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(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:专题一第二讲综合验收评估(北师大版))


一、选择题 1.(2011· 安徽)若点(a,b)在 y=lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的 是 ?1 ? A.?a,b? ? ? ?10 ? C.? a ,b+1? ? ? 解析 由题意 b=lg a,2b=2lg a=lg a2, B.(10a,1-b) D.(a2,2b)

即(a2,2b)也在函数 y=lg x 图象上. 答案 D

x 2.(2011· 西城模拟)函数 y=sin x,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象 中的

解析

x 因为 y=sin x,x∈(-π,0)∪(0,π)是偶函数,

x∈(0,π)时,x>sin x,故 C 正确. 答案 C

3.(2011· 珠海模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区 间[0,2]上是增函数,则 A.f(-25)<f(11)<f(80)

B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 解析 因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),

所以 f(x-8)=f(x), 所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则 f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3), 又因为 f(x)在 R 上是奇函数, f(0)=0,得 f(80)=f(0)=0, f(-25)=f(-1)=-f(1), 而由 f(x-4)=-f(x)得 f(11)=f(3) =-f(-3)=-f(1-4)=f(1), 又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数, 所以 f(1)>f(0)=0, 所以-f(1)<0,即 f(-25)<f(80)<f(11),故选 D. 答案 D

4.(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时, f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 A.6 C.8 解析 B.7 D.9 ∵f(x)是最小正周期为 2 的周期函数,

且 0≤x<2 时,f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), ∴当 0≤x<2 时,f(x)=0 有两个根,即 x1=0,x2=1. 由周期函数的性质知,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根, 即 x3=2,x4=3;当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个根, 即 x5=4,x6=5,x7=6 也是 f(x)=0 的根. 故函数 f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴交点的个数为 7. 答案 B

? ? ? ? ? 1 5.(2011· 湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P=?y?y= x,x>2 ?,则?UP= ? ? ? ? ?

?1 ? A.?2,+∞? ? ? C.(0,+∞) 解析
? ? ? 1 ?y?0<y< 2 ? ? ?

1? ? B.?0,2? ? ? ?1 ? D.(-∞,0]∪?2,+∞? ? ?
? ? ?= ? ?

? ? ? 1 ∵ U = {y|y = log2x , x > 1} = {y|y > 0} , P = ?y?y= x,x>2 ? ? ? ? ? ?, ? ?

? ? ? ?1 ? 1 ? ? ∴?UP=?y?y≥2 ?=?2,+∞?. ? ? ? ? ? ? ?

答案

A

6.(2011· 济南模拟)下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是 1 A.f(x)=x3 2-x C.f(x)=ln (x≠2) 2+x 解析 在 C 中 f(x)的定义域为(-2,2), 2+x 2-x =-ln =-f(x), 2-x 2+x B.f(x)=-|x+1| 1 D.f(x)=2(ax+a-x)

又 f(-x)=ln 又 f(x)=ln 答案 C

2-x ? 4 ? =ln?2+x-1?是减函数,所以 C 正确. 2+x ? ?

二、填空题 2 ? ? , x≥2, 7. (2011· 北京)已知函数 f(x)=?x ? ??x-1?3, x<2. 个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 解析 画出分段函数 f(x)的图象如图所示,结合图象可以看出,若 f(x)=k 有

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两

两个不同的实根,也即函数 y=f(x)的图象与 y=k 有两个不同的交点,k 的取值范 围为(0,1).

答案

(0,1)

8.已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n 满足 m<n,且 f(m)=f(n),若 f(x)在区 间[m2,n]上的最大值为 2,则 n+m=________.

解析

1 ?1 ? 由已知得 m=n,0<m<1,n>1,∴[m2,n]=?n2,n?, ? ?

1? ?1? ? ?1? f?n2?=?log2n2?=2|log2n|=2f(n). ∴f(x)在区间[m2, n]上的最大值为 f?n2?=2f(n). ? ? ? ? ? ? 1 5 ∴2|log2n|=2,∵n>1,∴n=2.m=2.故 n+m=2. 答案 5 2

9. (2011· 上海)设 g(x)是定义在 R 上的以 1 为周期的函数, 若函数 f(x)=x+g(x) 在区间[3,4]上的值域为[-2,5],则 f(x)在区间[-10,10]上的值域为________. 解析 设 x1∈[3,4],f(x1)=x1+g(x1)∈[-2,5].

∵g(x)是定义在 R 上的以 1 为周期的函数, ∴当 x2∈[4,5]时,f(x2)=f(x1+1)=x1+1+g(x1+1)∈[-1,6]; x3∈[5,6]时,f(x3)=f(x1+2) =x1+2+g(x1+2)∈[0,7]; …; x7∈[9,10]时,f(x7)=f(x1+6)=x1+6+g(x1+6)∈[4,11]. 同理,当 x∈[-10,-9]时,f(x)=f(x1-13)=x1-13+g(x1-13)∈[-15,- 8]. 综上分析知,当 x∈[-10,10]时, 函数的值域为[-15,11]. 答案 [-15,11]

三、解答题 10.已知函数 f(x)=x2-2ax+3a2-1(a>0,0≤x≤1),求函数 f(x)的最大值和最 小值. 解析 f(x)=x2-2ax+3a2-1

=(x-a)2+2a2-1, 由 a>0 知,当 a≥1 时,由于 f(x)在[0,1]上是减函数,故 f(x)的最大值为 f(0) =3a2-1,最小值为 f(1)=3a2-2a; 当 0<a<1 时,f(x)的最小值为 f(a)=2a2-1,f(x)的最大值为 f(0),f(1)中的较 大者. 若 f(0)<f(1),则 3a2-1<3a2-2a, 1 1 解得 a<2,所以当 0<a<2时, f(x)的最大值为 f(1)=3a2-2a; 1 当2≤a<1 时,f(x)的最大值为 f(0)=3a2-1. 11.已知函数 f(x)=ex-e-x(x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都成立?若存在, 求出 t;若不存在,请说明理由. 解析 (1)∵f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e-x-ex=-f(x),

∴f(x)是奇函数. 由于 f′(x)=ex+e-x>0 恒成立, 所以 f(x)是 R 上的增函数. (2)不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 可化为 f(x-t)≥-f(x2-t2),即 f(x-t)≥f(-x2+t2), 又 f(x)是 R 上的增函数, 所以上式等价于 x-t≥-x2+t2, 即 x2+x-t2-t≥0 恒成立, 故有 Δ=1-4(-t2-t)≤0,

1 即(2t+1)2≤0,所以 t=-2. 1 综上所述,存在 t=-2, 使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都成立. 12.(2011· 大连模拟)若定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1,x2∈R,都有 f(x1+x2) =f(x1)+f(x2)-1 成立,且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)-1 为奇函数; (2)求证:f(x)是 R 上的增函数; (3)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. 解析 (1)证明 ∵定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1,x2∈R,都有 f(x1+x2)=

f(x1)+f(x2)-1 成立. 令 x1=x2=0,则 f(0+0)=f(0)+f(0)-1,即 f(0)=1. 令 x1=x,x2=-x, f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0, ∴f(x)-1 为奇函数. (2)证明 ∵由(1),知 f(x)-1 为奇函数,

∴f(x)-1=-[f(-x)-1]. 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 x2-x1>0, ∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1, ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1 =f(x2)-[f(x1)-1]=f(x2)-f(x1)+1, ∵当 x>0 时,f(x)>1, ∴f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+1>1, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)是 R 上的增函数. (3)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且 f(4)=5, ∴f(4)=f(2)+f(2)-1=5,即 f(2)=3, 由不等式 f(3m2-m-2)<3, 得 f(3m2-m-2)<f(2). 由(2),知 f(x)是 R 上的增函数,

4 ∴3m2-m-2<2,即 3m2-m-4<0,则-1<m<3, 4? ? ∴不等式 f(3m2-m-2)<3 的解集为?-1,3?. ? ?

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