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平面向量知识点总结


平面向量知识点总结
基本知识回顾:
1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示----- AB (几何表示法); ②用字母 a 、 b 等表示(字母表示法); ③平面向量的坐标表示(坐标表示法) : 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底。任作一个向量 a ,由平

面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj , ( x, y ) 叫做向量 a 的(直 角)坐标,记作 a ? ( x, y) ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特别地, i ? (1, 0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) 。 a ? 则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?, AB ? 3.零向量、单位向量: ①长度为 0 的向量叫零向量,记为 0 ; ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.(注: 4.平行向量: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行.向量 a 、 b 、 c 平行,记作 a ∥ b ∥ c .共线向量与平行向量 关系:平行向量就是共线向量.

?

?

x 2 ? y 2 ;若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

a |a|

就是单位向量)

? ? ?? ? 0, b 与 a同向 方向 --? ? ? 性质: a // b (b ? 0) ? a ? ?b (? 是唯一) ? ? ?? ? 0, b 与 a 反向 ? 长度---| a |? ? b ? ?

a // b (b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (其中 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) )
5.相等向量和垂直向量: ①相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

②垂直向量——两向量的夹角为 ? ? 性质: a ? b ? a b ? 0

?
2

a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 (其中 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) )
6.向量的加法、减法: ①求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则:

AC ? a ? b (起点相同的两向量相加,常要构造平行四边形) DB ? a ? b
三角形法则 ?

?加法 ? ? ? 首尾相连 ?减法 ? ? ? 终点相连, 方向指向被减数

——加法法则的推广: ABn ? AB1 ? B1B2 ? ?? ? Bn?1Bn 即 n 个向量 a1, a2 , ?? an 首尾相连成一个封闭图形,则有 a1 ? a2 ? ?? ?an ? 0 ②向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。即: a ? b = a + (? b ); 差向量的意义: OA = a ,

OB = b , 则 BA = a ? b

③平面向量的坐标运算:若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ? a ? (? x, ? y) 。
④向量加法的交换律: a + b = b + a ;向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) ⑤常用结论: (1)若 AD ?

1 ( AB ? AC ) ,则 D 是 AB 的中点 2

(2)或 G 是△ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 0

7.向量的模: 1、定义:向量的大小,记为 | a | 或 | AB | 2、模的求法: 若 a ? ( x, y) ,则 | a | ?

x2 ? y 2

若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 | AB | ? 3、性质: (1) | a |2 ? a ;
2

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

| a |? b (b ? 0) ? | a |2 ? b2 (实数与向量的转化关系)

(2) a ? b ? | a |2 ?| b |2 ,反之不然 (3)三角不等式: | a | ? | b | ? | a ? b | ? | a | ? | b | (4) | a b | ? | a || b | (当且仅当 a, b 共线时取“=” ) 即当 a, b 同反向时 , a b ??| a || b |

即当 a, b 同向时 , a b ? | a || b | ;

(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和, 即 2 | a |2 ?2 | b |2 ? | a ? b | 2 ? | a ? b |2 8.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a (1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 ; (3)运算定律 λ (μ a )=(λ μ ) a ,(λ +μ ) a =λ a +μ a ,λ ( a + b )=λ a +λ b

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交换律: a b ? b a ; 分配律: (a ? b) c ? a c ? b c ( ? a )· b = ? ( a · b )= a ·( ? b ); ——①不满足结合律:即 (a b) c ? a (b c)

a a ②向量没有除法运算。如: a b ? c b ? a ? c , ? 都是错误的 ab b

2

(4)已知两个非零向量 a, b ,它们的夹角为 ? ,则

a b = | a || b | cos?
坐标运算: a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a b ? x1x2 ? y1 y2 (5)向量 AB ? a 在轴 l 上的投影为: ︱ a ︱ cos ? , ( ? 为 a 与 n 的夹角, n 为 l 的方向向量) 其投影的长为 A B ?
/ /

an |n|



n 为 n 的单位向量) |n|

(6) a 与 b 的夹角 ? 和 a b 的关系: (1)当 ? ? 0 时, a 与 b 同向;当 ? ? ? 时, a 与 b 反向 (2) ? 为锐角时,则有 ? 9.向量共线定理: 向量 b 与非零向量 a 共线 (也是平行) 的充要条件是: 有且只有一个非零实数λ , 使b = λ a。 10.平面向量基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有 且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 。 (1)不共线向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 、 e2 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量。 向量坐标与点坐标的关系: 当向量起点在原点时, 定义向量坐标为终点坐标, 即若 A(x, y),则 OA =(x,y) ;当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减去起点坐标,即 若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 AB =(x2-x1,y2-y1) 11. 向量 a 和 b 的数量积:
???

? ?a b ? 0 ? ?a, b 不共线

; ? 为钝角时,则有 ?

? ?a b ? 0 ? ?a, b 不共线

?

?

?

?

?

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?

?

???

???

① a · b =| a |·| b |cos ? ,其中 ? ∈[0,π ]为 a 和 b 的夹角。 ②| b |cos ? 称为 b 在 a 的方向上的投影。 ③ a · b 的几何意义是: b 的长度| b |在 a 的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可 负、也可是零) ,而不是向量。 ④若 a =( x1 , y1 ), b =(x2, y 2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑤运算律:a· b=b·a, (λ a)· b=a·(λ b)=λ (a·b) , (a+b) ·c=a·c+b·c。 ⑥ a 和 b 的夹角公式:cos ? =

? ?

a ?b a?b



x1 x2 ? y1 y2
2 x1 ? y1 ? 2 2 2 x2 ? y2

⑦ a ? a ? a ? | a | =x +y ,或| a |=
2 2 2

? ?

?2

x2 ? y2 ? a

2

⑧| a·b |≤| a |·| b |。

(

x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ) 3 3
? ? ? ? ? ?

12.两个向量平行的充要条件: 符号语言:若 a ∥ b , a ≠ 0 ,则 a =λ b

? ? ? ? ? x ? ?x 2 坐标语言为: 设a = (x1,y1) ,b =(x2,y2), 则 a ∥ b ? (x1,y1)=λ (x2,y2), 即? 1 , ? y 1 ? ?y 2

或 x1y2-x2y1=0 在这里,实数λ 是唯一存在的,当 a 与 b 同向时,λ >0;当 a 与 b 异向时,λ <0。 |λ |=
|a| |b|
? ?

?

?

?

?

,λ 的大小由 a 及 b 的大小确定。因此,当 a , b 确定时,λ 的符号与大小就确

?

?

?

?

定了。这就是实数乘向量中λ 的几何意义。 13.两个向量垂直的充要条件: 符号语言: a ⊥ b ? a · b =0 坐标语言:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0
? ? ? ? ? ? ? ?


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