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福建省仙游一中2013-2014学年度高三上学期期中考试数学(理)试题


仙游一中 2013-2014 学年度上学期期中考

高三理科数学试题
满分 150 分,答卷时间 120 分钟
一:选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.选项填在答题卷上。 1.若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数),则 b ? ( A、 2 B、 ?2 C、 )

1 2

D、 ?

1 2

2.下列命题错误的是 ( ) 2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” B.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题
2 C.命题 p :存在 x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p :任意 x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0

2

D.“ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 3. 下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是 ( A. y ? cos x B. y ? ? x ? 1 ) D. y ? e x ? e ? x “函数 f ( x) 的图像是一

4. 设函数 f ( x) ? ( xa ? b)(a ? xb) ,其中 a 条直线”的充分条件是(

? ? , b 是非零向量,则
C. a ? b

2? x C. y ? ln 2? x

? ? A. a ? b

? ? B. a ? b

)

?

?

D. a / / b
3

?

?

1 tan A 是以-4 为第 3 项, 5.在 ?ABC 中, 4 为第 5 项的等差数列的公差, tan B 是以 为第 3 项,

9 为第 6 项的等比数列的公比,则该三角形是( A. 锐角三角形 B.直角三角形

) D.等腰三角形

C.钝角三角形

? ? 6 .函数 f ( x) ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0,
g ( x) ? sin ?x 的图像,可以将 f ( x) 的图像(

?
2

)的图象如右图所示,为了得到



? 个单位长度 3 ? D.向右平移 个单位长度 3 ? ? 1 7. 以下命题:①若 a ? b ? a ? b , 则 a / / b ;② a ? (?1,1) 在 b ? (3,4) 方向上的投影为 ; 5 ? ? ??? ? ??? ? ? ? ③若△ ABC 中, a ? 5, b ? 8, c ? 7, 则 BC ? CA ? 20 ;④若 a ? b ? 0 ,则向量 a 与 b 的夹
A.向左平移 B.向左平移 角为钝角.则其中真命题的个数是( A. 4 B. 3 ) C. 2 D. 1

? 个单位长度 6 ? C.向右平移 个单位长度 6

8.已知数列 an ? 是等差数列,若它的前 n 项和 Sn 有最大值,且

?

a11 ? ?1 ,则使 Sn ? 0 成立的 a10

最大自然数 n 的值为( A. 10

) B. 19 C. 20 D. 21

9. 已知函数 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ), 当 x ? ?1, 3? 时, f ( x) ? ln x, 若在区间 ? , 3? 内,函 数 g ( x) ? f ( x) ? ax ,有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( )

1 x

?1 ? ?3 ?

A. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

B. ? , ? ? 3 e?

? ln 3 2 ?

C. ? 0,

? ?

1? ? 2e ?

D. ? 0, ?

? 1? ? e?

10.直线 l 与函数 y ? sin x( x ??0, ? ?) 的图像相切于点 A ,且 l // OP ,O 为坐标原点, P 为 图像的极大值点,与 x 轴交于点 B ,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,则 BA?BC = ( A. 2 ) B.

??? ? ??? ?

? 2

C.

?2 4

D.

?2 ?4
4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷上。 1 n 1 n 11.已知 n∈{-1,0,1,2,3},若(- ) >(- ) ,则 n=__________. 2 5 12.设 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 ,且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 a5 的值为 13. 已知 min ?a, b? ? ? .

? ?a ? a ? b ? , ? 1? , 设 f ( x) ? m 则由函数 f ? x ? 的图象与 x 轴、 n i ?x2 , ? , ? x? ? ?b ? a ? b ?
.

直线 x ? e 所围成的封闭图形的面积为

14. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1) ? 1 ,且对于任意的 x ? R ,都有 不等式 f (log2 x) >

f' ( x) < 1 ,则
2

log 2 x ? 1 的解集为 2



15. 设 f ? x ?=asin2x+bcos2x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 .若 f ? x ? ? f ? 成立,则 ① f (?

?? ? ? 对一切 x ? R 恒 ?6?

?
12

) ? 0;



? 7? ? ?? ? f? ?? f? ?; ? 12 ? ?5?

③ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数; ④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ?k ? Z ?; 3 ? ?

⑤ 存在经过点 ? a, b ? 的直线与函数 f ? x ? 的图象不相交. 以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号) 三、解答题(本题 16—19 小题每题 13 分,21,22 小题每题 14 分,共 80 分,解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2 ? an (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?Sn ? 的前项和 Tn .

17、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 满足 f (0) ? ?1 , 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? x ? 1 ,且 f (? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)是否存在实数 a ,使函数 g ( x) ? log 1 [ f ( a)] x 在 (??, ??) 上为减函数?若存在,求出
2

1 1 ? x) ? f (? ? x) . 2 2

实数 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 18.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系中,角 ? , ? 的始边为 x 轴的非负半轴,点

??? ? ??? ? P(1, 2cos2 ? ) 在角 ? 的终边上,点 Q(sin 2 ? , ?1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ?1 . (1)求 cos 2? ; (2)求 P, Q 的坐标并求 cos(? ? ? ) 的值.

19.(本小题满分 13 分)某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确 定,棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面.该圆面的内接四边形 ABCD 是原 棚户建筑用地,测量可知边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米, CD=2 万米. (1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面的半径 R 的值; (2)因地理条件的限制,边界 AD、DC 不能变更,而边界 AB、BC 可以 调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧 ABC 上设 计一点 P;使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面积最大,并求最 大值.

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? 的图象过坐标原点 ?a ln x, x ? 1
O,且在点 (?1, f (?1)) 处的切线的斜率是 ? 5 . (Ⅰ)求实数 b、c 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?? 1,2? 上的最大值; (Ⅲ)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P、Q,使得 ?POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?说明理由.

21. 有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分. (1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ? ①求矩阵 A ; ②已知矩阵 B ? ?

? ? ?2? ? a 2? 有一个属于特征值 1 的特征向量 ? ? ? ? , ? ?1 b ? ? ?1?

?1 ?1? ? ,点 O(0, 0) , M (2, ?1) , N (0, 2) ,求 ?OMN 在矩阵 AB 的 ?0 1 ? N ? 的面积. 对应变换作用下所得到的 ?O?M ?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? cos? ? 过 P(2,0)作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 E: ? (θ 为参数)交于 A,B 两 2 ? y ? sin ? 2 ?
点. (Ⅰ)求曲线 E 的普通方程及 l 的参数方程; (Ⅱ)求 sin ? 的取值范围.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式证明选讲 已知正实数 a 、 b 、 c 满足条件 a ? b ? c ? 3 , (Ⅰ)求证: a ? b ? c ? 3 ; (Ⅱ)若 c ? ab ,求 c 的最大值.

仙游一中 2013-2014 学年度上学期期中考

高三理科数学试题参考答案
满分 150 分,答卷时间 120 分钟
一:选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.选项填在答题卷上。 1.若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数),则 b ? ( A、 2 B、 ?2 C、 A )

1 2

D、 ?

1 2

2.下列命题错误的是 ( B ) A.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” B.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题
2 C.命题 p :存在 x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p :任意 x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0

2

D.“ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 3. 下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是 ( D ) A. y ? cos x B. y ? ? x ? 1 C. y ? ln

4. 设函数 f ( x) ? ( xa ? b)(a ? xb) ,其中 a 条直线”的充分条件是(

? ? , b 是非零向量,则
C. a ? b

2? x 2? x

D. y ? e x ? e ? x “函数 f ( x) 的图像是一

? ? A. a ? b

? ? B. a ? b

C

)

?

?

D. a / / b
3

?

?

1 tan A 是以-4 为第 3 项, 5.在 ?ABC 中, 4 为第 5 项的等差数列的公差, tan B 是以 为第 3 项,

9 为第 6 项的等比数列的公比,则该三角形是( A ) A. 锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

? ? 6 .函数 f ( x) ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0,

?
2

)的图象如右图所示,为了得到

g ( x) ? sin ?x 的图像,可以将 f ( x) 的图像( C )

? 个单位长度 3 ? D.向右平移 个单位长度 3 ? ? 1 7. 以下命题:①若 a ? b ? a ? b , 则 a / / b ;② a ? (?1,1) 在 b ? (3,4) 方向上的投影为 ; 5 ? ? ??? ? ??? ? ? ? ③若△ ABC 中, a ? 5, b ? 8, c ? 7, 则 BC ? CA ? 20 ;④若 a ? b ? 0 ,则向量 a 与 b 的夹
A.向左平移 B.向左平移 角为钝角.则其中真命题的个数是( C ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

? 个单位长度 6 ? C.向右平移 个单位长度 6

8.已知数列 an ? 是等差数列,若它的前 n 项和 Sn 有最大值,且

?

a11 ? ?1 ,则使 Sn ? 0 成立的 a10

最大自然数 n 的值为( A. 10

B ) B. 19 C. 20 D. 21

9. 已知函数 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ), 当 x ? ?1, 3? 时, f ( x) ? ln x, 若在区间 ? , 3? 内,函 数 g ( x) ? f ( x) ? ax ,有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A )

1 x

?1 ? ?3 ?

A. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

B. ? , ? ? 3 e?

? ln 3 2 ?

C. ? 0,

? ?

1? ? 2e ?

D. ? 0, ?

? 1? ? e?

10.直线 l 与函数 y ? sin x( x ??0, ? ?) 的图像相切于点 A ,且 l // OP ,O 为坐标原点, P 为 图像的极大值点,与 x 轴交于点 B ,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,则 BA?BC = ( D ) A. 2 B.

??? ? ??? ?

? 2

C.

?2 4

D.

?2 ?4
4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷上。 1 n 1 n 11.已知 n∈{-1,0,1,2,3},若(- ) >(- ) ,则 n=__________.-1 或 2 2 5 12.设 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 , 且 a1 , a 3 , 6a 成等比数列,则 a5 的值为 13. 已知 min ?a, b? ? ? .4

? ?a ? a ? b ? , ? 1? , 设 f ( x) ? m 则由函数 f ? x ? 的图象与 x 轴、 n i ?x2 , ? , ? x? ? ?b ? a ? b ?
.

直线 x ? e 所围成的封闭图形的面积为

4 3

14. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1) ? 1 ,且对于任意的 x ? R ,都有 不等式 f (log2 x) >

f' ( x) < 1 ,则
2

log 2 x ? 1 的解集为 2

(0,2)



15. 设 f ? x ?=asin2x+bcos2x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 .若 f ? x ? ? f ? 成立,则 ① f (?

?? ? ? 对一切 x ? R 恒 ?6?

?
12

) ? 0;



? 7? ? ?? ? f? ?? f? ?; ? 12 ? ?5?

③ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数; ④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ?k ? Z ?; 3 ? ?

⑤ 存在经过点 ? a, b ? 的直线与函数 f ? x ? 的图象不相交. 以上结论正确的是________①②③__________(写出所有正确结论的编号) 三、解答题(本题 16—19 小题每题 13 分,21,22 小题每题 14 分,共 80 分,解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2 ? an (1)求数列 ?an ? 的通项公式; ∴ 2an ? an?1 , a1 ? 1 ∴数列 ?an ? 是等比数列,其首项为 1,公比为 分
n ?1 (2) Sn ? 2 ? an = 2 ? ( ) ,

(2)求数列 ?Sn ? 的前项和 Tn .

16.解:(1)又当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ? (2 ? an ) ? (2 ? an?1 ) ? an?1 ? an

1 1 n ?1 ,∴ an ? ( ) ???????.6 2 2

1 2

1 0 1 1 1 n ?1 ∴ Tn ? 2 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ? ? 2 ? ( ) ? 2n ? 2 2 2


1 1 ? ( )n 2 ? 2n ? 2 ? 1 ?????.13 1 2n ?1 1? 2

17、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 满足 f (0) ? ?1 , 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? x ? 1 ,且 f (? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)是否存在实数 a ,使函数 g ( x) ? log 1 [ f ( a)] x 在 (??, ??) 上为减函数?若存在,求出
2

1 1 ? x) ? f (? ? x) . 2 2

实数 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 17、解:(1)由 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 及 f (0) ? ?1 ∴ c ? ?1 ??????1 分
2

1 1 ? x) ? f (? ? x) 2 2 1 b 1 ? ? ,∴ a ? b ∴ f ( x ) 图像的对称轴为直线 x ? ? ,则 ? 2 2a 2 又对任意 x ? R 都有 f ( x) ? x ? 1 ,
又对任意 x ? R ,有 f (? 即 ax ? (b ?1) x ? 0 对任意 x ? R 成立,
2

??????3 分

∴?

?a ? 0

2 ?? ? (b ? 1) ? 0 2 ∴ f ( x) ? x ? x ?1

,故 a ? b ? 1

??????6 分 ??????7 分

(2)由(1)知 g ( x) ? log 1 [ f (a)] ? log 1 (a ? a ? 1)
x 2 2 2

x

,其定义域为 R ?????8 分

令 u( x) ? (a ? a ?1)
2

x

要使函数 g ( x) ? log 1 (a2 ? a ?1) x 在 (??, ??) 上为减函数,
2

只需函数 u( x) ? (a ? a ?1) x 在 (??, ??) 上为增函数,
2

??????10 分 ??????12 分

由指数函数的单调性,有 a 2 ? a ? 1 ? 1,解得 a ? ?2或a ? 1

故存在实数 a ,当 a ? ?2或a ? 1 时,函数 g ( x) ? log 1 [ f (a)]x 在 (??, ??) 上为
2

减函数??????13 分 18.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系中,角 ? , ? 的始边为 x 轴的非负半轴,点

??? ? ??? ? P(1, 2cos2 ? ) 在角 ? 的终边上,点 Q(sin 2 ? , ?1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ?1 . (1)求 cos 2? ; (2)求 P, Q 的坐标并求 cos(? ? ? ) 的值. ??? ? ??? ? 2 2 18.【解析】(1)∵ OP ? OQ ? ?1 , ∴ sin ? ? 2cos ? ? ?1 , ????2 分 1 ? cos 2? 1 ? (1 ? cos 2? ) ? ?1 ,∴ cos 2? ? . ????6 分 ∴ 2 3 1 ? cos 2 ? 2 4 2 ? ,∴ P (1, ) ????7 分 (2)由(1)得: cos ? ? 2 3 3 1 ? cos 2 ? 1 1 sin 2 ? ? ? ,∴ Q ( , ?1) ????8 分 2 3 3 4 2 5 1 2 10 2 2 ∴ | OP |? (1) ? ( ) ? , | OQ |? ( ) ? (?1) ? , 3 3 3 3 4 3 3 10 10 ∴ sin ? ? , cos ? ? , sin ? ? ? , cos ? ? ,????12 分 5 5 10 10 ?9 10 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ∴ ????13 分 50

19. (本小题满分 13 分) 某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示. 经规划调研确定, 棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面.该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户 建筑用地,测量可知边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米,CD=2 万米. (1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面的半径 R 的值; (2)因地理条件的限制,边界 AD、DC 不能变更,而边界 AB、BC 可以 调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧 ABC 上设计 一点 P; 使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面积最大, 并求最大值. 19、解:(1)因为四边形 ABCD 内接于圆, 所以∠ABC+∠ADC=180°,连接 AC,由余弦定理:

AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC=42+22-2×2×4cos∠ADC. 1 所以 cos∠ABC= ,∵∠ABC∈(0,π ),故∠ABC=60°. 2 1 1 S 四边形 ABCD= ×4×6×sin60°+ ×2×4×sin120° 2 2 =8 3(万平方米).????????????????3 分 在△ABC 中,由余弦定理:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC

2 21 ∴R= (万米)????????7 分 3 1 (2)∵S 四边形 APCD=S△ADC+S△APC,又 S△ADC= AD·CD·sin120°=2 3, 2 1 3 设 AP=x,CP=y.则 S△APC= xy·sin60°= xy. ???????????9 分 2 4 又由余弦定理 AC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=28. ∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy. ∴xy≤28,当且仅当 x=y 时取等号????????11 分 ∴S 四边形 APCD=2 3+ 3 3 xy≤2 3+ ×28=9 3, 4 4

∴最大面积为 9 3万平方米.????????????13 分

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? 的图象过坐标原点 ?a ln x, x ? 1
O,且在点 (?1, f (?1)) 处的切线的斜率是 ? 5 . (Ⅰ)求实数 b、c 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?? 1,2? 上的最大值; (Ⅲ)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P、Q,使得 ?POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?说明理由.

20.解:(Ⅰ)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? bx ? c ,则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 2x ? b 。 依题意得: ? 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ?

? f (0) ? 0 ?c ? 0 ,即 ? ? f ?(?1) ? ?5 ?? 3 ? 2 ? b ? ?5

解得 b ? c ? 0 ???????2

?? x 3 ? x 2 , x ? 1 ?a ln x, x ? 1
3

① 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? ?3x( x ? 2 ) ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0或x ? 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

2 ??.3 分 3

x
f ?( x)

(?1,0)
— 单调递减

0 0 极小值

2 (0, ) 3
+ 单调递增

2 3
0 极大值

2 ( ,1) 3


f ( x)

单调递减

?????4 分

2 4 , f (0) ? 0 。∴ f ( x) 在 [?1,1) 上的最大值为 2????5 分 3 27 ② 当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? a ln x .当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 最大值为 0; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1,2] 上单调递增。∴ f ( x) 在 [1,2] 最大值为 a ln 2 。???6 分 2 综上,当 a ln 2 ? 2 时,即 a ? 时, f ( x) 在区间 ?? 1,2? 上的最大值为 2; ln 2 2 当 a ln 2 ? 2 时,即 a ? 时, f ( x) 在区间 ?? 1,2? 上的最大值为 a ln 2 。?7 分 ln 2 (Ⅲ)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P、Q 满足题设要求,则点 P、Q 只能在 y 轴两侧。
又 f (?1) ? 2 , f ( ) ? 不妨设 P(t , f (t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,显然 t ? 1 ∵ ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,∴ OP ? OQ ? 0 即 ? t ? f (t )(t ? t ) ? 0
2 3 2

(*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点 P、Q;

若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点 P、Q.
3 2 2 3 2 3 2 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t 代入(*)式得: ? t ? (?t ? t )(t ? t ) ? 0

即 t ? t ? 1 ? 0 ,而此方程无解,因此 t ? 1 。此时 f (t ) ? a ln t ,
4 2

代入(*)式得: ? t ? (a ln t )(t ? t ) ? 0
2 3 2



1 ? (t ? 1) ln t a

(**)

令 h( x) ? ( x ? 1) ln x ( x ? 1) ,则 h?( x) ? ln x ? ∴ h( x) 在 [1,??) 上单调递增, ∵ t ? 1

1 ?1 ? 0 x ∴ h(t ) ? h(1) ? 0 ,

∴ h(t ) 的取值范围是 (0,??) 。∴对于 a ? 0 ,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。 因此,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P、Q,使得 ?POQ 是以 O 为直 角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上。?????..14 分 21. 有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.

(1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ? ①求矩阵 A ;

? ? ?2? ? a 2? 1 有一个属于特征值 的特征向量 ? ? ? ?, ? ?1 b ? ? ?1?

?1 ?1? ? ,点 O(0, 0) , M (2, ?1) , N (0, 2) ,求 ?OMN 在矩阵 AB 的 0 1 ? ? N ? 的面积. 对应变换作用下所得到的 ?O?M ? ?a 2? ? 2 ? ?2 ? 21、解:(1)解:①由已知得: ? ? 1? ? ? , ? ? ? ? 1 b ? ? ?1? ? ?1? ?2a ? 2 ? 2 , ?a ? 2 , ? 2 2? ∴? 解得 ? 故A?? ?????3 分 ?. 2 ? b ? ? 1 b ? 3 1 3 ? ? ? ?
②已知矩阵 B ? ? ②∵ AB ? ? ∴?

?2 2? ?1 ?1? ?2 0? ?? ? ?? ? ? 1 3 ? ? 0 1 ? ?1 2 ?

?????4 分

? 2 0 ? ? 0 ? ?0 ? ? 2 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 2 0 ? ? 0 ? ?0 ? ?????6 分 ? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ?? ?,? ? ? ? ?? ? ?1 2 ? ? 0 ? ?0? ?1 2 ? ? ?1? ?0? ?1 2 ? ? 2 ? ?4? 即点 O (0, 0) , M (2, ?1) , N (0, 2) 变成点 O?(0,0) , M ?(4, 0) , N ?(0, 4) 1 N ? 的面积为 S ?O?M ?N ? ? ? 4 ? 4 ? 8 ∴ ?O?M ? ???????7 分 2
(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 过 P(2,0)作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 E: ? (Ⅰ)求曲线 E 的普通方程及 l 的参数方程; (Ⅱ)求 sin ? 的取值范围. (2)解:(Ⅰ)曲线 E 的普通方程为

? x ? cos? ? (θ 为参数)交于 A,B 两点. 2 y ? sin ? ? 2 ?

x2 ? 2y2 ? 1

????2 分 ?3 分

L 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? t cos? (t 为参数) ? y ? t sin ?
1 7

(Ⅱ) 将 L 的参数方程代入由线 E 的方程得 (1 ? sin 2 ? )t 2 ? (4 cos? )t ? 3 ? 0 由△= (4 cos? ) ? 4(1 ? sin
2 2

? ) ? 3 ? 0 得 sin 2 ? ?
?????7 分

∴ 0 ? sin ? ?

7 7

(3)(选修 4—5 不等式证明选讲)(本小题满分 7 分) 已知正实数 a 、 b 、 c 满足条件 a ? b ? c ? 3 , (Ⅰ)求证: a ? b ? c ? 3 ; (Ⅱ)若 c ? ab ,求 c 的最大值. 解:(Ⅰ)由柯西不等式得 ( a ? b ? c )2 ? (a ? b ? c)(1 ? 1 ? 1)

代入已知

a+b+c=3

?( a ? b ? c ) 2 ? 9
当且仅当

a ? b? c ?3

a=b=c=1,取等号。?????????3 分

b , (Ⅱ) 由 a ? b ? 2 ab 得 2 ab ? c ? 3 , 若 c ?a 则2 c ?c ?3, c ?3
所以 c ? 1 , c ? 1 ,当且仅当

?

??

c ?1 ? 0 ,

?

a=b= 1 时, c 有最大值 1。???????7 分


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