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山西省山西大学附属中学2015-2016学年高二数学上学期12月月考试题


山西大学附中 2015~2016 学年高二第一学期 12 月(总第四次)模 块诊断数学试题
考查时间:100 分钟 考查内容:必修二 选修 2-1 一.选择题:(每小题 4 分,共 48 分) 1.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为( A. )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
)

2.已知 A(2, 4), B(?4,0) ,则以 AB 为直径的圆的方程是( A. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 13 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 13 3.椭圆

B. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 13 D. ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 13

x2 y2 ? ? 1 的离心率为( ) 100 36 3 4 3 16 A. B. C. D. 5 5 4 25 AB y 4. 设线段 的两个端点 A, B 分别在 x 轴、 轴上滑动, 且 | AB |? 4 , 点 M 是线段 AB 的中点,则点 M 的轨迹方程是( )
A.

x2 y2 ? ?1 9 4

B. x ? y ? 4
2 2

C. x ? y ? 4
2 2

D.

y2 x2 ? ?1 25 9

y2 x2 ? ? 1 共焦点且过点 (1, 3) 的双曲线的标准方程为( ) 16 12 y2 y2 x2 y2 2 2 2 x ? ? 1 ? x2 ? 1 ? ? 1 A. B. y ? 2 x ? 1 C. D. 3 3 2 2
5.与椭圆 C: 6.已知点 P(m, n) 是直线 2 x ? y ? 5 ? 0 上的任意一点,则 m2 ? n2 的最小值为( A. 5 B. )

10

C. 5

D. 10

7.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 和圆 C2 : x2 ? y2 ? 6x ? 8 y ? 16 ? 0 ,则这两个圆的公切线的 条数为( A.0
2

) B. 1
2 2

C. 3
2

D.4

x y x y ) ? ? 1 与曲线 ? ? 1(k ? 9) 的( 25 9 25 ? k 9 ? k A 长轴长相等 B 短轴长相等 C 离心率相等
8.曲线

D 焦距相等
1

9.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? r 2 ,点 P(a, b), (ab ? 0) 是圆 O 内的一点,过点 P 的最短弦在 直线 l1 上,直线 l 2 的方程为 bx ? ay ? r 2 ,那么( A. l1 // l 2 且 l2 与圆 O 相交 C. l1 // l 2 且 l2 与圆 O 相离 )

B. l1 ? l 2 且 l2 与圆 O 相切 D. l1 ? l 2 且 l2 与圆 O 相离

?x ? y ? 8 ?2 y ? x ? 4 ? 10.若变量 x, y 满足约束条件 ? 且 z ? 5 y ? x 的最大值为 a ,最小值为 b , x ? 0 ? ? ?y ? 0 则 a ? b 的值是( )
A.48 B.30 C.24 D.16 11.已知 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,点 P 为曲线 A. PF 1 ? PF 2 ? 10 C. PF 1 ? PF 2 ? 10 12.已知椭圆 C :

x 5

?

y 4

? 1 上任意一点,则(

)

B. PF 1 ? PF 2 ? 10 D. PF 1 ? PF 2 ? 10

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点为 F1 , F2 ,若点 P 在椭圆上,且满足 a 2 b2

,则称点 P 为“ ? ”点,则此椭圆上的“ ? ” | PO |2 ?| PF1 | ? | PF2 | (其中 ? 为坐标原点) 点有( )个 D. 8 A. 0 B. 2 C. 4 二.填空题:(每小题 4 分,共 16 分)

13.若两条直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 , l2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,则实数 a 的 值为_____________. 14. 若 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过点 F1 的直线与双曲线左支交 16 9

于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则 △ABF2 的周长为__________. 15.已知线段 PQ 的端点 Q 的坐标是 (4,3) ,端点 P 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,则线
2 2

段 PQ 的中点 M 的轨迹方程是_______

______.
2

16.过点 直线 l 与曲线 y ? (2 2, 0)

4 ? x 2 交于 A, B 两点 ,O 为坐标原点,当 ?ABO

的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于_____________. 三.解答题: (共 36 分) 17.(本小题满分 8 分) 求过点 P(2, 的圆 x 2 ? y 2 ? 4 的切线的方程. 2 3)

18.(本小题满分 8 分)

x2 ? y 2 ? 1 及点 B(0,?3) ,过左焦点 F1 与 B 的直线交椭圆于 C , D 两点, 已知椭圆 2

F2 为椭圆的右焦点,求 ?CDF2 的面积.

3

19. (本小题满分 10 分) 已知方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M , N 两点,且 OM ? ON ( O 为坐 标原点) ,求 m 的值.

20.(本小题满分 10 分) 已知点 A(0,?2) ,椭圆 E :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 是椭圆 E 的 2 2 a b

右焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 ,O 为坐标原点. 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点, 当△OPQ 的面积最大时, 求直线 l 的方程. 12 月月考答案

2 ? .故选 C 3 2.解:圆心为 AB 的中点,为 C (?1, 2) 。直径为 | AB |? 2 13 ,半径为 r ? 13 ,所以
1.解: k ? ? 3 ,所以 ? ? 所求的圆的方程是 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 13 。故选 A。
2 2

3.解:由椭圆方程知 a ? 100,?a ? 10 , b ? 36,?b ? 6 ,那么

2

2

c ? a ? b ? 36,?c ? 6 ,可得椭圆离心率为 e ?
4.解:因为 M 是 AB 的中点,所以

2

2

2

c 4 ? .故选 B a 5

OM ?

1 AB ? 2 2 ,所以 M 是以 O 为圆心, 2 为半
4

径的圆,方程为 x ? y ? 4 故选 B
2 2

5.解:选 C 椭圆 + =1 的焦点坐标为(0,-2),(0,2). 16 12

y2

x2

? ? - =1, y2 x2 设双曲线的标准方程为 - =1(m>0,n>0),则 ?m n m n ? ?m+n=4,
3 1
2 2

解得 m=n=2.

? 0, 0? 的距离的最小值,也就是点 6.解:求 m ? n 的最小值,即求点 P(m, n) 与点 ? 0, 0 ? 到直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的距离,所以
A 正确. 考点:点到直线的距离、动点问题.
2 2

m2 ? n2 的最小值=

d?

0?0?5 22 ? 1

? 5
,故

7. 解: 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 圆心为 ? 0, 0 ? , 半径为 r1 ? 2 , 圆 C2 : x2 ? y2 ? 6x ? 8 y ? 16 ? 0 变 形 为 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , 圆 心 为 ? 3, ?4? , 半 径 为 r2 ? 3 , 因 此 圆 心 距 为

d ? 5 ? r1 ? r2 ,所以两圆相外切,共有 3 条公切线,故选 C
8. D 9.解:因为点 P(a, b), (ab ? 0) 是已知圆内一点,所以 a ? b ? r ,过点 P 的圆 O 的最
2 2 2

短 弦 所 在 的 直 线 l1 与 直 线 OP 垂 直 , 所 以 kl1 ? ?

b 1 a ? ? , 而 k l2 ? , 所 以 a kOP b

a b | 0 ? 0 ? r2 | r2 kl2 ? kl2 ? ? ? ? ?1 ,所以 l1 ? l2 ,圆心 O 到直线 l2 的距离为 ? ?r, b a r b2 ? a 2 从而直线 l2 与圆 O 相离,所以选 D.
10.解:画出可行域,如图. 联立 ?

? x ? y ? 8, ? x ? 4, 解得 ? 即 A 点坐标为(4,4), ? y ? 4. ?2 y ? x ? 4,

由线性规划可知,zmax=5×4-4=16, zmin=0-8=-8,即 a=16,b=-8, ∴a-b=24.故选 C. 11.解:由题意知满足

PF1 ? PF2 ? 10

的点

在以 F1 (?3,0), F2 (3,0) 为焦点, 2a ? 10 的椭圆上,

x2 y 2 ? ?1 所以椭圆方程为 25 16 ; x y ? ?1 A? ?5,0?、B ? 0, ?4?、C ?5,0?、D ? 0,4? 4 曲线 5 表示的图形是以 为顶点的菱
5

x
形,而菱形除了四个顶点外都在椭圆内部,因此,曲线 5 足

?

y 4

?1
上任意一点,必定满

PF 1 ? PF 2 ? 10
2 2

,故选 B.

x y |x| | y| PF ? PF2 ? 10 ? ? ? ? 1 ,必定满足 1 ,故选 B. 25 16 5 4 12 . 解 一 : 设 椭 圆 上 的 点 P( x0 , y0 ) , 可 知 P F x , P2F? 1 ? a? e 0
法二

, ? a 0 e x因 为

?? ? ?F1 ? ?F2 ,则有 a2 ? e2 x02 ? x02 ? y02 ? x0 2 ? b 2 (1 ?
因此满足条件的有四个点,故选 C.

2

x0 2 2a ) ,解得 x0 ? ? , 2 a 2

2 2 2 2 解二 b 2 ?| PF 1 || PF 2 |? a , b ?| PO | ? a , b ?| PO |? a , 因此满足条件的有四个 点,故选 C.

13.解:当两直线垂直时,有

A1 A2 ? B1B2 ? 0 ,即 a a ?1 ? 1? a 2a ? 3 ? 0 ,解得 ? ? ? ?? ?

a 的值为1 或 ? 3 14. 28

15.解:设 M 点坐标 ? x, y ? 、 P 点坐标为 ? x0 , y0 ?

4 ? x0 3 ? y0 ?x ?y x0 ? 2 x ? 4 , y0 ? 2 y ? 3 2 2 2 2 2 2 ? 4 从而 ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 4 ? P 在圆上? ? x0 ? 1? ? y0

? M 为 PQ 中点?

2 2 则 M 点轨迹方程 ? 2 x ? 3? ? ? 2 y ? 3? ? 4 , ( x ? ) ? ( y ? ) ? 1
2 2

3 2

3 2

16.解一:如图:∵ S? AOB= OA OB sin ?AOB = sin ?AOB ? 当 ?AOB=

?
2

1 2

1 2

1 , 2

时, S? AOB 面积最大.此时 O 到 AB 的距离 d= 2 .

设 AB 方程为 y=k ( x- 2 2 ) ? k ? 0 ? ,即 kx-y- 2 2k= 0. 由 d=

2 2k k ?1
2

= 2 得 k=-

3 . 3

解二 :曲线 y= 1? x2 的图象如图所示: 若直线 l 与曲线相交于 A, B 两点, 则直线 l 的斜率 k<0, 设 l: y= k ( x ? 2) , 则点 O 到 l 的距离 d ? 又 S△AOB=

? 2k k 2 ?1

.

1 |AB|·d 2
6

1 1? d 2 ? d 2 1 ? 2 1 ? d 2 ? d ? (1 ? d 2 ) ? d 2 ? ? , 2 2 2 1 1 2k 2 1 2 2 2 ? ,∴ k 2 ? ,∴ 当且仅当 1-d =d ,即 d = 时,S△AOB 取得最大值.所以 2 2 3 k ?1 2 3 .故选 B. k ?? 3 17 解(1)当斜率存在时,设切线方程为 y ? 2 3 ? k ( x ? 2) ,
= 即 kx ? y ? 2k ? 2 3 ? 0 2分 3分

d ?2,
得k ?

| ?2k ? 2 3 | k 2 ?1

? 2,

3 , 4分 3 x ? 3y ? 4 ? 0 , 5 分
总之

(2)当斜率不存在时,切线方程为

x?2 切线方程为 x ? 3 y ? 4 ? 0 和 x ? 2
2

7分

18 解:∵椭圆 分

+y =1 左焦点是 F1,∴F1(﹣1,0)∴直线 CD 方程为 y=﹣3x﹣3,

1

? y ? ?3x ? 3 ? 2 由 ? x2 得 19x +36x+16=0,而 ? ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2 36 ? x ? x ? ? 1 2 ? ? 19 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 ? ? x x ? 16 1 2 ? 19 ?
∴ | CD |?

2分

(3 分)

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? 9)[(?
6


36 2 64 20 2 ) ? 4? ] ? 19 19 9
6分 (8 分)

(5 分)

又 F2 到直线 DC 的距离 d ?

10 12 5 故 ?CDF2 的面积 S= |CD|?d= 19
解法二 ∵ 椭圆 +y =1 左焦点是 F1(﹣1,0)
2

∴直线 CD 方程为 y=﹣3x﹣3,

1分

7

? y ? ?3x ? 3 ? 联立 ? x 2 消去 x 得: 19y 2 ? 6 y ? 9 ? 0 ,而 ? ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 6 ? y1 ? y 2 ? ? ? ? 19 ∴? ?y y ? ? 9 1 2 ? 19 ?
∴ | y1 ? y 2 |? 又 | F1 F2 |? 2 ∴ ?CDF2 的面积 S= | F1 F2 |? | y1 ? y2 | =

2分

3分

( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? (?

6 2 36 12 5 ) ? ? 19 19 19

5分 6分

12 5 19

8分

19.解: (1) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2 D=-2,E=-4,F= m ,由 D ? E ? 4 F =20- 4 m ? 0 得 m ? 5

4分

(2)联立 ?

?x ? 2 y ? 4 ? 0
5分 6分 7分 8分 9分 10 分

2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0 2 消去 y 得: 5 y ? 16y ? 8 ? m ? 0 , 24 2 (8 ? m) ? 0 ,得 m ? ∴ ? ? 16 - 20 5 16 8?m 且 y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? 5 5

∵OM ? ON ∴

即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

又 x1x2=(4﹣2y1) (4﹣2y2)=16﹣8(y1+y2)+4y1y2, ∴ 5 y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 ∴m ?

8 5

符合条件

方法二:消去 y 得到 x 的一元二次方程类似给分 2 2 3 20 解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 又 = 2

c a

3 2 2 2 ,所以 a=2,b =a -c =1. 2

故 E 的方程为 +y =1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意,

x2

2

4

8

故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将 y=kx-2 代入 +y =1 得(1+4k )x -16kx+12=0, 4
2 2 3 ∴ Δ =16(4k -3)>0,即 k > , 4

x2

2

2

2

且 x1 ? x 2 ?

16 k , 1 ? 4k 2

x1 x 2 ?

12 1 ? 4k 2
2 2

5

4 k +1· 4k -3 2 从而|PQ|= k +1|x1-x2|= . 2 4k +1 2 又点 O 到直线 l 的距离 d= 2 . k +1 1 4 4k -3 所以△OPQ 的面积 S△OPQ= d·|PQ|= . 2 2 4k +1 4t 4 2 设 4k -3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . t +4 4 t+
2

6 7

t

4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,满足 Δ >0, t 2 所以,当△OPQ 的面积最大时,k=±

9

7 7 7 ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2. 10 2 2 2

9


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