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5.5诱导公式


【课题】5.5 诱导公式 【教学目标】
知识目标: 了解 “ ? ? k ? 360? ”“ ?? ”“180° ?? ”的诱导公式. 、 、 能力目标: (1)会利用简化公式将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数; (2)会利用计算器求任意角的三角函数值; (3)培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力.

【教学重点】
三个诱导公式



【教学难点】
诱导公式的应用.

【教学设计】
(1)利用单位圆数形结合的探究诱导公式; (2)通过应用与师生互动,巩固知识; (3)通过计算器的使用,体会数字时代科技的进步; (4)提升思维能力,以诱导公式为载体,渗透化同的数学思想.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】 教 过
*揭示课题 5.5 诱导公式 *构建问题 探寻解决 问题 30?角与 390?角是终边相同的角, sin 30? 与 sin 390? 之间具 质疑 介绍 了解 利用 问题 引起 学生

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

第 4 章 三角函数(教案)

教 过
有什么关系? 解决

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
思考 提问 的好 奇心 和求 知欲 引领 分析 认知 领会 5

由于 30?角与 390?角的终边相同,根据任意角三角函数的 定义可以得到 sin 30? = sin 390? . 推广 在单位圆中,由于角 ? 的终边与单位圆的交点为 当终边旋转 k ? 360 ( k ? Z ) 时, P (cos ? ,sin ? ) 点 P (cos ? ,sin ? ) ,
?

又回到原来的位置,所以其各三角函数值并不发生变化. *动脑思考 探索新知 概念 终边相同角的同名三角函数值相同. 即当 k ? Z 时,有
sin(2 kπ ? ? ) ? sin ? cos(2 kπ ? ? ) ? cos ? tan(2 kπ ? ? ) ? tan ? sin( k ? 360? ? ? ) ? sin ? cos( k ? 360? ? ? ) ? cos ? tan( k ? 360? ? ? ) ? tan ?

自然 仔细 分析 讲解 关键 记忆 领会 引导 明确 理解 思考 得出 公式 后分 析其 特点 说明 应用 方向 将解 决问 (3) tan( ?
11? 6

说明 利用公式,可以把任意角的三角函数转化为 0° ~360° 范围 内的角的三角函数. *巩固知识 典型例题 例 1 求下列各三角函数值: (1) cos
9? 4

10



(2) sin 780? ;

质疑
).

观察

题的 主动

分析 将任意角的三角函数转化为 [0, 2?] 内的角的三角函数. 解 (1) cos
9? ? ? 2 ; ? cos(2 ? ? ) ? cos ? 4 4 4 2 3 2

引导

思考

权交 给学

讲解 ; 明确

领会

生调 动其

(2) sin 780? ? sin(2 ? 360? ? 60? ) ? sin 60 ? ?
11?

?? ? 3 ? (3) tan( ? . ) ? tan ? ( ?1) ? 2 ? ? ? ? tan ? 6 6? 6 3 ?

求解

积极 性 15

第 4 章 三角函数(教案)

教 过
*运用知识 强化练习 教材练习 5.5.1 求下列各三角函数值: (1) cos
7? 3

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
提问 巡视 指导 动手 求解 交流 纠错 答疑 20



(2) sin 750? .

*构建问题 探寻解决 问题 30? 角与?30? 角的终边关于 x 轴对称, 30? 与 sin( ?30? ) 之 sin 间具有什么关系? 解决 点 P 与点 P ? 的横坐标相同, 纵坐标互为相反数. 由此得到
sin 30 = ? sin( ?30 ) .
?
?

介绍

了解 通过 具体 问题

质疑 思考 提问

结合 图形 研究 总结 一般

推广 设单位圆与任意角 ? , ?? 的终边分别相交于点 P 和点 P ? , 则 点 P 与 点 P? 关 于 x 轴 对 称 . 如 果 点 P 的 坐 标 是
(cos ? ,sin ? ) ,那么点 P ? 的坐标是 (cos ? , ? sin ? ) .由于点 P ? 作

为 角 ?? 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 , 其 坐 标 应 该 是
(cos( ?? ),sin( ?? )) .于是得到

引领 分析

认知 领会

规律

cos(?? ) ? cos ? ,

sin( ?? ) ? ? sin ? .

回顾 同角 公式

由同角三角函数的关系式知
tan( ?? ) ? sin( ?? ) cos( ?? ) ? ? sin ? cos ? ? ? tan ? .

25 分析 理解 公式 特点 说明 应用 说明 明确 方向 安排 30 归纳 总结

*动脑思考 探索新知 概念
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

记忆 领会

利用这组公式,可以把负角的三角函数转化为正角的三角 函数. *巩固知识 典型例题

第 4 章 三角函数(教案)

教 过
例 2 求下列三角函数值: (1) sin( ?60 ? ) ; 解

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
观察 与知 识点 对应 ;
? ? 1

(2) cos(?

19? 3
3 2

);

(3) tan( ?30? ) .

质疑

(1) sin( ?60? ) ? ? sin 60? ? ? (2) cos( ?
19? 3 ) ? cos 19? 3

说明

思考

的例 题巩

? cos( ? 6 ?) ? cos ? ; 3 3 2
3 3

主动 讲解 求解

固新 知 35

(3) tan( ?30? ) ? ? tan 30? ? ? *运用知识 强化练习 教材练习 5.5.2 求下列各三角函数值:



提问 巡视
8? 3 ).

动手 求解 交流

纠错 答疑 40

(1) tan( ? ) ; (2) sin( ?390? ) ; (3) cos( ?
6

?

指导

*构建问题 探寻解决 问题 30? 角与 210? 角的终边关于坐标原点对称, sin 30? 与
sin 210? 之间具有什么关系?

利用 质疑 了解 问题 引起 学生 提问 思考 的好 奇心 和求 知欲 引领 认知 领会 分析 结合 图形 分析 更易 于理

解决 观察图形,点 P 与点 P ? 关于坐标原点中心对称,它们的横 坐标与纵坐标都互为相反数.由此得到 sin 30? = ? sin 210? . 推广 设单位圆与任意角 ? 、 π + ? 的终边分别相交于点 P 和点
P ? , 则点 P 和 P ? 关 于原点 中心对 称 . 如果 点 P 的坐 标是
(cos ? ,sin ? ) ,那么点 P ? 的坐标应该是 ( ? cos ? , ? sin ? ) .又由于

点 P? 作 为 角 ? ? ? 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 , 其 坐 标 应 该 是
(cos(? ? ?),sin(? ? ?)) .由此得到
cos( ? ? ? ) ? ? cos ? , sin(? ? ? ) ? ? sin ? .

由同角三角函数的关系式知
tan( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? ? sin ? ? cos ? ? tan ? .

总结

理解



第 4 章 三角函数(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
认知 引领 领会 此种 分析 情况 可以 教给 理解
sin ?

设单位圆与角 ? , π + ? , π ? ? 的终边分别相交于 P, P?, P?? 三 点,点 P ? 与点 P ?? 关于 x 轴对称.它们的横坐标相同,纵坐标 互为相反数.由此得到
cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? , sin(? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? .

由同角三角函数的关系式知
tan( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? ? cos ? ? ? tan ? .

学生 推导 50

总结

*动脑思考 探索新知 概念
sin(π + ? ) ? ? sin ? cos(π + ? ) ? ? cos ? tan(π + ? ) ? tan ?
sin π ? ?)? sin ? ( cos π ? ?)? ? cos ? ( tan π ? ?)? ? tan ? (

理解 归纳 记忆

分析 公式 特点 说明

说明 以上公式统称为诱导公式(或简化公式) .这些公式的正 负号可以用口诀:“ 2kπ 加全为正,负角余弦正, π 减正弦正, 利用它们可以把任意角的三角函数转化 π 加正切弦正”来记忆. 为锐角的三角函数. *巩固知识 典型例题 例 3 求下列各三角函数值: (1) cos
9? 4

讲解

领会

应用 方向

说明

明确 55

通过 (4) sin 690? . 应用 质疑 观察 诱导 公式 计算 说明 思考 三角 函数 分析 值加 领会 深知 识的 引导 理解



(2) tan

8? 3

; (3) cos 870? ;

分析 求任意角三角函数值的一般步骤是,首先将其转化为绝 对值小于 2π 的角的三角函数,然后将其转化为锐角三角函数 值,最后求出这个锐角三角函数值. 解 (1) cos (2)
tan 8? 3 ? tan(2? ? ?? 3 ) ? tan( ?? 3 ) ? tan( ? ? ) ? ? tan ? ? 3 ; 3 3 ? ?
9? ? ? 2 ; ? cos(2 ? ? ) ? cos ? 4 4 4 2

(3) cos 930? ? cos(2 ? 360? ? 210? ) ? cos 210?

第 4 章 三角函数(教案)

教 过

学 程
3 2

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

1

? cos(180? ? 30? ) ? ? cos( ?30? ) ? ? cos 30 ? ? ?

讲解
2

主动 求解 65 关注

(4) sin 690? ? sin(2 ? 360? ? 30?) ? sin( ?30 ? ) ? ? sin 30 ? ? ? . *运用知识 强化练习 教材练习 5.5.3 1. 求下列各三角函数值: (1) tan 225? ; (2) sin 660? ; (3) cos 495? ; (4) tan
11π 3

提问

动手 求解

学生 对知 识的

巡视 指导 交流

; (5) sin

17π 3

; (6) cos( ?

7π 6

).

掌握 情况

75

*自我探索 使用工具 准备计算器,观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明 书,小组完成计算器计算三角函数值的方法. 利用计算器,求下列三角函数值(精确到 0.0001): (1) sin( ?
5? 7

质疑

小组 讨论

计算 器的 使用

(2) tan 227.6? ; (3) cos );

3? 5



巡视 指导

交流 探究

方法 教给 学生 自我

(4) tan 4.5 ; (5) cos 27 ? 22?11?? ; (6) sin( ?2008? ) . 教材练习 5.5.4 2. 利用计算器,求下列三角函数值(精确到 0.0001): (1) sin
3? 7

提问
);

; (2) tan 432? 26?? ; (3) cos( ?

3? 5

汇报

研究

汇总 80 培养 引导 回忆 学生 总结

(4) tan 6.3 ; (5) cos 527? ; *归纳小结 强化思想

(6) sin( ?2009? ) .

本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? *继续探索 活动探究 提问 反思 交流

反思 学习 过程 能力 85

第 4 章 三角函数(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

(1)读书部分: 教材章节 5.5; (2)书面作业: 学习与训练 5.5; (3)实践调查: 探究其他诱导公式. 说明 记录 90

第 4 章 三角函数(教案)


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