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函数总结复习与题型分类(2)讲义(教师版)


细节决定成败!

函数总结复习与题型分类( 2)
题型三 二次函数 一、重要知识点:

5.二次函数根的分布:

1 龙文教育·教育是一项良心工程

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二、例题精讲:

2 龙文教育·教育是一项良心工程

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三、课堂练习:

3.已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) ? ?1, f (?1) ? ?1 ,且 f ( x) 的最大值是 8,求二次函数的解 析式.
2 4.已知 f ( x) ? ax ? 2x(0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值.

5.【2007 高考湖北文】设二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x 2 满
3 龙文教育·教育是一项良心工程

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足 0 ? x1 ? x2 ? 1 . (I)求实数 a 的取值范围; (II)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与

1 的大小.并说明理由. 16

解法 1: )令 g ( x) ? f ( x) ? x ? x2 ? (a ?1) x ? a , (Ⅰ
?? ? 0, ? 1? a ?a ? 0, ?0 ? ?1 , ? ? 则由题意可得 ? ? 0 ? a ? 3? 2 2 . ? ??1 ? a ? 1 , 2 ? g (1) ? 0, ? ?a ? 3 ? 2 2,或a ? 3 ? 2 2, ? ? g (0) ? 0, ?

故所求实数 a 的取值范围是 (0,? 2 2) . 3 (II) f (0)?f (1) ? f (0) ? g (0) g (1) ? 2a2 ,令 h(a) ? 2a 2 .

?



a?0





h( a )


2









?



0 ? a ? 3? 2 2





0?h

(a ?) h ? 3 (

2 ?

2 ?)

2

( 3 ?

2 ?

2

)

2

( 1

7

1

2

2

)

1 1 1 ? 2? ? ,即 f (0)?f (1) ? f (0) ? . 16 17 ? 12 2 16

解法 2: (I)方程 f ( x) ? x ? 0 ? x2 ? (a ?1) x ? a ? 0 ,由韦达定理得
?? ? 0, ? x ? x ? 0, ? 1 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? a , x1 x2 ? a ,于是 0 ? x1 ? x2 ? 1 ? ? x1 x2 ? 0, ?(1 ? x ) ? (1 ? x ) ? 0, 1 2 ? ?(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ?

?a ? 0, ? ? 0 ? a ? 3? 2 2 . ? ?a ? 1, ? ?a ? 3 ? 2 2或a ? 3 ? 2 2
故所求实数 a 的取值范围是 (0,? 2 2) . 3 (II)依题意可设 g ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,则由 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,得

f (0) f (1) ? f (0) ? g (0) g (1) ? x1x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? [ x1 (1 ? x1 )][ x2 (1 ? x2 )]
1 1 ? x ? 1 ? x1 ? ? x2 ? 1 ? x2 ? ?? 1 ? ? ? ? ,故 f (0) f (1) ? f (0) ? 16 . 2 2 ? ? ? ? 16
2 2

4 龙文教育·教育是一项良心工程

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题型四 函数的图像、函数与方程 【2005 高考湖北文】函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是 (

y

1


1 2 x

O ?1

D 【2005 高考湖北文】 y ? 2 x , y ? log2 x, y ? x 2 , y ? cos2x 这四个函数中, 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, 在 当
x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是 )? 2 2 A.0 B.1 C.2

使 f(

( D.3



B 【2012 高考湖北文】已知定义在区间 [0, 2] 上的函数
y ? f ( x) 的图象如图所示,则 y ? ? f (2 ? x) 的图象为

y

y
1
1 2 x O ?1 1 2 x

y
1
O ?1 1 2 x

y
1
O ?1 1 2 x

1
O ?1

A

B

C

D

B 【2006 高考湖北文】关于 x 的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题: ① 存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的实根; ② 存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③ 存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④ 存在实数 k,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 A 【2012 高考湖北文】函数 f ( x) ? x cos 2 x 在区间 [0, 2π] 上的零点的个数为错误!未找到引用源。 A.2 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 D B. 错误! 3 未找到引用源。 D.5 .
5 龙文教育·教育是一项良心工程

C. 4

【2008 高考湖北文】方程 2? x ? x 2 ? 3 的实数解的个数为

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2 【2010 高考福建理】函数 f(x)= A. 0 C 【2011 高考山东文】已知函数 f(x) loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3<b<4 时,函数 =
f(x) 的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n=

的零点个数为 D.3

B. 1

C.2



1 【2009 高考天津理】设函数 f ( x) ? x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3 1 1 A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点 e e 1 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点 D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) e e 内有零点

解 析 : 由 题 得 f `( x ) ?

1 1 x?3 ? ? , 令 f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ; 令 f `( x ) ? 0 得 0 ? x ? 3 ; 3 x 3x

f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ,故知函数 f ( x ) 在区间 (0,3) 上为减函数,在区间 ( 3,? ?) 为增函数,在点
x ? 3 处有极小值 1 ? ln 3 ? 0 ;又 f (1) ?

1 e 1 1 , f ?e ? ? ? 1 ? 0, f ( ) ? ? 1 ? 0 ,故选择 D。 3 3 e 3e

【2011 高考陕西理】函数 f(x)= x —cosx 在[0,+∞)内 ( (A)没有零点 (C)有且仅有两个零点 C 补充例题: (B)有且仅有一个零点 (D)有无穷多个零点



【2012 高考四川文 4】函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(



【答案】C

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【解析】 a ? 1 时单调递增,? a ? 0 , A 不正确; 当 故 因为 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒不过点 (1,1) , 所以 B 不正确;当 0 ? a ? 1 时单调递减, ? 1 ? ?a ? 0 故 C 正确 ;D 不正确. , 【2012 高考真题新课标理 10】 已知函数 f ( x) ?
1 ; y ? f ( x) 的图像大致为 则 ( ln( x ? 1) ? x



【答案】B 【解析】排除法,因为 f (2) ?
1 1 ? 0 ,排除 A. f (? ) ? ln 2 ? 2 2

1 1 ? ? 0 ,排除 C,D, 1 1 e ln ? ln 2 2 2

选 B. 【2012 高考山东文 10】函数 y ?
cos6x 的图象大致为 2x ? 2? x

【答案】D 【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,令 y ? 0 得 cos 6 x ? 0 ,所以
6x ?

?
2

? k? , x ?

?
12

?

? k ? ,函数零点有无穷多个,排除 C,且 y 轴右侧第一个零点为 ( ,0) , 12 6

又 函 数 y ? 2 x ? 2?x 为 增 函 数 , 当 0 ? x ?

?

12

时 , y ? 2 x ? 2 ?x ? 0 , cos 6 x ? 0 , 所 以 函 数
7

龙文教育·教育是一项良心工程

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y?

cos 6 x ? 0 ,排除 B,选 D. 2 x ? 2?x
1 x

【2012 高考山东文 12】设函数 f ( x) ? , g ( x) ? ? x2 ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有 且仅有两个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 (A) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (C) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (B) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (D) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

【答案】B 【解析】方法一:在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,要想满足条件,则有如图

,做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为 (? x1,? y1 ) ,由图象知 ? x1 ? x2 ,? y1 ? y2 , 即

x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,故答案选 B.
方法二:设 F ( x) ? x3 ? bx2 ? 1 ,则方程 F ( x) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解,故其有且仅有两个不同零点
2 2 x1 , x2 .由 F ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? b .这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b) ? 0 ,因为 F (0) ? 1 ,故 3 3

必有 F ( b) ? 0 由此得 b ?

2 3

33 2 2 .不妨设 x1 ? x2 ,则 x2 ? b ? 3 2 .所以 F ( x) ? ( x ? x1 )( x ? 3 2)2 ,比 2 3
1 1 x ?x 13 1 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 ,由此知 y1 ? y2 ? ? ? 1 2 ? 0 ,故答 x1 x2 x1 x2 2 2

较系数得 ? x1 3 4 ? 1 ,故 x1 ? ? 案为 B.

【2012 高考江西文 10】如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与 OB 的夹角为

? , 6

? 以 A 为圆心, 为半径作圆弧 BDC 与线段 OA 延长线交与点 C.甲。 AB 乙两质点同时从点 O 出 ? 发,甲先以速度 1(单位:ms)沿线段 OB 行至点 B,再以速度 3(单位:ms)沿圆弧 BDC 行
至点 C 后停止,乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至 A 点后停止。设 t 时刻甲、乙所到 的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t) (S(0)=0) ,则函数 y=S(t)的图 像大致是

8 龙文教育·教育是一项良心工程

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【答案】A 【解析】当 0 ? t ? 2 时,甲经过的路程为 OE ? t , 乙经过的路程为 OF ? 2t , 所以三角形的面积 为 S (t ) ?
1 ? 1 t (2t ) cos ? t 2 , (0 ? t ? 1) ,为抛物线,排除 B,D.当 t ? 1 2 3 2

时,甲到 B,乙到达 A.此时 AB ? 3 ,即圆的半径为 AB ? 3 ,由图 象可知,当 1 ? t ? 2 时,面积越来越大,当甲到 C 处,乙到 A 处时,甲乙停止,此时面积将 不在变化,为常数,排除 C,选 A. 题型五 函数模型及其应用 【2007 高考湖北文】为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过 程中,室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后,

?1? y 与 t 的函数关系式为 y ? ? ? ? 16 ?
问题:

t ?a

( a 为常数) ,如图所示,根据图中提供的信息,回答下列

(I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)之间的函数关 系式为 . (II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么 从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

? 1? ? ? ?10t,0 ≤ t ≤ 10 ?, ? ? ? 【答案】 y ? ? ;0.6 1 t? 1? ?? 1 ? 10 ? ? ?? 16 ? ,t ? 10 ? ? ? ?? ?
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【2011 高考湖北文】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况 下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函数,当桥 上的车流魔都达到 200 辆 /千米时, 造成堵塞, 此时车流速度为 0; 当车流密度不超过 20 辆 / 千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 2 ? ? 0 时,车流速度 v 是车流密度 x 0 x 20 的一次函数。 (I) 当 0 x? 0 时,求函数v(x)的表达式; ? 20 (II) 当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小 时) f(x ?x vx 可以达到最大,并求出最大值。 (精确到 1 辆/小时) 。 ) ? ()

【2009 高考湖北文】围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利 用旧墙需维修) 其它三面围墙要新建, , 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口, 如图所示, 已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单 位:元)。 (Ⅰ )将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ )试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 解: )设矩形的另一边长为 am,则 y -45x-180(x-2)+180· (Ⅰ 2a=0, y=225x+360a-360,由已知 xa=360,得 a=
360 , x
10 龙文教育·教育是一项良心工程

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所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) x

(II)? x ? 0,? 225 x ?

3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 x

3602 3602 ? y ? 225x ? ? 360 ? 10440.当且仅当 225x= 时,等号成立. x x

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. 【2008 高考湖北文】如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 (即图中阴影部分) ,这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的 中缝空白的宽度为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最 小?

解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25a ? 40b =18500+ 2 1000 ? 24500 ab .



5 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b= a ,代入① 式得 a=120,从而 b=75. 8

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, >20,y>25 两栏面积之和为 2(x-20)
y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20
y ? 25 , 其中 x 2

11 龙文教育·教育是一项良心工程

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广告的面积 S=xy=x( 整理得 S=

18000 18000 x ? 25 )= ? 25 x, x ? 20 x ? 20

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 . x ? 20

因为 x-20>0,所以 S≥2 当且仅当

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500? 24500 . x ? 20

360000 ? 25( x ? 20 ) 时等号成立, x ? 20
18000 +25,得 y=175, x ? 20

此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500,

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 【2007 高考湖北文】某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价 格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ≤ x ≤ 30 )的平方成正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (I)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 解: )设商品降价 x 元,则多卖的商品数为 kx 2 ,若记商品在一个星期的获利为 f ( x) , (Ⅰ 则依题意有 f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? kx2 ) ? (21 ? x)(432 ? kx2 ) ,
· 又由已知条件, 24 ? k 22 ,于是有 k ? 6 ,

所以 f ( x) ? ?6x3 ?126x2 ? 432x ? 9072,x ?[0, . 30] (Ⅱ )根据(Ⅰ ,我们有 f ?( x) ? ?18x2 ? 252x ? 432 ? ?18( x ? 2)( x ? 12) . )

x
f ?( x )

2 ?0,?

2

(2, 12)

12

30 ?12, ?
?

?

0 极 小

?
?

0 极 大

f ( x)

?

?

故 x ? 12 时, f ( x) 达到极大值.因为 f (0) ? 9072 , f (12) ? 11264 ,所以定价为 30 ? 12 ? 18 元 能使一个星期的商品销售利润最大. 【2012 高考江苏 17】如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面, 单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?
1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 20
12 龙文教育·教育是一项良心工程

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表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=
20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 立, 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

。 > 0 (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ?
1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 20

与 x 轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一 元二次方程根的判别式求解。 【2012 高考上海文 21】 海事救援船对一艘失事船进行定位:

13 龙文教育·教育是一项良心工程

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以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单 位长度) ,则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图,现假设:①失事船的移动路 径可视为抛物线 y ?
12 2 x ; ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救援船出发 t 小时后, 49

失事船所在位置的横坐标为 7t (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的 大小和方向 (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 【答案】

14 龙文教育·教育是一项良心工程


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