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三重积分习题


三重积分习题课
???
?

f ( x , y , z )dv ? lim ? f (? i ,? i , ? i ) ?vi .
? ?0
i ?1

n

重点:1.计算; 2.应用

一、利用直角坐标系计算三重积分
(一)先投影,再确定上、下面 上边界曲面(上顶) f ( x , y , z ) dv

???
?

?

??
D xy

? f ( x , y , z ) dz ? d ? . ? ?z1 ( x , y ) ? ? ?
z2 ( x , y )

z
z ? z2 ( x , y )

z2 S 2

?
z1 S1
z ? z1 ( x , y )

o

下边界曲面(下底)
x

D
(x, y)

y

xOy 坐标面上的投影区域

“先一后二”

(二)截面法

? ? ?( x , y , z ) | c 1 ? z ? c 2 , ( x , y ) ? D z ?

c2
I ?
?

z
Dz

???
?

f ( x , y, z ) dxdydz

z

?

?

c2 c1

dz

??
Dz

f ( x , y , z )d x d y

[c1, c2]: ? 向 z 轴的投影区间 Dz : 过 z?[c1, c2]且垂于z轴 的平面截 ? 得到的截面
.

c1
0 y

“先二后一”

x

二、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标 M(x, y, z) ? M(r, ?, z)
x ? r cos ?
y ? r sin ?
z

z

z=z
. .

M(x, y, z) M(r,?, z) z
0

y

?

y

x
x

r

P(x, y, 0)

柱面坐标下的体积元素
z

元素区域由六个坐标面围成: 半平面 ? 及?+d? ; 半径为 r 及 r+dr 的圆柱面; 平面 z及 z+dz;
dz

dV

dV =

rd rd ? d z

???
?

f ( x , y , z )d x d y d z
z

?

???
?
.

f ( r cos ? , r sin ? , z )
rd rd ? d z
.

0

? d?
r

y

x

底面积 :r drd?

三、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标
x ? r sin ? cos ?
. z

z
M(x, y, z) M(r, ?, ?) r

y ? r sin ? sin ? .

.

z ? r cos ?

?
0

?
P

y
y

x
x

球面坐标下的体积元素
元素区域由六个坐标面围成: 半平面? 及?+d? ; 半径为r及r+dr的球面; 圆锥面?及?+d?
rsin?d?

z

dV = r 2 sin? drd?d?
?

dV
r

???
?

0

f ( x , y , z )d x d y d z
x

?

d?
.

y

?

???
?

f ( r sin ? cos ? , r sin ? sin ? , r cos ? ) r sin ? d r d ? d ?
2

重积分在几何上的应用
(一)平面区域的面积 设有平面区域D, 则其面积为: D ? ?? d? (二)体积
D

设曲面方程为 z ? f ( x , y ) ? 0 , ( x , y ) ? D . 则D上的曲顶柱体体积为: V ? ?? f ( x , y )d?
D

占有空间有界域?的立体的体积为:
V ?

??? d xd ydz
?

(三)曲面的面积
? n ? ( ? f x , ? f y ,1)

z ? f ( x, y )
z

? n
?
M

d ? ? d A ? cos ?

s
dA

dS
?
y

? cos ? ?

1 1? f
2 x

? f

2 y

? n

z

?
x

o

( x, y) d?

?
M

dA

? dA ?
?A?

1? f

2 x

? f d?
2 y
2 2

?

d?

曲面S的面积元素 曲面S的面积公式

??
Dx y

1 ? f x ? f y d?

三、重积分在物理上的应用 (一)质(重)心
(1) 平面薄片的质心
d M ? ? ( x , y )d ? ,
dM
x

y

x

? ( x, y)

D

? ydM ? y ? ( x , y ) d ? ,

? d?
y

dM

y

? x ? ( x , y )d ? ,

o

x

x?

My M

?? x? ( x , y )d?
?
D

?? ? ( x , y )d?
D

,

y?

Mx M

?? y? ( x , y )d?
?
D

?? ? ( x , y )d?
D

(2) 空间物体的重心
设物体占有空间域? ,有连续密度函数 ? ( x , y , z )
d M ? ? ( x , y , z )d V ,

z
?

dM

yz

? xdM

? x ? ( x , y , z )d V ,

重心
x? M yz M

??? x? ( x , y , z )dV
?
?

o x
,

z

dV y
y

x
M xy M ,

??? ? ( x , y , z )dV
?

??? z? ( x , y , z )dV
?
?

y?

M zx M

??? y? ( x , y , z )dV
?
?

z?

??? ? ( x , y , z )dV
?

??? ? ( x , y , z )dV
?

(二) 转动惯量
(1) 平面薄片的转动惯量
d M ? ? ( x , y )d ? ,

y

y

? ( x, y)

D

?

dI x ? y dM ? y ? ( x , y ) d ? ,
2
2

d?

x
o
Ix ? Iy ?

dI y ? x dM ? x ? ( x , y ) d ? ,
2
2

x

dI o ? ( x ? y )dM
2 2

?? y
D

2

? ( x , y )d?
? ( x , y )d?

? ( x ? y ) ? ( x , y )d ? ,
2 2

Io ?

?? ( x ? y ) ? ( x , y )d?
2 2
D

?? x
D

2

(2)空间物体的转动惯量 设物体占有空间域? ,有连续密度函数 ? ( x , y , z ) 则转动惯量为
Ix ?
Iy ?
Iz ?
I0 ?

z
2

???
?

( y ? z ) ? ( x , y , z )dv
2

z
2 2

?

???
?
?

( x ? z )? ( x , y , z )dv
2 2

o x
x

z
y

dV y
y

x

??? ( x ? y )? ( x , y, z )dv
?

2 2 2 ( x ? y ? z )? ( x , y , z )dv ???

z
I yz ?

??? x ? ( x, y, z )dv ,
2 ?

?

I xz ?

???
?

y ? ( x , y , z )dv ,
2

o x
x

z
y

dV y
y

x

I xy ?

??? z ? ( x , y, z )dv .
2 ?

(三) 引力
设物体占有空间区域V, 体密度为? ( x , y , z ), 区域 V 之外有一质量为 m 的质点 A(a, b, c), 求物体 V 对质点 A 的引力.
? m ? ( x , y , z ) dv ? dF ? G er 2 r

其中G为万有引力系数,
r ? | AM | ? ( x ? a) ? ( y ? b) ? (z ? c) ,
2 2 2

? er ?

x?a y?b z?c ? ( , , ) | AM | r r r
AM

dF的三个坐标分量分别为
dF x ? G m ? ( x , y , z )( x ? a ) r
3

dv ,

dF

y

? G

m ? ( x , y , z )( y ? b ) r
3

dv ,

dF z ? G

m ? ( x , y , z )( z ? c ) r
3

dv ,

于是引力F在三个坐标方向上的分量为
Fx ?

??? G
V

m ? ( x , y , z )( x ? a ) r
3

dv ,

Fy ?

??? G
V

m ? ( x , y , z )( y ? b ) r
3

dv ,

Fz ?

??? G
V

m ? ( x , y , z )( z ? c ) r
3

dv .

例题
例1
计算 ??? ( x ? z )dv 其中 ? 由 z ? ,
? 2 2

x ?y 与
2 2

z ? 1 ? 1 ? x ? y 所围成的. (画图)



? ? 关于 yoz 面为对称, 奇函数,


f ( x, y, z) ? x 为 x 的

???
?

xdv ? 0 .

?

???
?

( x ? z ) dv ?
?

???
?

zdv

利用球面坐标
2

?

?0

2?

d?

?0

4

d?

?0

2cos ?

r cos ? ? r sin ? dr ?

7? 6

.

z

化为球系下的方程 r=2 cos?

? : 0 ? ? ? 2?

0?? ?

?
4

M

1
r
φ ? π 4

0 ? r ? 2 cos ?

?
. .

0 x

?

y

例2: 计算三重积分

I ?

??? x dxdydz,其中
?

? 由 x ? 0, y ? 0 , z ? 0及x ? 2y ? z ? 1 围成.

画图

z
1

上顶 : z ? 1 ? x ? 2 y

下底 : z ? 0

. . .

x + 2y + z =1
x =0

Dxy: x = 0, y = 0, x+2y =1 围成
y
1 2

1 2

y=0
0

Dxy
y 0 1 x
1 1? x 2

D z =0xy 1
x

I = ?? d x d y ?
D xy

1? x ? 2 y 0

xdz ?

? 0 d x ?0

x (1 ? x ? 2 y )d y ?

1 48

计算三重积分 例3: I ?

?0 dx ?0
z 1

1

1? x

dz ?

1? x ? z

? ( 1? y ? z )

2

(1 ? y )e

dy.

0



直接积分困难,考虑改变积分次序
I =
?
Dyz

??
D yz
1

dydz ?
1? y

1? y? z

(1 - y ) e
0
1? y? z

? (1? y ? z )

2

.

dx
2

. .

x + y + z =1

?0 dy ?0
1

dz
1- y

?0

(1 - y ) e

? (1? y ? z )

dx
2

0

1

?

?0 d y ?0
y

( 1 ? y )( 1 ? y ? z ) e

- (1 - y-z )

dy

1
x

?

?0

1

1? y 2

? (1 ? e

- (1 - y )

2

) dy

?

1 4e

例4
2

计算 ??? ( z ? x )dv ? : x ? y ? z ? R 与 ,
2 2 2 2 ? 2 2

x ? y ? z ? 2 Rz 所围的公共部分.



? ? 关于 yoz 面为对称,

???
?

xdv ? 0 .

又 ? 被积函数仅为 2

??? z dv 采用"先二后一"法较
I?
?
?
R

z 的函数,截面 为方便.
dxdy
2

D ( z ) 为圆域

?0

2

z dz
2

2

??
2

?

?R
2

R

z dz
2

2

?? dxdy
Dz :x ? y ? R ? z
2 2 2

D z : x ? y ? 2 Rz ? z

?

59 480

?R .
5

例5

计算 ??? z x ? y dv ? : y ? ,
2 2 ?

2x ? x 与
2

y

y ? 0, z ? 0, z ? 2 围成.



I ?

??
D xy

x ? y d x d y ? zd z
2 2 0

2

Dxy

?

? 2?

2 0

d?

?0

2cos ?

0

x

r ? rd r

?

32 9

.

例6 求半球面 z ?
2 2

3a ? x ? y 与旋转抛物面
2 2 2

x ? y ? 2az 所围成立体的表面积.
z

a

o

x

y

例6
2

求半球面 z ?
2

3a ? x ? y 与旋转抛物面
2 2 2

x ? y ? 2az 所围成立体的表面积.
z

S = S1 ? S2

S1

. .

S2

o
D
.

D:

? z ? 3a 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 2 x ? y ? 2 az ?
2 2 2

2a

y

? x ? y ? 2a 即 ? ? z ? x0

例6
2

求半球面 z ?
2

3a ? x ? y 与旋转抛物面
2 2 2

x ? y ? 2az 所围成立体的表面积. S = S 1 ? S 2 ?

16 3
2

?a

2



S1 ?

??
D

1 ? z x ? z y dxdy

2

2

?

??
D

3a 3a ? x ? y
2 2

dxdy

?
S2 ?

3a ?

2? 0

d?

?0
x

2a

1 3a ? r
2 2

rdr

? 2

3(

3 ? 1 )? a

2

. .

??
D

1?(
2?

) ? ( ) dxdy a a
2 2

y

?
.

1

? a 0

d?

?0
2 3

2a

a ? r rdr
2 2 2

? z ? 3a 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 2 x ? y ? 2 az ?
? x ? y ? 2a 即 D :? ?z ? 0
2 2 2

? (2

3?

)? a

例7

求均匀半球体 ? : x ? y ? z ? a , z ? 0 的重心
2 2 2 2

设重心为 ( x , y , z ) , 则

x ? y ? ?

用哪种坐标? 球面坐标 z

z ?

1 V

r=a
?

???
?

zd x d yd z
?

V ?

2 3

?a

3

1 V

?0

2?

d?

?0

2

d?

?0

a

r cos ? ? r sin ? d r
2
. . .

?

3 8

a
( 0 ,0 , 3 8 a)

o
x

故重心为

z=0 a

y

例 8 求半径为 R 的均匀球体: x ? y ? z ? R ,
2 2 2 2

对位于点 M 0 ( 0,0, a ) 处的单位质点的引力. ( a ? R )



由积分区域的对称性知
? (z ? a)
( x ? y ? (z ? a) )
2 2 2
3 2

Fx ? F y ? 0,

F z ? k ???
?
R

dv
z

? k ? dz
-R
R -R
2

??
Dz : x ? y ? R ? z
2 2 2

? (z ? a)
( x ? y ? (z ? a) )
2 2 2
3 2

dxdy

? k?

( z ? a )(
3

1 a? z

?

1 R ? 2 az ? a
2 2

) dz
o

F
y

? ?

4? R 3

k a
2

? ?k

M

这说明均匀球体对球外一质点的引力相当于 质量集中在球心上, 球心对该质点的引力.

a

2

x

例9 计算极限
f ( 0) ? 0.

I ? lim ?
t ?0

1

?t
2

4

???
V

f(

x ? y ? z )dv ,
2 2 2

其中

V ? ? x , y , z )| x ? y ? z ? t ? f ( t ) ( ,
2 2 2

具有连续导数, 且

解:

???
V

f(

x ? y ? z ) dv ?
2 2 2

?0

2?

d?
t

?0

?

d?

?0
2

t

f ( r ) ? r sin ? dr
2

? 4?

?0

f ( r ) ? r dr
2

I ? lim ?
t? 0

4 ? f ( r ) r dr
2 0

t

t

4

? lim?
t? 0

4 f ( t )t 4t
3

? lim?
t? 0

f (t ) t

? lim?
t? 0

f '(t ) 1

? f ' ( 0 ).

测 验 题
一、选择题 2 2 2 2 1 、 设 空 间 区 域 ?:x ? y ? z ? R

, 则

???
?

x ? y ? z dv =( A
2 2 2
4

). (B) (D)
4 3

(A) ? R (C)
2


4

?R
4

4

; .

?R


2 2

2? R
2

3 2、曲面 z ?

x ? y 包含在柱面 x ? y ? 2 x 内部的那部分
2

面积=( B ). (A) ? ; (C) 2 2? ;

(B) (D)

2? ;

3? .

3 、 计 算
?为 z ? 3
2

I ?
2

???
?
2

f ( x ? y ? z ) dv
2 2 2
2

, 其 中

x ? y , x ? y ? y 及平面 z ? 0 围 成 的

立体,则正确的解法为( B (A) I ? (B) I ? (C) I ? (D) I ?

).
f ( r ? z ) dz ;
2 2

?0 ?0

2?

d?

?0

sin ?

rdr rdr

?0 ?0

3r

?

d?

?0

sin ?

3r

f ( r ? z ) dz ;
2 2

?

?- ?
2

d?
d?

?0
?0

sin ?

rdr
rdr

?0
?0

3r

f ( r ? z ) dz ;
2 2

?0

2 ?

cos ?

3r

f ( r ? z ) dz
2 2

4、设空间区域 ? : x ? y ? z
2 2

2

? R , z ? 0 ,则下
2

式( C )成立.
(A) (B) (C) (D)

???
?

xdv ? 4 ??? xdv ;
?1

???
?

ydv ? 4 ??? ydv ;
?1

???
?

zdv ? 4 ??? zdv ;
?1

???
?

xyzdv ? 4 ??? xyzdv .
?1

5、计算 I ?
z ? 1?

???
?
2

zdv ,其中 ? 为
2

1? x ? y

和平面 z ? 1 围成的立体,则以下

不正确的解法为( D (A) I ? (B) I ? (C) I ? (D) I ?

).
1? 1? r
2

?0 ?1

2?

d?

?0 rdr ?1 ?0
2?

1

zdz ; rdr ;

2

zdz

d?

?0

2z?z

2

?0

2?

?

d?

?0

4

sin ? d ?

?

2 cos ? 1 cos ?

r cos ? dr ;
3

?0

2?

?

d?

?0

4

sin ? d ?

?0

2 cos ?

r cos ? dr .
3


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