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【小节训练】确定圆的条件


【小节训练】5.4 确定圆的条件

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【小节训练】5.4 确定圆的条件
一、选择题(共 6 小题) 1. (2011?自贡)已知 A,B 两个口袋中都有 6 个分别标有数字 0,1,2,3,4,5 的彩球,所有彩球除标示的数字 外没有区别.甲、乙两位同学分别从 A,B 两个口袋中随意摸出一个球.记甲摸出的球上数字为 x,乙摸出的球上 数字为 y,数对(x,y)对应平面直角坐标系内的点 Q,则点 Q 落在以原点为圆心,半径为 的圆上或圆内的概 率为( ) A. B. C. D.

2.若⊙ 的半径为 5,圆心 A 的坐标是(3,4) A ,点 P 的坐标是(5,8) ,你认为点 P 的位置为( ) A.在⊙ 内 A B.在⊙ 上 A C.在⊙ 外 A D.不能确定 3. (2005?陕西)如图,⊙ 是△ O ABC 的外接圆,连接 OA、OC,⊙ 的半径 R=2,sinB= ,则弦 AC 的长为( O )

A.3

B.

C.

D.

4. (2010?大庆)在直角坐标系中,⊙ P、⊙ 的位置如图所示.下列四个点中,在⊙ 外部且在⊙ 内部的是( Q P Q



A.(1,2)

B.(2,1)

C.(2,﹣1) )

D.(3,1)

5.若一个三角形的外心在这个三角形的最长边上,那么这个三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.不能确定

6. (2009?衡阳)如图所示,A、B、C 分别表示三个村庄,AB=1000 米,BC=600 米,AC=800 米,在社会主义新 农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心 P 的位置应在( )

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A.AB 中点 C. AC 中点

B. BC 中点 D.∠ 的平分线与 AB 的交点 C

二、填空题(共 5 小题) (除非特别说明,请填准确值) 7.直角三角形的两条边长分别为 6 和 8,那么这个三角形的外接圆半径为 _________ 8. (2008?泰州)若 O 为△ ABC 的外心,且∠ BOC=60°,则∠ BAC= _________ . _________ .

9. (2001?河北)若三角形的三边长分别为 3、4、5,则其外接圆直径的长等于 10.在△ ABC 中,∠ A=62°,点 I 是外接圆圆心,则∠ BIC= _________ 度.

11.顶角为 120°的等腰三角形腰长为 4cm,则它的外接圆的直径 _________ cm.

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【小节训练】5.4 确定圆的条件
参考答案与试题解析
一、选择题(共 6 小题) 1. (2011?自贡)已知 A,B 两个口袋中都有 6 个分别标有数字 0,1,2,3,4,5 的彩球,所有彩球除标示的数字 外没有区别.甲、乙两位同学分别从 A,B 两个口袋中随意摸出一个球.记甲摸出的球上数字为 x,乙摸出的球上 数字为 y,数对(x,y)对应平面直角坐标系内的点 Q,则点 Q 落在以原点为圆心,半径为 的圆上或圆内的概 率为( ) A. B. C. D.

考点: 列表法与树状图法;点与圆的位置关系。 分析: 根据已知列表得出所有结果,进而得出满足条件的点的个数为:8 个,即可求出点 Q 落在以原点为圆心, 半径为 的圆上或圆内的概率. 解答: 解:根据题意列表得出: 0 1 2 3 4 5 0(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(0,5) 1(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5) 2(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) 3(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5) 4(4,0)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5) 5(5,0)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)
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∵ 数对(x,y)对应平面直角坐标系内的点 Q,点 Q 落在以原点为圆心,半径为 纵坐标绝对值都必须小于等于 2, ∴ 满足条件的点的个数为:8 个, ∴ Q 落在以原点为圆心,半径为 点 的圆上或圆内的概率为: .

的圆上或圆内的坐标横

故选:A. 点评: 此题考查的是用列表法或者用树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于 两步完成的事件.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情 况数之比. 2.若⊙ 的半径为 5,圆心 A 的坐标是(3,4) A ,点 P 的坐标是(5,8) ,你认为点 P 的位置为( ) A.在⊙ 内 A B.在⊙ 上 A C.在⊙ 外 A D.不能确定 考点: 坐标与图形性质;点与圆的位置关系。 分析: 本题应先根据两点之间的距离公式求出 AP 两点之间的距离, 再讲距离的大小与半径对比, 大于半径在圆外, 小于半径在圆内,由此解出本题. 解答: 解:∵ AP= =2 <5,
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∴ P 在⊙ 内, 点 A 故选 A. 点评: 本题应注意当点与圆心的距离小于半径时,点在圆内.

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A.3

B.

C.

D.

考点: 三角形的外接圆与外心。 分析: 若想利用∠ 的正弦值,需构建与它相等的圆周角,延长 AO 交⊙ 于 D,在 Rt△ B O ADC 中,由圆周角定理, 易得∠ B,即可根据∠ 的正弦值和直径 AD 的长,求出 AC 的长. D=∠ D 解答: 解:延长 AO 交圆于点 D,连接 CD, 由圆周角定理,得:∠ ACD=90°,∠ B D=∠
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∴ sinD=sinB= , Rt△ ADC 中,sinD= ,AD=2R=4, ∴ AC=AD?sinD=3. 故选 A.

点评: 此题主要是根据圆周角定理的推论,作出直径所对的圆周角,利用锐角三角函数求解. 4. (2010?大庆)在直角坐标系中,⊙ P、⊙ 的位置如图所示.下列四个点中,在⊙ 外部且在⊙ 内部的是( Q P Q )

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(2,﹣1)

D.(3,1)

考点: 坐标与图形性质;点与圆的位置关系。 分析: 要使点在⊙ 外部且在⊙ 内部则只要该点的纵坐标小于 1 即可,根据对四个选项的观察即可得出结论. P Q 解答: 解:本题结合图形运用排除法. 依题意得:点 P 的坐标为(1,1) ,各选项都是整数点,那么在⊙ 外部且在⊙ 内部的点的纵坐标应小于 1, P Q 而小于 1 的只 C 选项的坐标, 故选 C. 点评: 解决本题的关键是得到在⊙ 外部且在⊙ 内部的点的本质特征,即点的纵坐标应小于 1. P Q
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www.jyeoo.com 5.若一个三角形的外心在这个三角形的最长边上,那么这个三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 考点: 三角形的外接圆与外心;勾股定理的逆定理。 分析: 根据直径所对的圆周角是直角,则该三角形是直角三角形. 解答: 解:∵ 根据圆周角定理:直径所对的圆周角是直角, ∴ 该三角形是直角三角形. 故选 B. 点评: 注意:直角三角形的外心就是它的斜边的中点.
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) D.不能确定

6. (2009?衡阳)如图所示,A、B、C 分别表示三个村庄,AB=1000 米,BC=600 米,AC=800 米,在社会主义新 农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心 P 的位置应在( )

A.AB 中点 C. AC 中点 考点: 专题: 分析: 解答:

B. BC 中点 D.∠ 的平分线与 AB 的交点 C

三角形的外接圆与外心;勾股定理的逆定理。 应用题。 了解直角三角形的判定及三角形的外心的知识,是解答的关键.
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解:因为 AB=1000 米,BC=600 米,AC=800 米,所以 AB =BC +AC ,所以△ ABC 是直角三角形,∠ C=90 度. 因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等,所以活动中心 P 的位置应在△ ABC 三边垂直平分线的交点处, 也就是△ ABC 外心处,又因为△ ABC 是直角三角形,所以它的外心在斜边 AB 的中点处,故选 A. 点评: 本题比较容易主要考查直角三角形的判定及三角形的外心的知识. 二、填空题(共 5 小题) (除非特别说明,请填准确值) 7.直角三角形的两条边长分别为 6 和 8,那么这个三角形的外接圆半径为 4 或 5 考点: 三角形的外接圆与外心;勾股定理。 分析: 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点,那么半径为斜边的一半,分两种情况:① 为斜边长;② 和 8 为两 8 6 条直角边长,由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长,进而可求得外接圆的半径. 解答: 解:由勾股定理可知: ① 直角三角形的斜边长为:8;
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2

2

2

② 直角三角形的斜边长为:

=10.

因此这个三角形的外接圆半径为 4 或 5. 点评: 本题考查的是直角三角形的外接圆半径,重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心,斜边长 的一半为半径的圆. 8. (2008?泰州)若 O 为△ ABC 的外心,且∠ BOC=60°,则∠ BAC=
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30°或 150° .

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解答:

解:因为∠ BOC 是

所对的圆心角,∠ BAC 是

所对的圆周角,

所以由两种情况:①BAC= ∠ ∠ BOC=30 度,②BAC= (360°﹣∠ ∠ BOC)=150°.

点评: 本题考查了同一弧线所对的圆心角和圆周角的关系.本题关键要想到圆周中同一弧线所对应的圆周角是圆 心角的一半. 9. (2001?河北)若三角形的三边长分别为 3、4、5,则其外接圆直径的长等于 5 .

考点: 勾股定理的逆定理;三角形的外接圆与外心。 分析: 根据勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形.则其外接圆的直径等于斜边的一半. 解答: 解:∵ 三角形的三边长分别为 3、4、5,
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3 +4 =5 , ∴ 根据勾股定理的逆定理,该三角形为直角三角形, ∴ 根据直角三角形的性质,熟记其外接圆的直径等于斜边的一半,得 R=5, 故填 5. 点评: 能够根据勾股定理的逆定理发现这是一个直角三角形,根据直角三角形的性质,熟记其外接圆的直径等于 斜边的一半. 10.在△ ABC 中,∠ A=62°,点 I 是外接圆圆心,则∠ BIC= 124 度. 考点: 分析: 解答: 点评: 三角形的外接圆与外心。 根据圆周角定理得∠ BIC=2∠ A=124°. 解:∠ BIC=2∠ A=124°. 能够正确画图,熟练运用圆周角定理进行计算.
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2

2

2

11.顶角为 120°的等腰三角形腰长为 4cm,则它的外接圆的直径 8

cm.

考点: 三角形的外接圆与外心;等边三角形的性质;等边三角形的判定。 分析: 由于等腰三角形的顶角为 120°,则每条腰都与三角形外接圆的半径构成一个等边三角形,由此可求出其外 接圆的半径和直径. 解答: 解:如图;△ ABC 中,∠ ACB=120°,AC=BC=4cm;
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易知∠ OCA= ∠ ACB=60°; 又∵ OA=OC, ∴OAC 是等边三角形; △ ∴ OA=OC=AC=4cm;
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www.jyeoo.com 故等腰三角形的外接圆直径是 8cm.

点评: 此题主要考查了等腰三角形的性质,以及三角形外接圆半径的求法.

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