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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件:第9章 第7节 用向量方法证明平行与垂直(理)


成才之路 ·数学
人教B版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第九章
立体几何

第九章

立体几何

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第九章 第七节 用向量方法证明

平行与垂直(理)

第九章

立体几何

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第九章

立体几何

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自主预习学案

第九章

立体几何

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理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量语言表述
直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.能 用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂

线定理).
能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面 的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应 用.

第九章

立体几何

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利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点,内容以解答
题为主,主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐 标运算能力和分析解决问题的能力命制试题,以多面体为载

体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向.

第九章

立体几何

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一、如何用空间向量解决立体几何问题 1.思考方向:

(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些
向量? (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知条件转 化成的向量直接表示?

第九章

立体几何

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(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表
示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些未知向量与由 已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到需 要的结论?

2.空间问题如何转化为向量问题
(1)平行问题→向量共线,注意重合; (2)垂直问题→向量的数量积为零,注意零向量; (3)距离问题→向量的模; (4)求角问题→向量的夹角,注意角范围的统一.
第九章 立体几何

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3.向量的分解与合成是用向量法解决立体几何问题中经 常遇到的问题,确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐标 系是关键.

4.用空间向量解决立体几何问题的方法
(1)坐标法:如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线 (或平面),比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标,这种 情况下,一般是建立恰当的空间直角坐标系,用坐标法通过坐 标运算来解决.

第九章

立体几何

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(2)基向量法
如果在所给问题中,不好寻找交于一点的互相垂直的三条 直线,或者其坐标难于求出,这时常选图中不共面的三条直线 上的线段构造基底,将所给问题的条件和待解决的结论,用基 底线性表示,通过向量运算来解决.

5.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步
骤 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③ 写出向量的坐标;④结合公式进行计算,论证;⑤转化为几何 结论.
第九章 立体几何

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二 、 平 面 的 法 向 量 1. 如 果 表 示 向 量 称 这 个 向 量 垂 直 于 平 面 叫 做 平 面 α的 法 向 量 . a的 有 向 线 段 所 在 直 线 垂 直 于 平 面 α,则 a

α, 记 作 a⊥α, 如 果 a⊥α, 那 么 向 量

2. 求 平 面 的 法 向 量 的 方 法 设n是 平 面 M的 一 个 法 向 量 , 交 直 线 , 则 AB、CD 是 M 内 的 两 条 相 → n(向量AB

→ → n· AB=0, n· CD=0.由 此 可 求 出 一 个 法 向 量

→ 及CD已 知 ).
第九章 立体几何

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( 2 0 1 4 · 天 津 和 平 区 二 模

)如 图 , 在 三 棱 柱

A B C -A1B1C1 中,

A1A⊥平面 A B C ,∠B A C =9 0 ° ,E 为 BC 的 中 点 , F 为 A1A 的中 点,A1A=4,AB=AC=2.

( 1 ) 求证:AE⊥平面 B C C 1; ( 2 ) 求证:AE∥平面 BFC1; ( 3 ) 在棱 A1A 上 是 否 存 在 点 使 得 二 面 角 若 存 在 , 求 出 P, 4 5 °,

B-PC1-C 的 大 小 是

AP 的 长 , 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 .
第九章 立体几何

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[ 解析] 意得 A( 0 0 ,0 ,)

如图,以点 A 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 依 题 ,B( 2 0 ,0 ,) ,C( 0 2 ,0 ,) ,C1( 0 2 ,4 ,) ,E( 1 1 ,0 ,) ,F( 0 0 ,2 ,) . ,∴

→ ( 1 ) 证明:∵AE=( 1 1 ,0 ,) → → → → AE· BC=0,AE· CC1=0. ∴AE⊥BC,AE⊥CC1. ∵BC∩CC1=C, ∴AE⊥平面 B C C 1.

→ ,BC=(-2 2 ,0 ,)

→ ,CC1=( 0 0 ,4 ,)

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( 2 ) 证 明 : 取

BC1 的 中 点 M( 1 1 ,2 ,)

→ , 则 FM=( 1 1 ,0 ,)



→ → 由( 1 ) 可 知 AE=FM, 即 AE∥FM. ∵AE?平 面 B F C 1,FM?平 面 B F C 1, ∴AE∥平 面 B F C 1. ( 3 ) 设 P( 0 0 , ,p), 平 面 B P C 法 向 量 1的

n=(x,y,z) ( 0 < p< 4 ) ,

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→ 则BC1=(-2 2 ,4 ,)

→ ,BP=(-2 0 , ,p),

→ → ∵BC1⊥n,BP⊥n,
? ?-2x+2y+4z=0, ∴? ? ?-2x+0y+pz=0.

取 z=2, 则 x=p,y=p-4, 即 n=(p,p-4 2 ,) . → 易 知 , AB=( 2 0 ,0 ,) 由 二 面 角 是 平 面 C P C 一 个 法 向 量 , 1的 4 5 °, 可 得
第九章 立体几何

B-PC1-C 的 大 小 是

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c o s 4 5 °

→ AB· n 2p 2 = = 2 2 2= 2 . → |AB|· | n| 2 p +?p-4? +2

5 解 得 p= . 2 ∴在 棱 A1A 上 存 在 着 点 5 是4 5 °, 此 时 AP= . 2 P, 使 得 二 面 角 B-PC1-C 的 大 小

[ 点评]

第( 2 ) 问 还 可 以 证 明 B F C

→ AE与平面 BFC1 的 法 向 量 垂 直 → AE

→ 或证明AE可 以 用 平 面 1 → 1→ = FC1- BF. 2 2

两 不 共 线 向 量 线 性 表 示 , 例 如 1内

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典例探究学案

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用向量证明平行

如图所示, 平面 PAD⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E、F、G 分 别是线段 PA、PD、CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG.

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[分 析]

欲 证 线 面 平 行 , 可 考 虑 找 出 平 面

EFG 的 一 个 法 向

→ 量 n, 证 明 PB· n=0, 也 可 以 考 虑 将 向 量 线 性 表 示 , 由 于 四 边 形 A B C D

→ PB用 平 面 EFG 内 两 不 共 线 为 正 方 形 , 平 面 P A D ⊥平 面

A B C D ,PA⊥AD, 故 可 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 用 向 量 的 坐 标 运 算 证 明 .
[证 明] ∵平 面 P A D ⊥平 面 A B C D PA⊥AD, A为 坐 标 原 点 , 建 立 如 图 所 且A B C D 为 正 方 形 , △

P A D 为 直 角 三 角 形 ,

∴AB、AP、AD 两 两 垂 直 , 以 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 A-x y z ,

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则 A( 0 0 ,0 ,) F( 0 1 ,1 ,) 、G( 1 2 ,0 ,)

、 B( 2 0 ,0 ,) .

、 C( 2 2 ,0 ,)

、 D( 0 2 ,0 ,)

、 P( 0 0 ,2 ,)

、 E( 0 0 ,1 ,)



→ → → → ∴PB=( 2 0 , ,-2), FE=(0,-1 0 ,) ,FG=( 1 1 , ,-1),设PB → → =sFE+tFG, 即( 2 0 , ,-2)=s(0,-1 0 ,) +t( 1 1 , ,-1),

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?t=2, ? ∴?t-s=0, ?-t= - 2, ?

解 得 s=t=2.

→ → → → → ∴PB=2FE+2FG, 又 ∵FE与FG不 共 线 , → → → ∴PB、FE与FG共 面 . ∵PB?平 面 EFG,∴PB∥平 面 EFG. 自 己 再 用 平 面 E F G 的 法 向 量 与 → PB垂 直 的 方 法 证 明 之 .

[ 方法总结]

1.证明直线 l1∥l2 时 , 分 别 取

l1、l2 的 一 个 方 a1 = b1

向向量 a、 b, 则 a∥b?存 在 实 数

k, 使 a=kb 或 利 用 其 坐 标

a2 a3 = (其中 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)). b2 b3
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2. 证 明 直 线 ( 1 ) 可 取 直 线 =0; ( 2 ) 可 在 平 面

l∥平面 α 时 , l的 方 向 向 量 a与 平 面 α的 法 向 量 n, 证 明 a· n

α内 取 基 向 量

{e1,e2}, 证 明 直 线 α内 即 可 ;

l的 方 向 向 量

a=λ1e1+λ2e2, 然 后 说 明 ( 3 ) 在 平 面 α内 找 两 点 3. 证 明 平 面 则 只 需 证 明 a∥b.

l不 在 平 面

A、 B, 证 明 直 线

l的 方 向 向 量

→ n∥AB. a、b,

α∥平 面 β时 , 设 α、β 的 法 向 量 分 别 为

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( 2 0 1 4 · 武 汉 市 调 研

)如 图 , 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥

P -A B C D

中,∠A B C =60° ,PA=AC=1,PB=PD= 2,点 E 在 PD 上, 且 PE=2ED. ( 1 ) 求 二 面 角 P-AC-E 的 大 小 ; F,

( 2 ) 试 在 棱 PC 上 确 定 一 点 使得 BF∥平面 A E C .

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[ 解析]

( 1 ) ∵底面 A B C D

是菱形,∠ABC=6 0 °,

∴AB=AD=AC=1, 在△P A B 中 , 由 PA2+AB2=2=PB2,知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,∴PA⊥平面 A B C D . 建立如图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz,

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则 A( 0 0 ,0 ,) 2 1 E(0, , ). 3 3

3 1 3 1 , B( , - , 0), C( , , 0), P( 0 0 ,1 ,) 2 2 2 2

, D( 0 1 ,0 ,)



3 1 2 1 → → ∴AC=( , ,0),AE=(0, , ). 2 2 3 3 设 平 面 A C E 的 法 向 量 为 n=(x,y,z),

? 3 1 ? → ? 2 x+2y=0, ?n· AC=0, 则? 即? 2 1 → ? ? AE=0, y+ z=0. ?n· ?3 3
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取 y= - 3, 则 n=(1, - 3,2 3). 同 理 , 平 面 A C P 的 一 个 法 向 量 为 3 3 m=( , - ,0), 2 2

3 3 1× + 3× 2 2 1 n· m ∴c o s 〈n,m〉 = = = , 2 |n||m| 4× 3 ∴〈n,m〉=6 0 ° . 故 二 面 角 P-AC-E 的 大 小 为 6 0 ° .

→ → ( 2 ) 设PF=λPC( 0 < λ< 1 ) , 3 1 3 1 → → ∵PC=( , , - 1),BP=(- , ,1), 2 2 2 2
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→ → → → → ∴BF=BP+PF=BP+λPC 3 1 3 1 =(- , ,1)+( λ, λ,-λ) 2 2 2 2 3 1 =( (λ-1), (λ+1),1-λ), 2 2 → 由 BF∥平面 A E C ,知BF⊥n, 3 1 ∴ (λ-1)×1+ (λ+1)×(- 3)+(1-λ)×2 3=0, 2 2 1 解得 λ= . 2 ∴当 F 是棱 PC 的 中 点 时 , BF∥平面 A E C .
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用向量证明垂直

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

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[证 明] 直 角 坐 标 系 ,

∵AB、AD、AP 两 两 垂 直 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间

设 PA=AB=BC=1, 则 P( 0 0 ,1 ,)



( 1 ) ∵ ∠A B C =6 0 °, ∴ △A B C 为 正 三 角 形 .
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1 3 1 3 1 ∴C( , ,0),E( , , ). 2 2 4 4 2 → → 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD,得AC· CD=0, 2 3 2 3 1 3 → ∴y= ,即 D(0, ,0),∴CD=(- , ,0). 3 3 2 6 3 1 → 1 又AE=( , , ), 4 4 2 1 1 3 3 → → ∴AE· CD=- × + × =0, 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD,即 AE⊥CD.
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( 2 ) 设 平 面 A B E 的 一 个 法 向 量 为 → ∵AB=( 1 0 ,0 ,)

n=(x,y,z),

3 1 → 1 ,AE=( , , ), 4 4 2

? → ?x=0, ?n· ? AB=0, ∴? 即?1 3 1 → x+ y+ z=0. ? ? 4 2 AE=0, ?n· ?4 令 y=2, 则 z= - 3,∴n=( 0 2 , , - 3). 2 3 3 → → ∵PD=(0, , - 1), 显 然 PD= n. 3 3 → → ∵PD∥n,∴PD⊥平面 A B E .即 PD⊥平 面 A B E .
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[方 法 总 结 ]

1.证 明 直 线

l1 与 l2 垂 直 时 , 取

l1、l2 的 方 向 向

量 a、b, 证 明 a· b=0. 2. 证 明 直 线 l与 平 面 α垂 直 时 , 取 α的 法 向 量 n,l 的 方

向 向 量 a, 证 明 a∥n. 或 取 平 面 α内 的 两 相 交 直 线 的 方 向 向 量 a、 b与 直 线 l的 方

向 向 量 e, 证 明 a· e=0,b· e=0.

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3. 证 明 平 面

α与β垂 直 时 , 取

α、β 的法向量 n1、n2,证 n, 在 另 一 个 平 面 β 内取

明 n1· n2=0.或取一个平面 α 的 法 向 量 基向量{e1,e2}, 证 明 n=λe1+μe2.

4. 证 明 平 行 与 垂 直 的 关 键 是 将 待 证 问 题 中 直 线 的 方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量 表 示 出 来 (用 已 知 向 量 表 示 或 用 坐 标 表 示 ).

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已知正方体 A B C D -A1B1C1D1 的 棱 长 为 是 BB1、DD1、DC 的 中 点 , 求 证 : ( 1 ) 平面 A D E ∥平面 B1C1F; ( 2 ) 平面 A D E ⊥平面 A1D1G; ( 3 ) 在 AE 上 求 一 点 M,

2,E、F、G 分别

使得 A1M⊥平面 A D E .

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[ 分析]

几 何 体 为 正 方 体 , 很 方 便 建 立 坐 标 系 , 将 条 件 与

结论用坐标表示,证面面平行与垂直,只需找出两平面的法向 → 量 n1、n2,验证 n1∥n2(或 n1· n2=0)即可;第( 3 ) 问 可 先 设 AM= → λAE, 然 后 由 线 面 垂 直 列 出 关 于 λ的 方 程 求 解 . → → → 以 D 为原点,DA、DC、DD1为 正 交 基 底 建 立 空 间

[ 解析] 直 角 坐 标 系 E( 2 2 ,1 ,)

O-xyz, 则 D( 0 0 ,0 ,) ,G( 0 1 ,0 ,)

, D1( 0 0 ,2 ,) ,B1( 2 2 ,2 ,)

, A( 2 0 ,0 ,) ,C1( 0 2 ,2 ,)

, A1( 2 0 ,2 ,) .



, F( 0 0 ,1 ,)

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( 1 ) 设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分 别 是 平 面 平 面 B1C1F 的 法 向 量 , 则 → → n1⊥DA,n1⊥AE.

A D E 、

? → ? ?n1· DA=0, ?2x1=0, ∴? ∴? ? → ?2y1+z1=0, ? AE=0, ?n1· 取 y1=1,z1= - 2,∴n1=( 0 , 1, - 2). 同 理 可 求 n2=( 0 1 , , - 2).

∵n1∥n2,∴平 面 A D E ∥平 面 B1C1F.

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→ → ( 2 ) ∵DA· D1G=( 2 0 ,0 ,( ) 0 · 1 , → → ∵AE· D1G=( 0 2 ,1 ,( ) 0 · 1 ,

→ → , - 2)=0,∴DA⊥D1G. → → , - 2)=0,∴AE⊥D1G.

→ → ∵DA、AE不 共 线 , ∴D1G⊥平 面 A D E . 又∵D1G?平 面 A1D1G,∴平面 A D E ⊥平 面 A1D1G. ( 3 ) 由于点 M 在 AE 上 , 所 以 可 设 ( 0 2 , λ,λ), → ∴M( 2 2 , λ,λ),A1M=( 0 2 , λ,λ-2).
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→ → AM=λ· AE=λ( 0 · 2 ,1 ,)



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∵A1M⊥平面 A D E ,
? ?A1M⊥AE, ∴? ? ?A1M⊥DA,

?→ → ?A1M· AE=0, ∴? → → ? DA=0, ?A1M· , → → A1M· AE=5λ-2=0,

→ ∵AE=( 0 2 ,1 ,)

→ ,DA=( 2 0 ,0 ,)

→ → A1M· DA=0 显 然 成 立 , 故 只 需

2 2 ∴λ= .故 当 AM= AE 时 , A1M⊥平面 D A E . 5 5

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思想方法系列 用向量处理探索性问题

(2014· 天津和平区三模)如图,已知平面四边形 ABCP 中,D 为 PA 的中点,PA⊥AB,CD∥AB,且 PA=CD= 2AB=4.将此平面四边形 ABCP 沿 CD 折成直二面角 P-DC- B,连接 PA、PB,设 PB 的中点为 E.

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( 1 ) 求 证 : 平 面

PBD⊥平面 P B C ;

( 2 ) 求 直 线 AB 与 平 面 P B C 所 成 角 的 正 弦 值 ; ( 3 ) 在 线 段 BD 上 是 否 存 在 一 点 存 在 , 请 确 定 点 F的 位 置 ; 若 不 存 在 F, 使 得 EF⊥平面 P B C ?若 , 请 说 明 理 由 .
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[分 析]

易 知 在 四 边 形

A B C P

中 , CD⊥AP, 故 折 成 直 二 面

角 P-DC-B 后 , 三 直 线

DA、DC、DP 两 两 垂 直 , 可 取 作 三 0证 n,

条 坐 标 轴 , 依 所 给 线 段 长 度 可 写 出 各 点 坐 标 . ( 1 ) 可 用 综 合 几 何 方 法 证 明 , 也 可 用 法 向 量 的 数 量 积 为 明 . ( 2 ) 设 AB 与 平 面 P B C 所 成 角 为 → 则s n i θ=c o s 〈AB,n〉 . ( 3 ) 由F在 线 段 BD 上 , 设 出 点 求 坐 标 中 的 参 数 .
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θ, 平 面 P B C 的 法 向 量 为

F的 坐 标 , 由

?→ → ?EF· BC=0, ? → → ? PC=0, ?EF·

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[ 解析]

( 1 ) 证 明 : ∵直 二 面 角

P- DC-B 的 平 面 角 为



P D A =9 0 °, 且 PD⊥DC,DA∩DC=D, ∴PD⊥平 面 A B C D . ∵BC?平 面 A B C D ,∴PD⊥BC. 易 求 BC=BD= AB2+AD2=2 2, 在△B C D 中 , 则 有 BC2+BD2=CD2,∴BD⊥BC.

∵PD∩BD=D,∴BC⊥平 面 P B D . ∵BC?平 面 P B C ,∴平 面 PBD⊥平 面 P B C .

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( 2 ) 由( 1 ) 可知,PD、DA、DC 两 两 垂 直 , 如 图 , 以 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 依 题 意 , 得 D( 0 0 ,0 ,) ,P( 0 0 ,2 ,) , A( 2 0 ,0 ,) , B( 2 2 ,0 ,)

D 为原 , C( 0 4 ,0 ,) ,

→ 则AB=( 0 2 ,0 ,)

→ ,BC=(-2 2 ,0 ,)

→ ,PC=( 0 4 , ,-2),
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设平面 PBC 的 法 向 量 → → ∵BC⊥n,PC⊥n,
? ?-2x+2y=0, ∴? ? ?4y-2z=0.

n=(x,y,z),

取 x=1,则 y=1,z=2,即 n=( 1 1 ,2 ,)



→ AB · n 2 6 → ∴c o s 〈AB,n〉= = = . → 2× 6 6 |AB|· | n| 设直线 AB 与 平 面 P B C 所 成 角 为 → θ,则 θ 与〈AB,n〉互余. 6 s n i θ= . 6
第九章 立体几何

∴直线 AB 与 平 面 P B C 所 成 角 的 正 弦 值 为

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( 3 ) ∵F∈BD, 故 可 设

F(m,m,0), 而 PB 的 中 点 E( 1 1 ,1 ,)



→ ∴EF=(m-1,m-1, - 1). → → → → ∵EF· BC=0,EF· PC=0,
? ?-2?m-1?+2?m-1?=0, ∴? ? ?4?m-1?+?-1?×?-2?=0,

1 解 得 m= . 2

∴线 段 BD 上 存 在 着 点

1 1 F( , ,0), 使 得 EF⊥平 面 P B C 2 2

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[方法总结]
骤:

用向量处理立体几何探索性问题的一般步

第一步,审题,分析题设中的垂直条件,建立恰当的空间 直角坐标系. 第二步,确定各相关点的坐标,设出所探求的点的坐标,

求出有关向量.
第三步,依据平行、垂直或长度等条件转化为向量运算, 求出参数的值. 第四步,反思检查解题过程并下结论.

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名师点睛 一个要点 用向量法解决几何问题的关键是选取基向量或建立恰当的 直角坐标系,通过向量运算解决. 四个思考方向 用向量解决立体几何问题的基本思考方向 (1)求两点间距离或某一线段长度,用向量的模解决; (2)解决线线平行、面面平行、线面垂直、共线问题,一般

考虑共线向量定理;
(3)解决线线垂直、面面垂直、线面平行,可考虑转化为向 量的数量积为零.

(4)解决线面平行、面面平行可以考虑平面向量基本定理.
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课时作业
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