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第二部分 专题一 第五讲 导数的简单应用(选择、填空题型)


导练

感悟高 考

做考题 析考情 考 考

体验高 把脉高

热点一

专 题 一

第 五 讲

热点

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热点二 热点三 热点四
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[做考题 体验高考]
1 2 1.(2012· 辽宁高考)函数y=2x -ln x的单调递减区间为 A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞) ( )

解析:选 B

1 2 函数y=2x -ln x的定义域为(0,+∞),

1 ?x-1??x+1? y′=x-x= ,令y′≤0,则可得0<x≤1. x

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2.(2012· 陕西高考)设函数f(x)=xex,则
A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点

(

)

解析:选 D

求导得f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令f′(x)=

ex(x+1)=0,解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小 值点.

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3.(2012· 大纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴 恰有两个公共点,则c= A.-2或2 C.-1或1 B.-9或3 D.-3或1 ( )

解析:选 A

设f(x)=x3-3x+c,对f(x)求导可得,

f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,可得x=±1,易知f(x)在 (-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调 递减.若f(1)=1-3+c=0,可得c=2;若f(-1)= -1+3+c=0,可得c=-2.

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4.(2012· 新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线
方程为________. 解析:y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率 为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3. 答案:y=4x-3

5.(2012· 浙江高考)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小
值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直 线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l: y=x的距离,则实数a=________.

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0-?-4? 解析: 因曲线 C2: +(y+4) =2 到直线 l: x y=x 的距离为 2
2 2

- 2=2 2- 2= 2,则曲线 C1 与直线 l 不能相交,即 x2+a>x,所以 x2+a-x>0. 设 C1:y=x2+a 上一点为(x0,y0),
2 |x0-y0| -x0+x0+a 则点(x0,y0)到直线 l 的距离 d= = = 2 2

? 1?2 1 ?x0- ? +a- 2? 4 ?

2

4a-1 9 ≥ = 2,所以 a= . 4 4 2

9 答案:4

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6.(2012· 山东高考)设a>0,若曲线y= x与直线x=a,y=0所围 成封闭图形的面积为a2,则a=________.

解析:由已知得S= 4 所以a=9.
4 答案:9

?a ? ? ?

0

1 2 3a 2 3 2 2 2 | = a 2 =a ,所以a 2 = , xdx=3x 0 3 3

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[析考情 把脉高考] 考点统计 导数的几何意义 导数与函数的单调性 导数与函数的极值 3年5考 3年2考 3年2考

导数与函数的最值
定积分

3年1考
3年7考

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考 情 分 析

(1)高考对导数的考查多以解答题的形式考查.
(2)在选择题或填空题中,以导数的几何意义为考查重点. (3)利用导数研究函数的单调性、求函数的极值问题也常出

现在解答题中,且难度较小.
(4)以导数的几何意义为背景,设置导数与解析几何等知识 点有关的综合问题(如2012年浙江高考(理)T16)是一类新兴问题, 也符合高考要求中关于在不同知识点交汇处命题的基本思路, 希望引起同学们的注意. (5)对定积分的考查均为基础题,主要考查定积分的计算或 利用定积分求面积,有时也与几何概型相结合命题.

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导数的几何意义
[例1] x+1 (1)过点(0,1)且与曲线y= 在点(3,2)处的切线垂 x-1 ( B.2x+y-1=0 D.x-2y+2=0 )

直的直线的方程为 A.2x-y+1=0 C.x+2y-2=0

(2)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则 a-b=________. A.-4 C.3 B.-1 D.-2

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[思路点拨]

x+1 (1)利用导数求出曲线y= 在点(3,2)处切线的 x-1

斜率,从而确定所求直线的斜率; (2)注意点A(1,3)既是切点,也是直线与曲线的公共点. x+1 2 [规范解答] (1)由于y= ,所以y′=- ,于是曲线 x-1 ?x-1?2
x+1 1 y= 在点(3,2)处的切线的斜率k=y′|x=3=-2,因此所求直线的 x-1 斜率等于2,于是所求直线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0. (2)由题易知,直线y=kx+1和曲线y=x3+ax+b均过点A(1,3), 则k=2,a+b=2;又y′=3x2+a,则k=y′|x=1=3+a=2,所以 a=-1,b=3.

[答案] (1)A

(2)A

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(1)理解导数的几何意义是研究曲线的切线问题以及求相 关参数的值(或取值范围)的基础.对于切点坐标不知道的, 要先设出切点坐标,再根据切点在切线上、切点在曲线上来

求切线方程.
(2)利用导数求曲线的切线方程要注意的是,当函数 y=f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处也可能有切线.

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1.若曲线f(x)= x,g(x)=xa在点P(1,1)处的切线分别为l1,l2,且 l1⊥l2,则a的值为 A.-2 1 C.2
解析:选 A 由题意可知,f′(x)=

( B.2 1 D.-2
,g′(x)=axa-1, 2 x 1

)

1 ∵l1、l2 过点 P(1,1),∴kl1=f′(1)= ,kl2=g′(1)=a. 2 1 又∵l1⊥l2,∴k l1· l2= a=-1,∴a=-2. k 2

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2.定义在区间[0,a]上的函数 f(x)的图像如图 所示,记以 A(0,f(0)),B(a,f(a)),C(x, f(x))为顶点的三角形的面积为 S(x),则函 数 S(x)的导函数 S′(x)的图像大致是 ( )

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解析:选 D

考虑当点C运动到与AB共线附近时,三角

形面积减少的速率和三角形面积增大的速率相同,因此,
共线点两侧,导数值互为相反数.又因为共线点两侧,

面积的变化率不会为0,因此结合各选项知,选D.

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利用导数研究函数的单调性
[例2] (1)函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b的图像关于原 ( )

点成中心对称,则f(x) A.在(-4 3,4 3)上为增函数 B.在(-4 3,4 3)上不是单调函数

C.在(-∞,-4 3)上为减函数,在(4 3,+∞)上为增函数 D.在(-∞,-4 3)上为增函数,在(4 3,+∞)上也为增函数 k k (2)(2012· 云南模拟)若函数f(x)=2x-x+3在(1,+∞)上是增 函数,则常数k的取值范围是________.

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[思路点拨]

(1)由图像的对称性求出a,b的值,然后借

助导数研究函数的单调性; (2)问题转化为f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.
[规范解答] (1)∵函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b的 图像关于原点成中心对称,∴a=1,b=0,则f′(x)=3(x2-48), 由f′(x)>0可解得x>4 3 或x<-4 3 ,∴f(x)在(-∞,-4 3 )上为 增函数,在(4 3,+∞)上也为增函数. k (2)由题意知f′(x)=2+x2≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥ -2x2在(1,+∞)上恒成立,所以k≥(-2x2)max,又y=-2x2在 (1,+∞)上单调递减,所以(-2x2)max=-2,所以k≥-2,即k的 取值范围是[-2,+∞).

[答案] (1)D

(2)[-2,+∞)

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利用导数研究函数的单调性,大多数情况下归结为对 含有参数的不等式的解集的讨论.在能够通过因式分解求出 不等式对应方程的根时,依据根的大小进行分类讨论;在不 能通过因式分解求出根时,根据不等式对应方程的判别式进 行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的, 千万不要忽视了定义域的限制.

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1 2 3.设函数f(x)=x(e -1)-2x ,则函数f(x)的单调增区间为
x

________.
1 2 解析:因为f(x)=x(e -1)-2x ,
x

所以f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)· (x+1). 令f′(x)>0,即(ex-1)(x+1)>0, 解得x∈(-∞,-1)或x∈(0,+∞). 所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1]和[0,+∞).

答案:(-∞,-1]和[0,+∞)

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4.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1, k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是________.
1 解析:因为f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-x, 1 ? ?k-1< <k+1, 1 2 由f′(x)=0,得x=2.据题意得? ?k-1≥0, ? 3 解得1≤k<2.
? 3? 答案:?1,2? ? ?

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利用导数研究函数的极值与最值 [例3] (1)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极 ( )

值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是 A.-13 C.10 B.-15 D.15

(2)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在
x=a处取得极大值,则a的取值范围是________.

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[思路点拨]

(1)由极值的概念即可确定a的值,f(m)+f′(n)

取得最小值的条件是:f(m)和f′(n)同时取得最小值; (2)根据极大值的概念求解. [规范解答] (1)求导,得f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2

处取得极值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,所以a=3.由此

可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在
(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以当m∈[-1,1]时, f(m)min=f(0)=-4.又f′(x)=-3x2+6x的图像开口向下,且对称 轴为x=1,所以当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9. 于是,f(m)+f′(n)的最小值为-13.

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(2)若a=0,则f′(x)=0,函数f(x)不存在极值;若a=-1, 则f′(x)=-(x+1)2≤0,函数f(x)不存在极值;若a>0,当x∈ (-1,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)

在x=a处取得极小值;若-1<a<0,当x∈(-1,a)时,f′(x)>0,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,所以函数f(x)在x=a处取得极大值; 若a<-1,当x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,当x∈ (a,-1)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在x=a处取得极小值.所以 a∈(-1,0).

[答案]

(1)A

(2)(-1,0) 返回

1.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤 第一步:求导数f′(x);

第二步:求方程f′(x)=0的根x0;
第三步:检查f′(x)在x=x0左右的符号; ①左正右负?f(x)在x=x0处取极大值; ②左负右正?f(x)在x=x0处取极小值. 2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤

第一步:求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极
小值);

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第二步:将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 3.研究函数的极值与最值应注意的问题

(1)利用导数研究函数的极值和最值时,应首先考虑函
数的定义域. (2)导数值为0的点不一定是函数的极值点,它是函数 在该点取得极值的必要而不充分条件.

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1 1 5.已知函数f(x)=3x3+2ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取 得极小值,满足x1∈(-1,1),x2∈(2,4),则a+2b的取值范围是 ( A.(-11,-3) C.(-11,3) B.(-6,-4) D.(-16,-8) )

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解析:选 C

依题意得,f′(x)=x2+ax+b,x1,x2是方程

f′(x)=0的两个根,于是有 ?f′?-1?=?-1?2+a?-1?+b=1-a+b>0, ? ?f′?1?=12+a+b=1+a+b<0, ? f′?2?=22+2a+b=4+2a+b<0, ? ?f′?4?=42+4a+b=16+4a+b>0, ?

如图,在坐标平面内画出该不等式组表示 的平面区域,阴影部分表示的四边形的四 个顶点的坐标分别为(-3,-4),(-1, -2),(-3,2),(-5,4),经验证得:当a=-5,b=4时, z=a+2b取得最大值3;当a=-3,b=-4时,z=a+2b取 得最小值-11.于是z=a+2b的取值范围是(-11,3).

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6.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y= f′(x)的图像经过点(1,0),(2,0),如图所示, 则下列说法中不正确的是________. . 3 ①当x=2时函数f(x)取得极小值; ②f(x)有两个极值点;③当x=2时函数f(x)取得极小值; ④当x=1时函数f(x)取得极大值.

解析:从图像上可以看到:当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所 以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值, 当x=1时函数取得极大值.只有①不正确. 答案:①

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?x2,x∈[0,1?, ? [例4] (1)(2012· 南昌模拟)设f(x)= ?1 (其中 2 ?x,x∈[1,e ? ? e为自然对数的底数),则 4 A.3 7 C.3
?2 ? ? ?

0

f(x)dx的值为 5 B.3 8 D.3

(

)

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(2)点A是函数f(x)=sin x的图像与x轴的一个交点(如图
所示).若图中阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,那 么边AB的长等于________.

[思路点拨]

(1)利用微积分基本定理求解;

(2)利用定积分求出图中曲边形的面积,根据面积间的 关系建立方程求解.

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[规范解答]
?1 ? ? ?

(1)由微积分基本定理可得 ? 0 f(x)dx=

e

2

0

x2dx+ ?

e
1

2

1 1 31 e2 7 | xdx=3x 0+ln x| 1 =3.
?π ? ? ?

(2)由题意可得 sin xdx=|OA|· |AB|,
0

即(-cos
[答案]

2 π x)|0 =π|AB|,解得|AB|= . π
2 (2)π

(1)C

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1.简单定积分的计算步骤

第一步:把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、
指数函数与常数的和或差; 第二步:利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个 定积分的和或差; 第三步:分别用求导公式找到F(x),使得F′(x)=f(x);

第四步:利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分
的值; 第五步:计算所求定积分的值.

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2.利用定积分的几何意义求曲边梯形面积的步骤
第一步:画出正确图形; 第二步:结合图形,找到被积函数,积分上、下限; 第三步:计算定积分得面积. [注意] (1)计算定积分时一定要找准被积函数的原函数;

(2)解决曲边梯形面积计算问题时,要找准积分上、下限及被
积函数.

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7.已知二次函数 y=f(x)的图像如图所示,则它与 x 轴所围图形的 面积为 ( )

2π A. 5 3 C.2
解析:选 B 求面积为 2
?1 ? ? ?

4 B.3 π D.2
由题中图像易知 f(x)=-x2+1,则所
? x3 ?1 4 2 (-x +1)dx=2?- 3 +x?|0=3. 0 ? ?

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?x+2?-2≤x<0?, ? ? 8.函数 f(x)=? 的图像与 x 轴所围成的 π? ?2cos x?0≤x≤2? ? ? ? 封闭图形的面积为 A.3 C.4
解析:选 C
?0

( 7 B.2 9 D.2

)

由题意可得
? ?2

S=? ?

?

-2

(x+2)dx+? 2cos xdx=4. ?
0

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1.函数单调性的应用
(1)若可导函数f(x)在(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0在区间 (a,b)上恒成立; (2)若可导函数f(x)在(a,b)上单调递减,则f′(x)≤0在区间 (a,b)上恒成立; (3)可导函数f(x)在区间(a,b)上为增函数是f′(x)>0的必要 不充分条件.

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2.可导函数极值的理解

(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,
有可能极大值小于极小值,也有可能极小值大于极大值; (2)对于可导函数f(x),“f(x)在x=x0处的导数f′(x)=0”是 “f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件; (3)注意导函数的图像与原函数图像的关系,导函数由正

变负的零点是原函数的极大值点,导函数由负变正的零点是原
函数的极小值点.

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3.定积分在几何中的应用 被积函数为y=f(x),由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b(a<b)和 y=0所围成的曲边梯形的面积为S. (1)当f(x)>0时,S= f(x)dx;
a
?b ? ? ?

(2)当f(x)<0时,S=- f(x)dx;
a

?b ? ? ?

(3)当x∈[a,c]时,f(x)>0;当x∈[c,b]时, f(x)<0, 则S= f(x)dx- f(x)dx.
a c
?c ? ? ? ?b ? ? ?

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