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广州市海珠区高二下学期期末联考数学(理)试题


海珠区 2013-2014 学年下学期期末联考试题

高二数学
本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考室号、座位号填 写在答题卡上;填写考生编号,并用 2B 铅笔把对应号码的标号涂黑。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按要 求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束,将答题卡交回监考老师,试卷自己保管。 5.本次考试不允许使用计算器。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.下列求导运算正确的是( A. ?sin x ? ' ? ? cos x ) B. ? cos x ? ' ? sin x D. 2

C. ?

1 ?1? ? ?? 2 x ? x?

'

? ? ? x?2
x '

x ?1

2.已知 a 是实数, ? a ? i ??1 ? i ? 是纯实数,则 a 等于( A. 2 B. 1 C. ?1

) D. ?2 ) D. ?8 )

3.已知向量 a ? (3, ?1, 2), b ? ( x, y, ?4) ,且 a / / b ,则 x ? y ? ( A. 8 4.已知椭圆 B. 4 C. ?4

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0) ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值为( 与双曲线 a2 9 4 3
B. 10 C.10 D.4

A. 2

5.设集合 M ? x ? 1 ? x ? 3 , N ? x x( x ? 3) ? 0 ,那么“a∈M”是“a∈N”的(

?

?

?

?



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在高台跳水运动,运动员相对于水面的高度 h (单位: m )与起跳后的时间 t (单位: s )存在 函数关系 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 ,则瞬时速度为 1m/s 的时刻是(
2



A.

55 s 98

B.

65 s 98
)

C.

55 s 49

D.

65 s 49

7.下列选项中,说法正确的是(
2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题 为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”. ...
2

B.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题 是真命题. ...
2 2

C.命题“ ?x ? R,x ? x ? 1 ? 0 ”的否定 是:“ ?x0 ? R,x02 ? x0 ? 1 ? 0 ”. ..
2

D.命题“若 x ? y ,则 cos x ? cos y ”的逆否命题 为真命题. .... 8.抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,其准线经过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点,点 M 为这 a 2 b2


两条曲线的一个交点,且 | MF |? 2 ,则双曲线的离心率为(

A.

10 2

B. 2

C.

5

D.

5 2

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分. 9.定积分

?

3

0

x 2 dx =
1 x
6

. . 种.(用数字作答)

2 10.在二项式 (2 x ? ) 的展开式中,含 x 项的系数是

11.从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法有 12.已知随机变量 X 的分布列是

X
P
则 DX ? .

0

1 0.4

2

t

t

13.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面2米,水面宽 4米,水位上升1米后,水面宽 米. 第 13 题 14.若等差数列 ?an ? 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn .则数列 ? 正项等比数列 ?bn ? 的公差为 q ,前n项和为 Tn .则数列

d ? Sn ? ? 为等差数列,公差为 .类似地,若 2 ?n?

? T ? 为等比数列,公差为
n n

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分12分) 在 ?ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 A 、 B 、 C 成等差数列, (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)若 a 、 b 、 c 成等比数列, 求证: ?ABC 为等边三角形.

16.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx(a, b ? R) 的图像过点 P(1, f (1)) ,且在点 P 处的切线方 程为

y ? 8x ? 6 .
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

17.(本小题满分14分) 已知 A 盒中有2个红球和2个黑球. B 盒中有2个红球和3个黑球,现从 A 盒与 B 盒中各取一个球 出来再放入对方盒中. (Ⅰ)求 A 盒中有2个红球的概率; (Ⅱ)求 A 盒中红球数 ? 的分布列及数学期望

18. (本小题满分14分) 如图,在等腰直角三角形 RBC 中,?RBC ? 90 , RB ? BC ? 2 .点 A 、D 分别是PB,RC 的 中点,现将△ RAD 沿着边 AD 折起到△ PAD 位置,使 PA ? AB ,连结 PB , PC . (Ⅰ)求证: BC ? PB ; (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值.

第 18 题

19. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系中,直线 l 的方程为 y ? ?1 ,过点 A ? 0,1? 且与直线 l 相切的动圆的圆心为点

M ,记点 M 得轨迹为曲线 E .
(Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? 1 与曲线 E 相交于B,C两点,过B点作直线 l 的垂线,垂足为D,O为坐标 原点,判断D,O,C三点是否共线?并证明你的结论.

20.(本小题满分14分)已知函数 f ( x) ? x ln x ? 1 (Ⅰ)若 x ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的图像恒在直线 y ? kx 上方,求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)证明:当时 n ? ? , ln(n ? 1) ?
?

1 1 1 ? ? ? 2 3 4

?

1 . n ?1

海珠区 2013-2014 学年下学期期末联考参考答案及评分标准

高二数学
一、选择题(每小题 5 分,共 8 小题,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 B 6 A 7 D 8 A

二、填空题(每小题 5 分,共 6 小题,共 30 分) 9. 9 10. 240 11. 60 12.0.6 13. 2 2 14. q

三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)由 A、B、C 成等差数列,有 2 B =A ? C , 因为 A、B、C 为 ?ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? , ∴B ? ………2 分 ………3 分 ………4 分
2

?
3

(Ⅱ)由 a、b、c 成等比数列, b ? ac ,
2 2 2 2 2

………6 分

由余弦定理可得, b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac , ………8 分
2 2 代入得 a ? c ? ac ? ac ,即 ? a ? c ? =0 ,因此 a=c ,
2

………10 分 ………11 分 ………12 分

从而 A=C , 由此可得, A ? B ? C ? 所以 ?ABC 为等边三角形.

?
3



16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵点 P 在切线上,∴ f (1) ? 2 .∴ a ? b ? 1 . 又函数图象在点 P 处的切线斜率为 8,∴ f ' (1) ? 8 , 又 f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
2

………1 分 ………2 分 ………3 分 ………4 分 ………6 分

∴ 2a ? b ? 5 . 解方程组,可得 a ? 4, b ? ?3 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ' ( x) ? 3x ? 8x ? 3 ,
2

令 f '( x) ? 0 解得 x ? ?3或x ?

1 3 1 ; 3

…………8 分 ………9 分 …………10 分

由 f ' ( x) ? 0 ,可得 x ? ?3或x ? 由 f ' ( x) ? 0 ,可得 ? 3 ? x ?

1 . 3

∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (?? ,?3),

1 1 ( ,?? ) ,单调减区间为 ( ?3, ) .………12 分 3 3

17.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) A 盒与 B 盒中各取一个球出来再放入对方盒中后, A 盒中还有 2 个红球有下面两种情 况: ①互换的是红球,将该事件记为 A 1 ,则: P ? A 1? ?
1 1 C2 C2 1 ? ; 1 1 C4C5 5

………3 分

1 1 C2 C 3 ②互换的是黑球,将该事件记为 A2 ,则: P ? A2 ? ? 1 3 ? ; 1 C4C5 10

………6 分

故 A 盒中有 2 个红球的概率为 P ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? (Ⅱ) A 盒中红球数 ? 的所有可能取值为 1,2,3.

1 3 1 ? ? ; 5 10 2

………8 分 ………9 分

1 1 1 1 1 C2 C3 3 C2 C 1 P ? ? 2 ? 而 P ?? ? 1? ? 1 1 ? ; ? ? ;………12 分 ? ; P ? ? ? 3? ? 1 2 1 2 C4C5 10 C4C5 5

因而 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

3 10

1 2

1 5
………13 分

∴ E? ?

3 1 1 19 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? . 10 2 5 10
P

………14 分

18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点, ∴ AD // BC , ………1 分
F R

C D

A

B

∵ PA ? AD ,∴ PA ? BC ,

------2 分

∵ BC ? AB, PA ? AB ? A , ---------3 分 ∴ BC ⊥平面 PAB . ∵ PB ? 平面 PAB , ∴ BC ? PB . -------5 分 -------6 分 -------7 分 --------4 分

(Ⅱ)法 1:取 RD 的中点 F ,连结 AF 、 PF . ∵ RA ? AD ? 1 , ∴ AF ? RC .

∵ AP ^ AB, AP ^ AD , ∵ RC ? 平面 RBC , ∵ AF ? AP ? A, ∵ PF ? 平面 PAF ,

∴ AP ? 平面 RBC . -------8 分 ∴ RC ? AP . ∴ RC ? 平面 PAF . ∴ RC ? PF . -------9 分 -------10 分 -------11 分 --------12 分

∴∠ AFP 是二面角 A ? CD ? P 的平面角. 在 Rt△ RAD 中, AF ? 在 Rt△ PAF 中, PF ?

1 1 2 , RD ? RA2 ? AD2 ? 2 2 2 PA2 ? AF 2 ? 6 , 2
----------13 分

2 AF 3 ? 2 ? ∴ 二面角 A ? CD ? P 的平面角, cos?AFP ? . -----14 分 PF 3 6 2
法 2 : 由 题 意 知 AP ^ AB, AP ^ AD, AB ^ AD , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系

A ? xyz .

------6 分

则 D (-1,0,0) , C (-2,1,0) , P (0,0,1). ------7 分 ∴ DC =(-1,1,0) , DP =(1,0,1),
z

-----8 分

r 设平面 PCD 的法向量为 n = (x, y, z ) ,则:
? ? ?n ? DC ? ? x ? y ? 0 , ? ? ? ? n ? DP ? x ? z ? 0
令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? ?1 , ∴ n =(1,1,-1). ---------9 分 ----------10 分 -----------11 分
R x

P

C D

A

B

y

?

显然, PA 是平面 ACD 的一个法向量, PA =( 0,0, ? 1 ) .

----------12 分

? ? n ? PA ? ∴cos< n , PA >= ? n ? PA

1 3 ?1

?

3 . 3

---------13 分

∴二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值是

3 . --------14 分 3

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解法 1:由题意, 点 M 到点 A 的距离等于它到直线 l 的距离, 故点 M 的轨迹是以点 A 为焦点, l 为准线的抛物线. ∴曲线 E 的方程为 x2 ? 4 y . 解法 2:设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,依题意, 得 MF ? y ?1 , 即 x ? ? y ? 1? ? y ? 1 ,
2 2

……………2 分 ……………4 分

……………2 分

化简得 x2 ? 4 y . ∴曲线 E 的方程为 x2 ? 4 y . (Ⅱ)答: D, O, C 三点共线. 证明: 设点 B, C 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,
2 2 依题意得, x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 .

……………4 分 ……………5 分 ……………6 分 ……………7 分 ……………9 分

由?

? y ? kx ? 1, 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , 2 x ? 4 y , ?
4k ? 4 k 2 ? 1 ? 2k ? 2 k 2 ? 1 . 2

解得 x1,2 ?

∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 .
2 x2 y x ? 2 ? 4 ? 2, x2 x2 4

……………11 分

∴直线 OC 的斜率 kOC

……………12 分

直线 OD 的斜率 kOD ?

?1 x2 ? , x1 4

……………13 分 … ………14 分

∴ kOC ? kOD ,故 D, O, C 三点共线.

20. (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)当 x ? ? 0, ??? 时,函数 y ? f ( x) 的图像恒在直线 y ? kx 上方, 等价于当 x ? ? 0, ??? 时, x ln x ? 1 ? kx 恒成立, 即k ? ………1 分 ………2 分

x ln x ? 1 1 ? ln x ? 恒成立, x x

令 g ? x ? ? ln x ?

1 1 1 x ?1 , x ? ? 0, ??? ,则 g ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ………3 分 x x x x

当 x ? ?1,??? 时, g ' ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? ? ln x ? 当 x ? ? 0,1? 时, g ' ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? ? ln x ? ∴ g ?1? 为 g ? x ? ? ln x ?

1 在 ?1, ?? ? 上递增, x

1 在 ? 0,1? 上递减,………4 分 x

1 在区间 ? 0, ??? 上的极小值,仅有一个极值点故为最小值, x
………5 分 ………6 分

∴ x ? ? 0, ??? 时, g ? x ? ? g ?1? ? 1 所以实数 k 的取值范围是 ? ??,1? (Ⅱ)证明 1(构造函数法): 由(1)知当 x ? 0 , x ? 1 时, x ln x ? 1 ? x ,即 ln x > 1令x?

1 x

………8 分 ………10 分 ………11 分

n ?1 n ?1 n ? 1? ,则 ln , n n n ?1

即得 ln( n ? 1) ? ln n ?
1 2

1 n ?1
1 3 1 n ?1

?, ln( n ? 1) ? ln n ? ? ln 2 ? ln 1 ? , ln 3 ? ln 2 ? ,

………12 分

? ln(n ? 1) ? (ln(n ? 1) ? ln n) ? (ln n ? ln(n ? 1)) ? ?? (ln 2 ? ln1 ) ? ln1
> 1 1 1 + +L + n+ 1 n 2
1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 3 4 n ?1
……………13 分

即 ln( n ? 1) ?

…………………14 分

证明 2(数学归纳法): ①当 n ? 1 时,由 2 ln 2 = ln 4 > 1 ,知 ln 2 >

1 成立; 2

………7 分

②假设当 n ? k 时命题成立,即 那么,当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 + + +L + < ln(k + 1) 2 3 4 k+1

1 1 1 1 1 1 + + +L + + < ln(k + 1) + ………8 分 2 3 4 k+1 k+ 2 k+ 2 1 < ln(k + 2) k+ 2
………9 分

下面利用分析法证明: ln(k + 1) +

要证上式成立,只需证: 只需证: 1令x=

1 < ln(k + 2) - ln(k + 1) k+ 2
………10 分

k+1 k+ 2 < ln k+ 2 k+1

k+ 2 1 < ln x , ( x > 1) ,只需证: 1k+1 x

………11 分

只需证: x < x ln x + 1 , ( x > 1) 由(1)知当 x ? 1 时, x ln x ? 1 ? x 恒成立. 所以,当 n ? k ? 1 时, ………12 分

1 1 1 1 1 + + +L + + < ln(k + 2) 也成立,……13 分 2 3 4 k+1 k+ 2
………14 分

由①②可知,原不等式成立.


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