, 则圆半径为 2 ,且 F 到直线 l 的距离是 3 ,

a2 b2 b 又 F 到直线 l 的距离是 FM ? , ?c ? ? c c 3
所以,

b ? 3 ,b ? 3, 3

所以 c ? 3 3 所以,圆的方程是 ( x ? 3 3)2 ? y 2 ? 4 。 ·················· 6 分 (2)因为 A, F , B 三点共线,且 F 是圆心,所以 F 是线段 AB 中点,

由 B 点横坐标是

a2 4 2 4b ? 2 3b ? 3b ? 3b , ······· 8 分 得, x0 ? 2c ? c 3 3 3

再由

2 2 2 x0 y0 x0 2 6 2 2 ? ? 1 y ? b ? ? b 2 , y0 ? 得: b, 0 2 2 4b b 4 3 3

6 b y0 3 ? ? ? 2 ················· 10 分 所以直线 m 斜率 k ? x0 ? c 3b ? 3
直线 m : y ? ? 2( x ? c) , 2x ? y ? 2c ? 0 ··············· 12 分 原点 O 到直线 m 的距离 d ?

2c , 3

依题意

2c ? 2 , c ? 6 ,所以 b ? 2 , 3
x2 y 2 ? ? 1 . ······················ 15 分 8 2

所以椭圆的方程是 19.解: (1) g '( x) ?

1 a x?a ? 2 ? 2 ,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? a . x x x

当 x ? (0, a) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是减函数;

10

当 x ? (a, ??) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是增函数. ∴当 x ? a 时, g ( x) 有极小值 ln a ? 1 , g ( x) 无极大值. ··········· 4 分 (2) h '( x) ?

f '( x)( x ? x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ) ( x ? x1 )2

x1 1 (1 ? )( x ? x1 ) ? x ? ln x ? x1 ? ln x1 ? ln x ? 1 ? ln x1 x x = = , ( x ? x1 ) 2 ( x ? x1 ) 2
由(1)知 ? ( x) ?

x1 ? ln x 在 [ x1 , ??) 上是增函数, x

当 x ? ( x1 , ??) 时, ? ( x) ? ? ( x1 ) , 即

x1 ? ln x ? 1 ? ln x1 , x

∴ h '( x) ? 0 ,即 h( x) 在 ( x1 , ??) 上是增函数. ··············· 10 分 (3) 0 ? x1 ? x ? x2 ,由(2)知, h( x) ?

f ( x) ? f ( x1 ) 在 ( x1 , ??) 上是增函数, x ? x1



f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x) ? f ( x1 ) , ? x2 ? x1 x ? x1
x1 ? x2 x ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] . ············· 16 分 得, f ( 1 2 2 2

令x?

20.解: (1)若 q ? 1 ,则由① a1 ? a2 ? ? ? a2k ? 由②得 a1 ?

a1 (1 ? q 2k ) =0,得 q ? ?1 , 1? q

1 1 或 a1 ? ? . 2k 2k

若 q ? 1 ,由①得, a1 ? 2k ? 0 ,得 a1 ? 0 ,不可能. 综上所述, q ? ?1 . (2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2k (k ∵ a1 ? a2 ? ? ? a2k ? 0 ,∴ ∴ a1 ? a2k ? ak ? ak ?1 ? 0 ,
11

? 1) 的公差为 d , d >0.

2k ? (a1 ? a2 k ) ? 0, 2

∵ d >0,由 ak ? ak ?1 ? 0 得 ak ? 0 , ak ?1 ? 0 , 由题中的①、②得 a1 ? a2 ? ? ? ak ? ?

ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? a2 k
两式相减得, k ? d ? 1 ,
2

1 , 2 1 ? , 2

1 , k2 k (k ? 1) 1 2k ? 1 ? d ? ? ,得 a1 ? ? 又 a1 ? k ? , 2 2 2k 2 2k ? 1 1 ?2k ? 1 ? i ? (i ? 1) ? 2 ? ∴ ai ? a1 ? (i ? 1) ? d ? ? . 2 2k k 2k 2
∴d ? (3)记 a1 , a2 ,?, an 中非负项和为 A ,负项和为 B ,

1 1 ,B ? ? , 2 2 1 1 1 (ⅰ) ? ? B ? Sk ? A ? ,即 | S k |? . 2 2 2 1 (ⅱ)若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 Sm ? ,由前面的证明过程知: 2
则 A ? B ? 0 , A ? B ? 1 ,得 A ?

a1 ? 0 , a2 ? 0 ,?, am ? 0 , am?1 ? 0 , am?2 ? 0 ,?, an ? 0 ,
且 am?1 ? am? 2 ? ? ? an ? ?

1 . 2

记数列 {Si } (i ? 1, 2,3,?, n) 的前 k 项和为 Tk ,

1 , 2 1 1 ∴ Tm = S1 ? S2 ? ? ? Sm ? ,而 Sm ? , 2 2
则由(ⅰ)知, | Tk |? ∴ S1 ? S2 ? ? ? Sm?1 ? 0 ,从而 a1 ? a2 ? ? ? am?1 ? 0 , am ? 又 am?1 ? am? 2 ? ? ? an ? ? 则 Sm?1 , Sm?2 ,?, Sn ? 0 , ∴ S1 ? S2 ? S3 ? ?? Sn ? S1 ? S2 ? S3 ? ?? Sn ,

1 , 2

1 , 2

S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn ? 0 与 S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn ? 1不能同时成立,
所以, 对于有穷数列 a1 , a2 , ???, an (n ? 2,3, 4,?) , 若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 Sm ? 则数列 {ai } 和数列 {Si } (i ? 1, 2,3,?, n) 不能为 n 阶“期待数列” .

1 , 2

12

第二部分(加试部分)
21.B 解: A2 ? ?

?2 1? ?2 1? ? 4 3? ?? ??? ?, 4分 ?0 1? ?0 1? ?0 1 ?
2

设 a ? ? ? ,由 A

? x? ? y?

a ? b得 ?

? 4 3? ? x ? ?10 ? ? ? ??? ?, ? 0 1? ? y ? ? 2 ?

即?

?4 x ? 3 y ? 10 , ···························· 8 分 ?y ? 2 ?x ? 1 ?1 ? ,所以 a ? ? ? ························ 10 分 ? 2? ?y ? 2 ? x ? 2 ? 2t , 消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 x ? 3 ; 3 分 ? y ? 1 ? 4t ,

解得 ?

21.C 解: 将 ?

由 ? ? 2 2 (sin ? ?

?
4

) ,即 ? ? 2(sin? ? cos? ) ,

两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 所以⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 又圆心 C 到直线 l 的距离 d ? ············· 7 分

| 2 ?1 ? 3 | 22 ? 12

?

2 5 ? 2, 5

所以直线 l 和⊙ C 相交. ························· 10 分 22.解:(Ⅰ)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为 X , 则 X ~ H (3, 4, 6) ,所以 P( X ? k ) ?
k 3? k C4 C2 , k ? 1, 2,3 ··········· 2 分 3 C6

所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:

X
P

1

2

3

1 5

3 5

1 5

1 3 1 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ; ····················· 4 分 5 5 5
(Ⅱ)设考生乙正确完成实验操作的题数为 Y ,则

2 2 1 Y ~ B(3, ) ,所以 P (Y ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k , k ? 0,1, 2,3 ·········· 6 分 3 3 3
13

P (Y ? 2) ?
又 P ( X ? 2) ?

12 8 20 ? ? 27 27 27

3 1 4 ? ? , 且 P( X ? 2) ? P(Y ? 2) , ············· 8 分 5 5 5

从至少正确完成 2 题的概率考察,甲通过的可能性大, 因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ····················· 10 分 23.解: (Ⅰ)设 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ,则 f '( x) ? 1 ? 当 x ? (?1, 0) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 故函数 f ( x ) 有最小值 f (0) ? 0 ,则 ln(1 ? x) ? x 恒成立 ············ 4 分 (Ⅱ)取 m ? 1, 2,3, 4 进行验算:

1 x ? , 1? x x ?1

1 (1 ? )1 ? 2 1 1 9 (1 ? ) 2 ? ? 2.25 2 4 1 3 64 (1 ? ) ? ? 2.37 3 27 1 625 (1 ? ) 4 ? ? 2.44 4 256 1 m 猜测:① 2 ? (1 ? ) ? 3 , m ? 2,3, 4,5,? m
②存在 a ? 2 ,使得 a ?

1 n 1 (1 ? )k ? a ? 1 恒成立。 ··········· 6 分 ? n k ?1 k

证明一:对 m ? N ,且 m ? 1 , 有 (1 ?

1 m 0 1 1 2 1 2 k 1 k m 1 m ) ? Cm ? Cm ( ) ? ?Cm ( ) ? ? ? Cm ( ) ? ? ? Cm ( ) m m m m m

? 1?1? ?

m ? m ? 1? 1 2 m ? m ? 1??? m ? k ? 1? 1 k m ? m ? 1?? 2 ?1 1 m ( ) ??? ( ) ??? ( ) 2! m k! m m! m

? 2?

1? 1? 1? 1 ?? 2 ? ? k ?1 ? 1 ? 1 ? ? m ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? 1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ?
1 1 1 1 ? ??? ??? 2! 3! k! m!

? 2?

14

? 2?

1 1 1 1 ? ??? ??? 2 ?1 3 ? 2 k ? k ? 1? m ? m ? 1?

1? 1? ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?
1 ?3 m k 1 k 又因 Cm ( ) ? 0 ? k ? 2,3, 4,? , m ? , m 1 m 故 2 ? (1 ? ) ? 3 ···························· 8 分 m ? 3?
从而有 2n ?

1 k 1 n 1 成立,即 (1 ? ) ? 3 n a ? (1 ? )k ? a ? 1 ? ? k n k ?1 k k ?1

n

所以存在 a ? 2 ,使得 a ? 证明二:

1 n 1 (1 ? )k ? a ? 1 恒成立 ? n k ?1 k

··········· 10 分

由(1)知:当 x ? (0,1] 时, ln(1 ? x) ? x ,

1 , k ? 1, 2,3, 4,?, k 1 1 1 1 k 1 k 则 ln(1 ? ) ? ,所以 k ln(1 ? ) ? 1 , ln(1 ? ) ? 1 , (1 ? ) ? e ? 3 , k k k k k 当 k ? 2 时,再由二项式定理得: 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) k ? Ck0 ? Ck ( ) ? Ck2 ( ) 2 ? ? ? Ckk ( ) k ? Ck0 ? Ck ( )?2 k k k k k 1 k 即 2 ? (1 ? ) ? 3 对任意大于 1 的自然数 k 恒成立, ············· 8 分 k
设x? 从而有 2n ?

1 k 1 n 1 成立,即 (1 ? ) ? 3 n a ? (1 ? )k ? a ? 1 ? ? k n k ?1 k k ?1 1 n 1 (1 ? )k ? a ? 1 恒成立 ? n k ?1 k
··········· 10 分

n

所以存在 a ? 2 ,使得 a ?

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