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高中数学概率统计(含详细答案)


1.某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 初三年级

x
370

y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y ? 245,z ? 245,求初三年级中女生比男生多的概率. 解:(1)?

x ? 0.19 2000
x ? 380

?

(2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

48 ? 500 ? 12 名 2000
(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为(y,z); 由(2)知 y ? z ? 500 ,且 基本事件空间包含的基本事件有: (245,255)、(246,254)、(247,253)、??(255,245)共 11 个 事件 A 包含的基本事件有: (251,249)、 (252,248)、 (253,247)、(254,246)、 (255,245) 共 5 个

y, z ? N ,

?

P ( A) ?

5 11

2.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某 校 6 名学生进行问卷调查.6 人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10. 把这 6 名学生的得分看成一个总体. (Ⅰ)求该总体的平均数;

(Ⅱ)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本.求 该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解: (Ⅰ)总体平均数为

1 (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ? 7.5 . 6

(Ⅱ)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” . 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有:(5, ,(5, ,(5, ,(5, ,(5, , 6) 7) 8) 9) 10)

(6, , (6, ,(6, ,(6, ,(7, ,(7, ,(7, ,(8, ,(8, ,(9, .共 7) 8) 9) 10) 8) 9) 9) 10) 10) 10)
15 个基本结果.

9) 10) 8) 9) 10) 8) 9) 共 事件 A 包括的基本结果有:(5, ,(5, ,(6, ,(6, ,(6, ,(7, ,(7, .
有 7 个基本结果. 所以所求的概率为 P ( A) ?

7 . 15

3.现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A,A2,A3 通晓日语,B1,B2,B3 通晓俄语, 1

C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组.
(Ⅰ)求 A 被选中的概率; 1 (Ⅱ)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 解: (Ⅰ)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的 基本事件空间

? ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ) , (A (A (A

( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), 2,B1,C2 ), 2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , (A (A ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), 3,B1,C2 ), 3,B2,C1 ) , (A (A ( A3,B2,C2 ), 3,B3,C1 ), 3,B3,C2 ) } (A (A
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件 的发生是等可能的. 用 M 表示“ A 恰被选中”这一事件,则 1

M ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , (A (A

( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ), 1,B3,C2 ) } (A (A
事件 M 由 6 个基本事件组成, 因而 P ( M ) ?

6 1 ? . 18 3

(Ⅱ)用 N 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“ B1,C1 全 被选中”这一事件, 由于 N ? { ( A,B1,C1 ), 2,B1,C1 ), 3,B1,C1 ) },事件 N 有 3 个基本事件组 (A (A 1 成, 所以 P ( N ) ?

3 1 1 5 ? ,由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? . 18 6 6 6

4.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方 图都受到不同程度 的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题.

(I)求全班人数及分数在 ?80,90? 之间的频数; (II)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中 ?80,90? 间的矩形的高; (III)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学 生失分情况,在抽 取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之 间的概率. 解: (I) 由茎叶图知, 分数在 ?50,60? 之间的频数为 2, 频率为 0.008? 10 ? 0.08, 全班人数为

2 ? 25 . 0.08

????3 分

所以分数在 ?80,90? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 (II)分数在 ?50,60? 之间的总分为 56+58=114; 分数在 ?60,70? 之间的总分为 60×7+2+3+3+5+6+8+9=456;

???? 5 分

(III)将 ?80,90? 之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数 编号为 5,6,在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2)(1,3)(1,4)( 1,5)(1,6) , , , , (2,3)(2,4)(2,5)(2,6) , , , , (3,4)(3,5)(3,6) , , (4,5)(4,6) , (5,6)共 15 个, ????12 分 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有 9 个, ????14 分

故至少有一份分数在[90,1000]之间的频率是

9 ? 0 .6 15

????15 分

5.袋子中装有编号为 a, b 的 2 个黑球和编号为 c, d , e 的 3 个红球,从中任意摸出 2 个 球。 (1)写出所有不同的结果; (2)求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率; (3)求至少摸出 1 个黑球的概率. 解: (1) ab, ac, ad, ae, bc, bd, bc, cd , ce, de. 3 分 (2)记“恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球”为事件 A , 则事件 A 饮食的基本事件为 ac, ad, ae, bc, be, ,共 6 个基本事件,所以

P( A) ?

6 ? 0.6 8 分 10

答:恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为 0 .6 (3)记“至少摸 出 1 个黑球”为事件 B, 则事件 B 包含的基本事件为 ab, ac, ad, ae, bc, bd, be,共 7 个基本事件, 所以 P( B) ?

7 ? 0.7 10

答:至少摸出 1 个黑 球的概率为 0 .7 13 分

6.一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1、2、3、4, 现从盒子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽 到数字 3 的概率. 解: (Ⅰ)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7” , 任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是(1、2、3) (1、2、4) , , (1、3、4)(2、3、4) , ,???????2 分 其中数字之和大于 7 的是(1、3、4)(2、3、4) , ,???????4 分

所以 P( A) ?

? . ???????6 分 ?

(Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到 3” , 每次抽 1 张,连续抽取两张全部可能的基本结果有: (1、1) (1、2) (1、3) (1、 4) (2、1) (2、2) (2、3) (2、4) (3、1) (3、2) (3、3) (3、4) (4、1) (4、2) (4、3) (4、4) ,共 16 个基本结果. ???????8 分[来源:学§科§网] 事件 B 包含的基本结果有(1、3) (2、3) (3、1) (3、2) (3、3) (3、4) (4、3) , 共 7 个基本结果. ???????10 分

所以所求事件的概率为 P ( B ) ?

? . ???????12 分 ??

7.一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产 量如下表(单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1) 求 z 的值. (2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个 总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总

体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解: (1).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得, z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个

50 10 ? ,所以 n=2000. n 100 ? 300

容量为 5 的样本,所以

400 m ? ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型 1000 5

轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型 轿车的概率为

7 . 10 1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 , 8
9.2, 8.7, 9.3,

(3)样本的平均数为 x ?

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6,

9.0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率 为

6 ? 0.75 . 8

【命题立意】 :本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的 概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.

8.设有关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 .

1 , (Ⅰ)若 a 是从 01 2,四个数中任取的一个数,b 是从 0,2 三个数中任取的一个数, , 3 , 求上述方程有实根的概率.

, , (Ⅱ)若 a 是从区间 [0 3] 任取的一个数, b 是从区间 [0 2] 任取的一个数,求上述方
程有实根的概率. 解:设事件 A 为“方程 a2 ? 2ax ? b2 ? 0有实根”. 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b . (Ⅰ)基本事件共12个:

(0 0) (01),,, (11), 2) (2 0) (21),,,,,, (3 2) . ,,, (0 2) (10) , (1 ,, ,,,,, (2 2) (3 0) (31),, 其中第一个数表示

a 的取值,第二个数表示 b 的取值.
事件 A 中包含9个基本事件,事件 A 发生的概率为 P( A) ?

9 3 ? . 12 4

, , (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 (a b) | 0 ≤ a ≤3 0 ≤b ≤ 2 . , , , 构成事件 A 的区域为 (a b) | 0 ≤ a ≤3 0 ≤b ≤ 2 a ≥b .
所以所求的概率为

?

?

?

?

1 3 ? 2 ? ? 22 2. 2 ? ? 3? 2 3


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