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辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


辽宁省沈阳二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)设集合 P= A.m?P B.m?P ,则下列关系中正确的是() C.{m}∈P D.{m}?P

2. (5 分)函数 y= A.(1,2] 2)

的定义域是() B.(1,2) C.(2,+∞) D.(﹣

∞,

3. (5 分)已知空间两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 α,β,则下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n?α,则 m∥n B. 若 α∩β=m,m⊥n,则 n⊥α C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m∥α,m?β,α∩β=n,则 m∥n 4. (5 分)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A.y=ln(x+2) B. C. D.

5. (5 分)在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9) ,B(10,﹣1,6) ,C(x,4,3)为顶 点的△ ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为() A.﹣2 B .2 C.6 D.2 或 6 6. (5 分)已知函数 A.x1x2<0 1 B.x1x2=1 有两个零点 x1,x2,则有() C.x1x2>1 D.0<x1x2<

7. (5 分)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x ﹣y+1=0,则直线 PB 的方程是() A.x+y﹣5=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.2y﹣x﹣4=0 D.2x+y﹣ 7=0 8. (5 分)曲线 y= 范围是() A.( , ] B .( ,+∞) C.( , ) D.(﹣∞, +1(﹣2≤x≤2)与直线 y=kx﹣2k+4 有两个不同的交点时实数 k 的

)∪( ,+∞)

9. (5 分)已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)三棱锥 P﹣ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为 三棱锥的外接球表面积为() A.4π B.6π

,则该

C.8π

D.10π

11. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x ﹣2x,g(x)= 数根的个数有 4 个,则 a 的取值范围() A. B.[1,+∞)

2

若方程 g[f(x)]﹣a=0 的实

C.(1,+∞)

D.

12. (5 分)已知 x +y ﹣4x﹣2y﹣4=0,求 A.2 B.

2

2

的最大值() C. D.

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)设 f(x)= ,则 f(5)的值为.

14. (5 分)已知圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =25,点 P(﹣1,7) ,过点 P 作圆的切线,则该切 线的一般式方程为.

2

2

15. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax+3﹣a,若 x∈[﹣2,2]时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范 围. 16. (5 分)已知函数 f(x)=|log x|的定义域为[a,b],值域为[0,t],用含 t 的表达式表示

2

b﹣a 的最大值为 M(t) ,最小值为 N(t) ,若设 g(t)=M(t)﹣N(t) .则当 1≤t≤2 时,g(t) ?[g(t)+1]的取值范围是.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分)若 0≤x≤2,求函数 y= 的最大值和最小值.

18. (12 分)求过点 A(2,﹣1) ,圆心在直线 y=﹣2x 上,且与直线 x+y﹣1=0 相切的圆的方 程. 19. (12 分)如图,C、D 是以 AB 为直径的圆上两点,AB=2AD=2 ,AC=BC,F 是 AB 上

一点,且 AF= AB,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上,已知

CE=



(1)求证:AD⊥平面 BCE; (2)求证:AD∥平面 CEF; (3)求三棱锥 A﹣CFD 的体积. 20. (12 分)已知点 A(﹣3,0) ,B(3,0) ,动点 P 满足|PA|=2|PB|, (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程 (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M,求|QM| 的最小值.

21. (12 分)[已知函数 f(x)=loga

是奇函数(a<0 且 a≠1)

(1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明; (3)当 a>1, 时,f(x)的值域是(1,+∞) ,求 a 的值.

22. (12 分) 已知函数 ( f x) =x+ (m 为正的常数) , 它在 (0, +∞) 内的单调变化是: 在 内递减,在 成下面的问题. 内递增.其第一象限内的图象形如一个“对号”.请使用这一性质完

(1)若函数 g(x)=2x+ 在(0,1]内为减函数,求正数 a 的取值范围; (2) 若圆 C: x +y ﹣2x﹣2y+1=0 与直线 l: y=kx 相交于 P、 Q 两点, 点M (0, b) 且 MP⊥MQ. 求 当 b∈[1,+∞)时,k 的取值范围.
2 2

辽宁省沈阳二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)设集合 P= A.m?P B.m?P ,则下列关系中正确的是() C.{m}∈P D.{m}?P

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 解不等式求出集合 P,根据指数函数的图象和性质估算 m 值,进而结合集合与集合 的关系,可得答案. 解答: 解:集合 P=
0.3

=[0,

],

m=2 ∈(1,2)?[0, ], 故{m}?P, 故选:D 点评: 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断,求出集合 P,估算出 m 值,是解答的 关键.

2. (5 分)函数 y= A.(1,2]

的定义域是() B.(1,2) C.(2,+∞) D.(﹣∞,2)

考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 由函数的解析式知,令真数 x﹣1>0,根据 即 x≠2 最后取交集,解出函数的定义域. 解答: 解:∵log2(x﹣1) ,∴x﹣1>0,x>1 根据 ,得出 x≤2,又在分母上不等于 0,即 x≠2 ,得出 x≤2,又在分母上不等于 0,

∴函数 y=

的定义域是(1,2)

故选 B. 点评: 本题主要考查对数及开方的取值范围,同时考查了分数函数等来确定函数的定义域, 属基础题. 3. (5 分)已知空间两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 α,β,则下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n?α,则 m∥n B. 若 α∩β=m,m⊥n,则 n⊥α C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m∥α,m?β,α∩β=n,则 m∥n 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: D 为线面平行的判定定理,故正确.而 A、B、C 可在熟悉的几何体如正方体中举反 例即可. 解答: 解:A 中 m∥α,m 与 α 无公共点,故 l 与 α 内的直线平行或异面,故 A 错误; B 中 n 与 α 可以是任意的位置关系,故 B 错误;C 中 m 与 n 可以是任意的位置关系,故 C 错 误; D 为线面平行的判定定理,故正确. 故选 D 点评: 本题考查空间的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力. 4. (5 分)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A.y=ln(x+2) B. C. D.

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的图象和性质可判断 A 正确; 利用幂函数的图象和性质可判断 B 错误; 利用指数函数的图象和性质可判断 C 正确;利用“对勾”函数的图象和性质可判断 D 的单调性 解答: 解:A,y=ln(x+2)在(﹣2,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上为增函数,A 正 确; B, C, D, 在[﹣1,+∞)上为减函数;排除 B 在 R 上为减函数;排除 C 在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除 D

故选 A 点评: 本题主要考查了常见函数的图象和性质,特别是它们的单调性的判断,简单复合函 数的单调性,属基础题 5. (5 分)在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9) ,B(10,﹣1,6) ,C(x,4,3)为顶 点的△ ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为() A.﹣2 B. 2 C. 6 D.2 或 6

考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 根据三个点组成一个等腰三角形,写出两条腰相等的关系式,把关系式进行整理得 到关于 x 的一元二次方程,解方程即可. 解答: 解:∵以点 A(4,1,9) ,B(10,﹣1,6) ,C(x,4,3)为顶点的△ ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形, ∴|AB|=|AC| ∴ ∴7= , = ,

∴x=2 或 x=6 故选 D. 点评: 本题考查空间两点之间的距离公式,解题的关键是构造等量关系,利用方程思想解 决几何问题.

6. (5 分)已知函数 A.x1x2<0 B.x1x2=1

有两个零点 x1,x2,则有() C.x1x2>1 D.0<x1x2<1

考点: 函数的零点与方程根的关系;指数函数与对数函数的关系. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先将 f(x)=|lgx|﹣( ) 有两个零点转化为 y=|lgx|与 y=2
x
﹣x

有两个交点,然后在同
﹣x1

一坐标系中画出两函数的图象得到零点在(0,1)和(1,+∞)内,即可得到﹣2 ﹣x2 =lg x2,然后两式相加即可求得 x1x2 的范围. 解答: 解:f(x)=|lgx|﹣( ) 有两个零点 x1,x2 即 y=|lgx|与 y=2 有两个交点 ﹣x 由题意 x>0,分别画 y=2 和 y=|lgx|的图象 发现在(0,1)和(1,+∞)有两个交点 不妨设 x1 在(0,1)里 x2 在(1,+∞)里 ﹣x1 ﹣x1 那么 在(0,1)上有 2 =﹣lgx1,即﹣2 =lgx1…① ﹣x2 在(1,+∞)有 2 =lg x2…② ﹣x2 ﹣x1 ①②相加有 2 ﹣2 =lgx1x2 ﹣x2 ﹣x1 ﹣x2 ﹣x1 ∵x2>x1,∴2 <2 即 2 ﹣2 <0 ∴lgx1x2<0 ∴0<x1x2<1 故选 D.
﹣x

=lgx1 和 2

x

点评: 本题主要考查确定函数零点所在区间的方法﹣﹣转化为两个函数的交点问题.函数 的零点等价于函数与 x 轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根. 7. (5 分)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x ﹣y+1=0,则直线 PB 的方程是() A.x+y﹣5=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.2y﹣x﹣4=0 D.2x+y﹣7=0 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 求出 PA 的斜率,PB 的倾斜角,求出 P 的坐标,然后求出直线 PB 的方程. 解答: 解:由于直线 PA 的倾斜角为 45°,且|PA|=|PB|, 故直线 PB 的倾斜角为 135°, 又当 x=2 时,y=3,即 P(2,3) , ∴直线 PB 的方程为 y﹣3=﹣(x﹣2) ,即 x+y﹣5=0. 故选 A 点评: 本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程,考查逻辑推理能力,计算能力,转 化思想的应用,是基础题. 8. (5 分)曲线 y= 范围是() A.( +∞) 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线过定点,以及直线和圆的位置关系即可得到结论.利用数形结合作出图象 进行研究即可. 解答: 解:由 y=k(x﹣2)+4 知直线 l 过定点(2,4) ,将 y=1+ (y﹣1) =4, 则曲线是以(0,1)为圆心,2 为半径,且位于直线 y=1 上方的半圆. 当直线 l 过点(﹣2,1)时,直线 l 与曲线有两个不同的交点, 此时 1=﹣2k+4﹣2k,
2

+1(﹣2≤x≤2)与直线 y=kx﹣2k+4 有两个不同的交点时实数 k 的

, ]

B. (

,+∞)

C. ( , )

D.(﹣∞,

)∪( ,

,两边平方得 x +

2

解得 k= , 当直线 l 与曲线相切时,直线和圆有一个交点, 圆心(0,1)到直线 kx﹣y+4﹣2k=0 的距离 d= ,

解得 k=

, 有两个交点时,

要使直线 l:y=kx+4﹣2k 与曲线 y=1+ 则直线 l 夹在两条直线之间, 因此 <k≤ ,

故选:A.

点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,利用数形结合是解决本题的关键,考查 学生的计算能力. 9. (5 分)已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥,画出其直观图,根据三视图的数据所 对应的几何量,代入公式计算可得答案. 解答: 解:由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥,其直观图如图:

其中 AB=BC=2.AB⊥BC,D 为侧棱的中点,侧棱长为 2, ∴几何体的体积 V= ×2×2×2﹣ = .

故选 D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,解题的关键是由三视图判断几何体的形状 及数据所对应的几何量.

10. (5 分)三棱锥 P﹣ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为 三棱锥的外接球表面积为() A.4π B.6π

,则该

C . 8π

D.10π

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;球. 分析: 三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为 长方体的外接球,求出长方体的对角线的长,就是球的直径,然后求球的表面积. 解答: 解:三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直, 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球, 设 PA=a,PB=b,PC=c, 则 ab= 解得,a= , bc= , ca= . = , . ,

,b=1,c=

则长方体的对角线的长为 所以球的直径是 ,半径长 R=
2

则球的表面积 S=4πR =6π 故选 B. 点评: 本题考查球的表面积, 几何体的外接球, 考查空间想象能力, 计算能力, 是基础题. 将 三棱锥扩展为长方体是本题的关键.

11. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x ﹣2x,g(x)= 数根的个数有 4 个,则 a 的取值范围() A. B.[1,+∞) C.(1,+∞)

2

若方程 g[f(x)]﹣a=0 的实

D.

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: 由题意化简 f(x)=﹣x ﹣2x=﹣(x+1) +1≤1;从而讨论 f(x)在分段函数的哪一 段,再分段讨论各自的解的个数,最后综合即可. 解答: 解:f(x)=﹣x ﹣2x=﹣(x+1) +1≤1; 当 x≤0 时,g(x)≤1; 故当 a≤1 时, f(x)+1=a; f(x)=a﹣1≤0; 故 f(x)=a﹣1 有两个解; ②当 0<﹣(x+1) +1≤1,即 0<x<2 时; f(x)+ ≥1;
2 2 2

(当且仅当 f(x)= 时,等号成立) 且当 f(x)∈(0, ]时,f(x)+ 当 f(x)∈[ ,1]时,f(x)+ 故当 a=1 时,f(x)= ,有两个解; 当 1<a< 时,f(x)=b∈(0, )或 f(x)=c∈( ,1) ; 分别有两个解,共 4 个解; 当 a= 时,f(x)=b∈(0, )或 f(x)=1; 故有三个解; 综上所述,当 1≤a< 时,方程 g[f(x)]﹣a=0 的实数根的个数有 4 个; 故选 A. 点评: 本题考查了分段函数与复合函数的根的个数的判断,分类比较困难,属于中档题.
2 2

∈[1,+∞) ; ∈[1, ];

12. (5 分)已知 x +y ﹣4x﹣2y﹣4=0,求 A.2 B. C.

的最大值() D.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用圆的参数方程与直线的斜率计算公式转化为直线与圆的相交直线的斜率计算问 题即可得出. 2 2 2 2 解答: 解:∵x +y ﹣4x﹣2y﹣4=0,∴(x﹣2) +(y﹣1) =9, 令 x=2+3cosθ,y=1+3sinθ, 则 令 k= 则 ≤3,解得 = = +2,
2 2

,则 k 表示直线 y=k(x+5)与圆 x +y =9 由公共点, ,

取 k= 时, ∴

取得最大值 的最大值为 .

+2=



故选:B. 点评: 本题考查了圆的参数方程、直线的斜率计算公式、直线与圆的相交直线的斜率计算 问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)设 f(x)= ,则 f(5)的值为 11.

考点: 函数的值;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵f(x)= ,

∴f(5)=f[f(11)] =f(9) =f[f(15)] =f(13) =11. 故答案为:11. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质的合理运用. 14. (5 分)已知圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =25,点 P(﹣1,7) ,过点 P 作圆的切线,则该切 线的一般式方程为 3x﹣4y+31=0. 考点: 圆的切线方程.
2 2

专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由题意得圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =25 的圆心为 C(2,3) ,半径 r=5.P 在圆上, 可设切线 l 的方程,根据直线 l 与圆相切,利用点到直线的距离公式建立关于 k 的等式,解出 k,即可得所求切线方程. 2 2 解答: 解:圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =25 的圆心为 C(2,3) ,半径 r=5.P 在圆上. 由题意,设方程为 y﹣7=k(x+1) ,即 kx﹣y+7+k=0. ∵直线 l 与圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =25 相切, ∴圆心到直线 l 的距离等于半径,即 d= =5,解之得 k= ,
2 2 2 2

因此直线 l 的方程为 y﹣7= (x+1) ,化简得 3x﹣4y+31=0. 故答案为:3x﹣4y+31=0. 点评: 本题给出圆的方程,求圆经过定点的切线方程.着重考查了点到直线的距离公式、 圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. 15. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax+3﹣a,若 x∈[﹣2,2]时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范 围[﹣7,2]. 考点: 二次函数的性质;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 由已知条件知,x∈[﹣2,2]时,x +ax+3﹣a≥0 恒成立,令 f(x)=x +ax+3﹣a,利用 二次函数在端点的函数值,对称轴以及函数的最小值列出不等式组,求解可得 a 的取值范围. 2 2 解答: 解:原不等式变成:x +ax+3﹣a≥0,令 f(x)=x +ax+3﹣a,则由已知条件得:
2

,或

,或





可得:a∈?;

解:

可得:﹣7≤a≤﹣4;

解:

可得:﹣6≤a≤2;

综上:﹣7≤a≤2; ∴a 的取值范围为[﹣7,2]. 故答案为:[﹣7,2].

点评: 考查二次函数和一元二次不等式的关系,一元二次不等式解的情况,可结合图象求 解. 16. (5 分)已知函数 f(x)=|log x|的定义域为[a,b],值域为[0,t],用含 t 的表达式表示

b﹣a 的最大值为 M(t) ,最小值为 N(t) ,若设 g(t)=M(t)﹣N(t) .则当 1≤t≤2 时,g(t) ?[g(t)+1]的取值范围是[6,72]. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 M(t)=3 ﹣3 ,N(t)=1﹣3 ;从而求得 g(t)?[g(t)+1]=(3 ﹣1) t 3 ;从而求值域. ﹣t ﹣t t 解答: 解:由题意,M(t)=3 ﹣3 ,N(t)=1﹣3 ; ﹣t ﹣t t t g(t)=(3 ﹣3 )﹣(1﹣3 )=3 ﹣1; t t g(t)?[g(t)+1]=(3 ﹣1)3 ; ∵1≤t≤2, ∴3≤3 ≤9; t t ∴6≤(3 ﹣1)3 ≤72; 故答案为:[6,72]. 点评: 本题考查了学生对新定义的接受能力,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分)若 0≤x≤2,求函数 y= 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: y= ﹣3×2 +5= (2 ) ﹣3×2 +5,令 2 =t,转化为关于 t 的二次函数,在 t 的范
x x 2 x x t t
﹣t ﹣t

t

的最大值和最小值.

围内即可求出最值. 解答: 解:y=
x 2

﹣3×2 +5= (2 ) ﹣3×2 +5 + ,

x

x

2

x

令 2 =t,则 y= t ﹣3t+5= 因为 x∈[0,2],所以 1≤t≤4, 所以当 t=3 时,ymin= , 当 t=1 时,ymax= . 所以函数的最大值为 ,最小值为 .

点评: 本题考查有理数指数幂的运算及二次函数的最值问题,本题运用了转化思想.

18. (12 分)求过点 A(2,﹣1) ,圆心在直线 y=﹣2x 上,且与直线 x+y﹣1=0 相切的圆的方 程. 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设出圆的方程,利用已知条件列出方程,求出圆的几何量,即可得到圆的方程. 解答: 解:设圆心为(a,﹣2a) ,圆的方程为(x﹣a) +(y+2a) =r (2 分)
2 2 2



(6 分)

解得 a=1, (10 分) 2 2 因此,所求得圆的方程为(x﹣1) +(y+2) =2(12 分) 点评: 本题考查圆的方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力. 19. (12 分)如图,C、D 是以 AB 为直径的圆上两点,AB=2AD=2 ,AC=BC,F 是 AB 上

一点,且 AF= AB,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上,已知

CE=



(1)求证:AD⊥平面 BCE; (2)求证:AD∥平面 CEF; (3)求三棱锥 A﹣CFD 的体积. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)依题 AD⊥BD,CE⊥AD,由此能证明 AD⊥平面 BCE. (2)由已知得 BE=2,BD=3.从而 AD∥EF,由此能证明 AD∥平面 CEF. (3)由 VA﹣CFD=VC﹣AFD,利用等积法能求出三棱锥 A﹣CFD 的体积. 解答: (1)证明:依题 AD⊥BD, ∵CE⊥平面 ABD,∴CE⊥AD, ∵BD∩CE=E, ∴AD⊥平面 BCE. (2)证明:Rt△ BCE 中,CE= ,BC= ,∴BE=2, Rt△ ABD 中,AB=2 ,AD= ,∴BD=3. ∴ .

∴AD∥EF,∵AD 在平面 CEF 外,

∴AD∥平面 CEF. (3)解:由(2)知 AD∥EF,AD⊥ED, 且 ED=BD﹣BE=1, ∴F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离为 1. ∴S△ FAD= ∵CE⊥平面 ABD, ∴VA﹣CFD=VC﹣AFD= = = . = .

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积 的求法,解题时要注意空间思维能力的培养. 20. (12 分)已知点 A(﹣3,0) ,B(3,0) ,动点 P 满足|PA|=2|PB|, (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程 (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M,求|QM| 的最小值. 考点: 直线和圆的方程的应用;轨迹方程. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)设 P 点的坐标为(x,y) ,用坐标表示|PA|、|PB|,代入等式|PA|=2|PB|,整理即 得点 P 的轨迹方程; (2)求出圆心坐标,圆的半径,结合题意,利用圆的到直线的距离,半径,|QM|满足勾股定 理,求出|QM|就是最小值. 解答: 解: (1)设 P 点的坐标为(x,y) , ∵两定点 A(﹣3,0) ,B(3,0) ,动点 P 满足|PA|=2|PB|, ∴(x+3) +y =4[(x﹣3) +y ], 2 2 即(x﹣5) +y =16. 2 2 所以此曲线的方程为(x﹣5) +y =16. 2 2 (2)∵(x﹣5) +y =16 的圆心坐标为 M′(5,0) ,半径为 4,则圆心 M′到直线 l1 的距离为: =4 ,
2 2 2 2 2 2

∵点 Q 在直线 l1: x+y+3=0 上, 过点 Q 的直线 l2 与曲线 C (x﹣5) +y =16 只有一个公共点 M, ∴|QM|的最小值为: =4.

点评: 考查两点间距离公式及圆的性质,着重考查直线与圆的位置关系,勾股定理的应用, 考查计算能力,转化思想的应用,属于难题.

21. (12 分)[已知函数 f(x)=loga

是奇函数(a<0 且 a≠1)

(1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明; (3)当 a>1, 时,f(x)的值域是(1,+∞) ,求 a 的值.

考点: 对数函数的图像与性质;函数奇偶性的性质.

专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)是奇函数知 f(﹣x)=﹣f(x)在其定义域内恒成立,从而解出 m 并 检验; (2)当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,当 a>1 时,函数 f(x)在区 间(1,+∞)上为减函数;利用定义证明; (3) 当 a>1 时, 上值域是(1,+∞) ,即 在 ,可得 上为减函数, 要使 f (x) 在 .从而构造函数求解.

解答: 解: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x)在其定义域内恒成立, 即
2 2 2



∴1﹣m x =1﹣x , ∴m=﹣1 或 m=1(舍去) , ∴m=﹣1. (2)当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间(1,+∞)上为增函数, 当 a>1 时,函数 f(x)在区间(1,+∞)上为减函数,证明如下, 由(1)得 设 , ,任取 x1,x2∈(1,+∞) ,且 x1<x2

∴ ∵x1>1,x2>1,x1<x2 ∴t(x1)>t(x2) , 即 ;



所以当 a>1 时, 函数 f(x)在区间(1,+∞)上为减函数; 所以当 0<a<1 时, 函数 f(x)在区间(1,+∞)上为增函数; (3)当 a>1 时, 要使 f(x)在 令 在 上值域是(1,+∞) ,即 在 上是减函数. 上为减函数, ,可得 .

所以 所以 .所以

, .

点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,属于中档题.

22. (12 分) 已知函数 ( f x) =x+ (m 为正的常数) , 它在 (0, +∞) 内的单调变化是: 在 内递减,在 成下面的问题. 内递增.其第一象限内的图象形如一个“对号”.请使用这一性质完

(1)若函数 g(x)=2x+ 在(0,1]内为减函数,求正数 a 的取值范围; (2) 若圆 C: x +y ﹣2x﹣2y+1=0 与直线 l: y=kx 相交于 P、 Q 两点, 点M (0, b) 且 MP⊥MQ. 求 当 b∈[1,+∞)时,k 的取值范围. 考点: 函数单调性的性质;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由对勾函数的图象和性质,可知函数 内为减函数.进而构造关于 a 的不等式,解得正数 a 的取值范围; (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,由 MP⊥MQ,可得:kMP?kMQ=﹣1,进而由韦达定理,构 造关于 k 的不等式,解得 k 的取值范围. 解答: 解: (1)由对勾函数的图象和性质, 可知函数 依题意, 故 得 a≥2 , 在 内为减函数. 在
2 2

∴a 的取值范围是[2,+∞) . (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ∵MP⊥MQ, ∴kMP?kMQ=﹣1 ∴ ,

即 x1x2+(y1﹣b) (y2﹣b)=0 又 y1=kx1,y2=kx2 ∴x1x2+(kx1﹣b) (kx2﹣b)=0, 即 (*)


2

得: (1+k )x ﹣2(1+k)x+1=0
2

2

2

由△ =[2(1+k)] ﹣4(1+k )=8k>0 得 k>0① 且 , 代入 (*) 中得





由对勾函数的图象和性质知,

在 b∈[1,+∞)时为增,故





,得 k≥1②

由①②得 k≥1. 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,直线与圆的位置关系,直线垂直的充要条 件,是函数与解析几何的综合应用,难度中档.


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