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2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标2)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
一、选择题

1.设集合 M={0,1,2},集合 N={x| x 2 ? 3x ? 2 ? 0 },则 N∩M= A.{1} A.-5 B. 5 B.{2} C.-4+i C.{0,1} D.-4-i D.{1,2}
2.设复数 Z1,Z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,Z1=2+i,则 Z1?Z2=

3.设向量 a,b 满足|a+b|=

10 ,|a-b|= 6 ,则 a?b=

A.1

C.3 D.5 1 4.钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC= 2 A.5 B. 5 C.2 D.1

B. 2

5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为 优良的概率为 0.75,连续两天为优良的概率为 0.6, 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量 为优良的概率是:

A.0.8

B.0.75

C.0.6

D.0.45

6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) 图中粗线画出的某零件的三视图,该零件由一个底 面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

A.

17 27 10 27

B.
1 3

5 9

C.

D.

7 执行右边的程序框图,开始输入的 x,t 均为 2 则输出的 S=

开始 输入 x,t M=1,S=3

A.1 B.2

K=1

C.3 D. 5
是 k≤t 否

M=Mx/K

输出 S

S=M+S K=k+1

结束

8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=

A.0

B.1

C.2

D.3

? x? y?7 ? 0 ? 9.设 x,y 满足的约束条件为 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 Z=2x-y 的最大值为 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?

A.10

B.8

C.3

D.2

10.设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点, O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为

A.

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D.

9 4

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90°,M,N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 A.
1 10

B.

2 5

C.

30 10

D.

2 2

12.设函数 f ( x) ? 3 sin

?x
m

2 .若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 ? [ f ( x)]2 ? m2 ,则

m 的取值范围是: A. (-∞,-6)∪(6,+∞) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) 二、填空题

B. (-∞,-4)∪(4,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) (用数字作答)

13. (x ? a)10 展开式中,x7 的系数为 15,则 a=

14.函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为 15.已知偶函数 f(x)在[0,+∞﹚上单调递减,f(2)=0,若 f(x-1)>0,则 x 的取值范 围是 16.设点 M(x0,1)若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的 取值范围是 三、解答题 17. (12 分)已知数列 {an } 满足,a1=1, an?1 ? 3an ? 1
1? ? (1)证明: ?an ? ? 是等比数列,并求{an}的通项公式; 2? ? 1 1 1 3 ??? ? (2) 证明: ? a1 a 2 an 2

18.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为 矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点 (1) 证明:PB∥平面 AEC (2) 设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1, AD=

P

E A B C D

3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积

19.(12 分)某地区 2007 至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数 据如下表: 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 人均纯收入 1 2.9 2 3.3 3 3.6 4 4.4 5 4.8 6 5.2 7 5.9

(1) 求 y 关于 t 的线性回归方程 (2) 利用(1)中的回归方程,分析 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收

入的变化情况,并预测 2015 年农村居民家庭人均纯收入;
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n

?? b

? (t
i ?1

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

?t ??y ? ?b ,a

? t )2

20.(12 分)设 F1,F2 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,M 是 C a2 b2

上一点且 MF2 与 X 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N 3 (1) 若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b

21.(12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ? 2x (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (3)已知 1.4142< 2 <1.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

选做题 22.(10 分)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点 割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的 延长线交⊙O 于点 E,证明: (1) BE=EC P (2) AD·DE=2PB2

A

B

?O D C E

23.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 ? 坐标系,半圆 C 的极坐标方程为:ρ=2cosθ , θ ∈[0, ] 2 (1) 求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(1)中你得 到的参数方程,确定 D 的坐标; 24.(10 分)设函数 f(x)=|x+
1 |+|x-a|(a>0) x

(1)证明:f(x)≥2 (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围


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