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福建省泉州市南安一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(Word版含解析)


2014-2015 学年福建省泉州市南安一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1. (5 分)设全集 U={﹣1,﹣2,﹣3,﹣4,0},集合 A={﹣1,﹣2,0},B={﹣3,﹣4, 0},则(?UA)∩B=() A.{0} B.{﹣3,﹣4} C.{﹣1,﹣2} D.?

2. (5 分)设 f(x)= A.0 B. 1

,则 f(f(2) )的值为() C. 2 D.3

3. (5 分)f(x)=|x﹣1|的图象是()

A.

B.

C.

D. 4. (5 分)下列各组函数中,表示同一函数的是() A. C.
2

B. D.

5. (5 分)函数 y=x ﹣4x+3,x∈[0,3]的值域为() A.[0,3] B.[﹣1,0] C.[﹣1,3] 6. (5 分)函数 y=loga(x﹣3)+2 的图象恒过定点() A.(3,0) B.(3,2) C.(4,2) 7. (5 分)下列函数是奇函数的是() A.f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x) C. f(x)=﹣|x|
0.3 7

D.[0,2]

D.(4,0)

B. f(x)=2 +2 3 D.f(x)=x ﹣1

x

﹣x

8. (5 分)设 a=7 ,b=0.3 ,c=log70.3,则 a,b,c 的大小关系是()
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A.b<c<a 9. (5 分)函数 A.

B.c<b<a

C.c<a<b

D.a<b<c

的零点所在的区间是() B. C.
x

D.

10. (5 分)已知 a>0,b>0 且 ab=1,则函数 f(x)=a 与函数 g(x)=﹣logbx 的图象可能 是()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)函数 f(x)=loga|x+1|,当 x∈(﹣1,0)时,恒有 f(x)>0,有() A.f(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数 B. f(x)在(﹣∞,0)上是减函数 C. f(x)在(0,+∞)上是增函数 D.f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数

12. (5 分)已知函数 f(x)= 则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,0)

(a∈R) ,若函数 f(x)在 R 上有两个零点,

C.(﹣1,0)

D.[﹣1,0)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,请将答案填在答题卡相应位置) 13. (4 分)函数 的定义域为.

14. (4 分)幂函数 f(x)=x 的图象经过点

α

,则 f( )的值为.

15. (4 分)已知奇函数 f(x)在 x≥0 时的图象如图所示,则不等式 f(x)<0 的解集是.

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16. (4 分)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数,例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: 2 ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②函数 是单函数;

③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是. (写出所有真命题的编号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) (Ⅰ)lg4+lg25+4
x

﹣(4﹣x) ;

0

(Ⅱ)f(x)=a +loga(x+1) (a>0 且 a≠1) .在[0,1]上的最大值与最小值和为 a,求 a 的 值. 18. (12 分)已知集合 A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求 A∪B; (?RA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 .

(1)判断函数 f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并用单调性的定义加以证明; (2)若 a=1,求函数 f(x)在 上的值域.

20. (12 分)已知 f(x)为定义在[﹣1,1]上的奇函数,当 x∈[﹣1,0]时,函数解析式为 f (x)= ﹣ (b∈R) .

(Ⅰ)求 f(x)在[0,1]上的解析式; (Ⅱ)求 f(x)在[0,1]上的最大值. 21. (12 分)我县有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同. 甲 家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球 台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40) ,在乙家租一张球 台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40) .试求 f(x)和 g(x) ;
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(2)问:小张选择哪家比较合算?为什么? 22. (14 分)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},且满足对于定义域内任意的 x1,x2 都有等式 f (x1?x2)=f(x1)+f(x2) (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)若 f(4)=1,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解关于 x 的不等式 f(3x+1)+f(2x ﹣6)≤3.

2014-2015 学年福建省泉州市南安一中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1. (5 分)设全集 U={﹣1,﹣2,﹣3,﹣4,0},集合 A={﹣1,﹣2,0},B={﹣3,﹣4, 0},则(?UA)∩B=() A.{0} B.{﹣3,﹣4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 先计算集合 CUA,再计算(CUA)∩B. 解答: 解:∵A={﹣1,﹣2,0},B={﹣3,﹣4,0}, ∴CUA={﹣3,﹣4}, ∴(CUA)∩B={﹣3,﹣4}. 故答案选 B. 点评: 本题主要考查了集合间的交,补混合运算,较为简单. C.{﹣1,﹣2} D.?

2. (5 分)设 f(x)= A.0 B. 1

,则 f(f(2) )的值为() C. 2 D.3

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 2 1 分析: 考查对分段函数的理解程度,f(2)=log3(2 ﹣1)=1,所以 f(f(2) )=f(1)=2e ﹣1 =2. 2 1﹣1 解答: 解:f(f(2) )=f(log3(2 ﹣1) )=f(1)=2e =2,故选 C. 点评: 此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型,主要考查学生对“分段函 数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解.

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3. (5 分)f(x)=|x﹣1|的图象是()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 分析: 将函数解析式写成分段函数,分别作出函数在区间[1,+∞)和(﹣∞,1)上的图 象. 解答: 解:f(x)=|x﹣1|= 分别作出函数在区间[1,+∞)和(﹣∞,1)上的图象: 故选 B.

点评: 本题为分段函数图象问题,作出函数图象即可得到结果. 还可以利用函数图象的平移解答,函数 f(x)=|x|的图象是学生所熟悉的,将其图象向右平 移一个单位,即可得到函数 f(x)=|x﹣1|的图象. 4. (5 分)下列各组函数中,表示同一函数的是() A. C. B. D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 分析: 逐一分析各个选项中的两个函数的定义域、值域、对应关系是否完全相同,只有两 个函数的定义域、值域、对应关系完全相同,这两个函数才是同一个函数. 解答: 解:A 中的两个函数定义域不同,故不是同一个函数. B 中的两个函数定义域不同,对应关系也不同,故不是同一个函数. C 中的两个函数定义域不同,故不是同一个函数. D 中的两个函数定义域、值域、对应关系完全相同,故是同一个函数. 故选 D.

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点评: 本题考查构成函数的三要素,只有两个函数的定义域、值域、对应关系完全相同, 这两个函数才是同一个函数. 5. (5 分)函数 y=x ﹣4x+3,x∈[0,3]的值域为() A.[0,3] B.[﹣1,0] C.[﹣1,3]
2

D.[0,2]

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 由函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈[0,3]可得,当 x=2 时,函数取得最小值为 ﹣1,当 x=0 时,函数取得最大值 3,由此求得函数的值域. 2 2 解答: 解:∵函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈[0,3], 故当 x=2 时,函数取得最小值为﹣1,当 x=0 时,函数取得最大值 3, 故函数的值域为[﹣1,3], 故选 C. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值, 二次函数的性质的应用, 属于中档题. 6. (5 分)函数 y=loga(x﹣3)+2 的图象恒过定点() A.(3,0) B.(3,2) C.(4,2)

D.(4,0)

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 loga1=0 得 x﹣3=1,求出 x 的值以及 y 的值,即求出定点的坐标. 解答: 解:∵loga1=0, ∴当 x﹣3=1,即 x=4 时,y=2, ∴点 P 的坐标是 P(4,2) . 故选 C. 点评: 本题考查对数函数的性质和特殊点,主要利用 loga1=0,属于基础题. 7. (5 分)下列函数是奇函数的是() A.f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x) C. f(x)=﹣|x| B. f(x)=2 +2 3 D.f(x)=x ﹣1
x
﹣x

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 先求定义域,观察是否关于原点对称,计算 f(﹣x) ,看是否等于﹣f(x) ,即可判 断. 解答: 解:对于 A.定义域为(﹣1,1)关于原点对称,f(﹣x)=lg(1﹣x)﹣lg(1+x) =﹣f(x) ,则为奇函数,故 A 满足; 对于 B.定义域 R 关于原点对称,f(﹣x)=f(x) ,则为偶函数,故 B 不满足; 对于 C.定义域 R 关于原点对称,f(﹣x)=﹣|﹣x|=f(x) ,则为偶函数,故 C 不满足; 3 对于 D.定义域 R 关于原点对称,f(﹣x)=﹣x ﹣1≠f(x) ,且≠﹣f(x) ,则为非奇非偶函 数,故 D 不满足. 故选 A. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断,考查定义法解题,考查运算能力,属于基础题.
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8. (5 分)设 a=7 ,b=0.3 ,c=log70.3,则 a,b,c 的大小关系是() A.b<c<a B.c<b<a C.c<a<b D.a<b<c 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数与指数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a=7 >1,0<b=0.3 <1,c=log70.3<0, ∴c<b<a. 故选:B. 点评: 本题考查了对数函数与指数函数的单调性,属于基础题.
0.3 7

0.3

7

9. (5 分)函数 A. B.

的零点所在的区间是() C. D.

考点: 函数零点的判定定理. 分析: 根据零点存在定理,对照选项,只须验证 f(0) ,f( ) ,f( ) ,等的符号情况即 可.也可借助于图象分析: 画出函数 y=e ,y= 的图象,由图得一个交点. 解答: 解:画出函数 y=e ,y= 的图象: 由图得一个交点,由于图的局限性, 下面从数量关系中找出答案. ∵ ,
x x

, ∴选 B.

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点评: 超越方程的零点所在区间的判断, 往往应用零点存在定理: 一般地, 若函数 y=f (x) 在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线, 且 f(a)f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上有零点. 10. (5 分)已知 a>0,b>0 且 ab=1,则函数 f(x)=a 与函数 g(x)=﹣logbx 的图象可能 是()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 又

对数函数的图像与性质;指数函数的图像与性质. 常规题型;数形结合. 由条件 ab=1 化简 g(x)的解析式,结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案 解:∵ab=1,且 a>0,b>0

所以 f(x)与 g(x)的底数相同,单调性相同 故选 B 点评: 本题考查指数函数与对数函数的图象,以及对数运算,属中档题 11. (5 分)函数 f(x)=loga|x+1|,当 x∈(﹣1,0)时,恒有 f(x)>0,有() A.f(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数 B. f(x)在(﹣∞,0)上是减函数 C. f(x)在(0,+∞)上是增函数 D.f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 x 的取值范围,结合对数函数的单调性,即可求出 0<a<1,然后根据复合函 数单调性之间的关系,即可得到结论. 解答: 解:设 t=|x+1|, 则当 x∈(﹣1,0)时,t=|x+1|=x+1,为增函数, 且 t∈(0,1) ,
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则 y=logat, ∵当 x∈(﹣1,0)时,恒有 f(x)>0, 即在 t∈(0,1) ,logat>0, ∴0<a<1, ∴此时 y=logat 为减函数, ∴要使函数 f(x)=loga|x+1|为增函数, 则根据复合函数单调性之间的关系可知 t=|x+1|为减函数, ∵t=|x+1|在(﹣∞,﹣1)上是减函数, ∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数, 故选:A. 点评: 本题主要考查复合函数单调性的判断和应用, 根据条件结合对数函数的图象和性质 求出 a 的取值范围是解决本题的关键.

12. (5 分)已知函数 f(x)= 则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,0)

(a∈R) ,若函数 f(x)在 R 上有两个零点,

C.(﹣1,0)

D.[﹣1,0)

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式作出函数的图象,分析可得结果. 解答: 解: 由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分,且随着 a 的变化而上下平 移, 右半部分为直线的一部分,且是固定的,作图如下:

结合图象分析可得,当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意, 而红线与 y 轴的焦点坐标为 a+1,且只需 0≤a+1<1,即﹣1≤a<0 即可 故选 D 点评: 本题考查根的存在性以及个数的判断,数形结合是解决问题的关键,属中档题. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,请将答案填在答题卡相应位置) 13. (4 分)函数 的定义域为[﹣1,0)∪(0,+∞) .

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考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 直接利用分式的分母不为 0,无理式大于等于 0,求解即可得到函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,必须 ,解得 x∈[﹣1,0)∪(0,+∞) .

函数的定义域为:[﹣1,0)∪(0,+∞) . 故答案为:[﹣1,0)∪(0,+∞) . 点评: 本题考查函数的定义域的求法,考查计算能力.
α

14. (4 分)幂函数 f(x)=x 的图象经过点

,则 f( )的值为 2.

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把点 代入幂函数 f(x)=x ,解得 α,即可得出.
α α

解答: 解:∵幂函数 f(x)=x 的图象经过点 ∴ ,解得 .



∴ ∴ =

. =2.

故答案为:2. 点评: 本题考查了幂函数的定义、指数函数的运算法则,属于基础题. 15. (4 分)已知奇函数 f(x)在 x≥0 时的图象如图所示,则不等式 f(x)<0 的解集是(﹣ ∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,2) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 根据奇函数的图象关于原点对称可知,x<0 时,函数的图象,由图象可得结论. 解答: 解:因为 f(x)是奇函数,图象关于原点对称, 有图可知 f(x)<0 的解集是(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,2) 故答案为: (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,2)

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点评: 本题考查解不等式,考查奇函数的图象的对称性,正确作出函数的图象是关键. 16. (4 分)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数,例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: 2 ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②函数 是单函数;

③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是②③④. (写出所有真命题的编号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义. 分析: 由题意单函数的实质是一对一的映射, 而单调的函数也是一对一的映射, 据此可逐 个判断. 解答: 解:①函数 f(x)=x (x∈R)不是单函数,例如 f(1)=f(﹣1) ,显然不会有 1 和﹣1 相等,故为假命题; ②函数 是单函数,因为若 ,可推出 x1x2﹣x2=x1x2﹣x1,即
2

x1=x2,故为真命题; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2)为真, 可用反证法证明:假设 f(x1)=f(x2) ,则按定义应有 x1=x2,与已知中的 x1≠x2 矛盾; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真,因为单函数的实质是一对一的映射, 而单调的函数也是,故为真. 故答案为②③④. 点评: 本题为新定义, 准确理解单函数并把它跟已知函数的性质联系起来是解决问题的关 键,属基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) (Ⅰ)lg4+lg25+4
x

﹣(4﹣x) ;

0

(Ⅱ)f(x)=a +loga(x+1) (a>0 且 a≠1) .在[0,1]上的最大值与最小值和为 a,求 a 的 值. 考点: 对数的运算性质;对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)运用指数和对数的运算性质,即可化简求得;

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(Ⅱ)由于 a>1,f(x)在[0,1]上递增;0<a<1,f(x)在[0,1]上递减.则 f(x)min+f 0 1 (x)max=a +loga1+a +loga2=a,解出 a 即可. 解答: 解: (Ⅰ)lg4+lg25+4 =lg(4×25)+2 ﹣1=2+ ﹣1= ; (Ⅱ)由于 a>1,f(x)在[0,1]上递增; 0<a<1,f(x)在[0,1]上递减. 0 1 则 f(x)min+f(x)max=a +loga1+a +loga2=a, 即有 1+loga2=0, 解得,a= . 点评: 本题考查指数和对数的运算,考查指数函数和对数函数的单调性及运用:求最值, 属于中档题. 18. (12 分)已知集合 A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求 A∪B; (?RA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 本题考查集合的交、并、补运算,对于(1)求出 A 的补集是关键,对于(2)利 用 A∩C≠φ 确定参数 a 的取值范围 解答: 解: (1)∵集合 A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10}, ∴A∪B={x|2<x<10}, ∵CRA={x|x<4 或 x≥8} ∴(CRA)∩B={x|8≤x<10 或 2<x<4} (2)∵若 A∩C≠φ,A={x|4≤x<8},C={x|x<a}. ∴a 的取值范围是 a>4 ∴a∈(4,+∞) 点评: 本题考查子集、补集、交集的混合运算,并求出参数 a 的范围,属于基础题 19. (12 分)已知函数 .
﹣1

﹣(4﹣π)

0

(1)判断函数 f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并用单调性的定义加以证明; (2)若 a=1,求函数 f(x)在 上的值域.

考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据单调性的定义,进行作差变形整理,可得当 a>0 时,函数 f(x)在(﹣ 1,1)上是减函数,当 a<0 时,函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数;

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(2)根据(1)的单调性,算出函数在 (x)在 上的值域.

上的最大值和最小值,由此即可得到 f

解答: 解: (1)当 a>0 时,设﹣1<x1<x2<1 = =

∵x1﹣1<0,x2﹣1<0,a(x2﹣x1)>0 ∴ >0,得 f(x1)>f(x2) ,函数 f(x)在(﹣1,1)上是减函数;

同理可得,当 a<0 时,函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数. (2)当 a=1 时,由(1)得 f(x)= ∴函数 f(x 在 由此可得,函数 f(x)在 在(﹣1,1)上是减函数

上也是减函数,其最小值为 f( )=﹣1,最大值为 f(﹣ )= 上的值域为[﹣1, ].

点评: 本题给出分式函数, 讨论了函数的单调性并求函数在闭区间上的值域, 着重考查了 函数单调性的判断与证明和函数的值域等知识,属于基础题. 20. (12 分)已知 f(x)为定义在[﹣1,1]上的奇函数,当 x∈[﹣1,0]时,函数解析式为 f (x)= ﹣ (b∈R) .

(Ⅰ)求 f(x)在[0,1]上的解析式; (Ⅱ)求 f(x)在[0,1]上的最大值. 考点: 函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)设 x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0].利用已知条件以及函数的奇偶性即可求 f(x) 在[0,1]上的解析式; (Ⅱ)通过换元法化简函数 f(x)利用二次函数的性质求解在[0,1]上的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)设 x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0]. ∴f(﹣x)= ﹣ =4 ﹣2 .
x x

又∵f(﹣x)=﹣f(x) x x ∴﹣f(x)=4 ﹣2 . x x ∴f(x)=2 ﹣4 . x x 所以,f(x)在[0,1]上的解析式为 f(x)=2 ﹣4 …(6 分) x x x x 2 (Ⅱ)当 x∈[0,1],f(x)=2 ﹣4 =2 ﹣(2 ) ,
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∴设 t=2 (t>0) ,则 f(t)=t﹣t . ∵x∈[0,1],∴t∈[1,2]. 当 t=1 时,取最大值为 1﹣1=0. 所以,函数在[0,1]上的最大值分别为 0…(12 分) 点评: 本题考查函数的解析式的求法,函数的最值的求法,奇偶性的应用,基本知识的考 查. 21. (12 分)我县有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同. 甲 家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球 台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40) ,在乙家租一张球 台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40) .试求 f(x)和 g(x) ; (2)问:小张选择哪家比较合算?为什么? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)因为甲家每张球台每小时 5 元,故收费为 f(x)与 x 成正比例即得:f(x) =5x,再利用分段函数的表达式的求法即可求得 g(x)的表达式. (2)欲想知道小张选择哪家比较合算,关键是看那一家收费低,故只要比较 f(x) 与 g (x)的函数的大小即可.最后选择费用低的一家即可. 解答: 解: (1)f(x)=5x, (15≤x≤40) (3 分) (6 分)

x

2

(2)由 f(x)=g(x)得



即 x=18 或 x=10(舍) 当 15≤x<18 时,f(x)﹣g(x)=5x﹣90<0, ∴f(x)<g(x)即选甲家 当 x=18 时,f(x)=g(x)即选甲家也可以选乙家 当 18<x≤30 时,f(x)﹣g(x)=5x﹣90>0, ∴f(x)>g(x)即选乙家. (8 分) 当 30<x≤40 时,f(x)﹣g(x)=5x﹣(2x+30)=3x﹣30>0, ∴f(x)>g(x)即选乙家. (10 分) 综上所述:当 15≤x<18 时,选甲家; 当 x=18 时,选甲家也可以选乙家; 当 18<x≤40 时,选乙家. (12 分) 点评: 解决实际问题通常有四个步骤: (1)阅读理解,认真审题; (2)引进数学符号,建 立数学模型; (3)利用数学的方法,得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中关 键是建立数学模型.分段函数解题策略:分段函数模型的构造中,自变量取值的分界是关键 点,只有合理的分类,正确的求解才能成功地解题.但分类时要做到不重不漏.

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22. (14 分)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},且满足对于定义域内任意的 x1,x2 都有等式 f (x1?x2)=f(x1)+f(x2) (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)若 f(4)=1,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解关于 x 的不等式 f(3x+1)+f(2x ﹣6)≤3. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)令 x1=1,得 f(1)+f(x2)=f(x2) ,由此可得 f(1)=0; (2)令 x1=x2=﹣1,得 f(﹣1)+f(﹣1)=f(1)=0,从而 f(﹣1)=0,所以 f(﹣x)=f (﹣1)+f(x)=f(x) ,从而得到 f(x)为偶函数; (3)由 f(4)=1,结合题意得 f(64)=3,从而将原不等式转化为 f[(3x+1) (2x﹣6)]≤f (64) ,再结合 f(x)的单调性和奇偶性,将原不等式化为﹣64≤(3x+1) (2x﹣6)≤64,解 之并结合函数的定义域,即可得到原不等式的解集. 解答: 解: (1)令 x1=1,得 f(1?x2)=f(1)+f(x2)=f(x2) ∴f(1)=0; (2)令 x1=x2=﹣1,得 f(﹣1?(﹣1) )=f(﹣1)+f(﹣1)=f(1)=0 ∴f(﹣1)=0 因此 f(﹣x)=f(﹣1?x)=f(﹣1)+f(x)=f(x) ∴f(x)为偶函数 (3)∵f(4)=1,∴f(16)=f(4?4)=f(4)+f(4)=2 因此,f(64)=f(16?4)=f(16)+f(4)=3 ∴不等式 f(3x+1)+f(2x﹣6)≤3 即 f[(3x+1) (2x﹣6)]≤f(64) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且是偶函数 ∴原不等式可化为﹣64≤(3x+1) (2x﹣6)≤64 解之得:﹣ ≤x≤5 ∵函数定义域为{x|x≠0} ∴(3x+1) (2x﹣6)≠0,得 x≠﹣ 且 x≠3 综上所述,原不等式的解集为{x|:﹣ ≤x≤5 且 x≠﹣ 且 x≠3} 点评: 本题给出抽象函数为偶函数且是(0,+∞)上的增函数,求函数的值并求不等式的 解集,着重考查了函数的单调性与奇偶性、不等式的解法等知识,属于中档题.

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