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离心率专题复习4.29


离心率的五种求法

离心率的五种求法
椭圆的离心率 0 ? e ? 1 ,双曲线的离心率 e ? 1 ,抛物线的离心率 e ? 1 . 一、直接求出 a 、 c ,求解 e 已知圆锥曲线的标准方程或 a 、 c 易求时,可利用率心率公式 e ? 例 1:已知双曲线 率为( A. )

c 来解决。 a

x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )的一条准线与抛物线 y 2 ? ?6x 的准线重合,则该双曲线的离心 2 a
B.

2 3 3 2 2 3 a c ?1 3 解:抛物线 y 2 ? ?6x 的准线是 x ? ,即双曲线的右准线 x ? ? ? ,则 2c 2 ? 3c ? 2 ? 0 , 2 c c 2 c 2 3 解得 c ? 2 , a ? 3 , e ? ? ,故选 D a 3

3 2

3 2

C.

6 2

D.

变式练习 1:若椭圆经过原点,且焦点为 F1 ?1,0? 、 F2 ?3,0 ? ,则其离心率为(



3 4 解:由 F1 ?1,0? 、 F2 ?3,0? 知 c c ? 1 ,所以离心率 e ? ? a
A.

2 1 1 C. D. 3 2 4 2c ? 3 ? 1 ,∴ c ? 1 ,又∵椭圆过原点,∴ a ? c ? 1 , a ? c ? 3 ,∴ a ? 2 , 1 .故选 C. 2
B. )

变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( A.

3 2

B.

6 2

C.

3 2

D 2

解:由题设 a ? 2 , 2c ? 6 ,则 c ? 3 , e ?

c 3 ? ,因此选 C a 2

变式练习 3:点 P(-3,1)在椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左准线上,过点 P 且方向为 a ? ?2,?5? 的 a2 b2


光线,经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(

A

3 3

B

1 3

C

2 2

D

1 2

解:由题意知,入射光线为 y ? 1 ? ?

5 ?x ? 3? ,关于 y ? ?2 的反射光线(对称关系)为 5x ? 2 y ? 5 ? 0 , 2

?a2 c 3 ? ?3 则? c 解得 a ? 3 , c ? 1 ,则 e ? ? ,故选 A a 3 ?? 5c ? 5 ? 0 ?
二、构造 a 、 c 的齐次式,解出 e 根据题设条件,借助 a 、 b 、 c 之间的关系,构造 a 、 c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于 e 的 一元方程,从而解得离心率 e 。
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离心率的五种求法

例 2:已知 F1 、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的两焦点,以线段 F1 F2 为边作正三角形 MF1 F2 , a2 b2
) C.

若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( A. 4 ? 2 3 B.

3 ?1

3 ?1 2

D.

3 ?1

解:如图,设 MF1 的中点为 P ,则 P 的横坐标为 ?

c ,由焦半径公式 2

PF1 ? ?ex p ? a ,
即c ? ?
2 c ? c? c? ?c? ? ? ? ? ? a ,得 ? ? ? ? 2? ? ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2? ?a? ?a?

e?

c ? 1 ? 3 ( 1 ? 3 舍去),故选 D a

变式练习 1:设双曲线

x2 y2 ? ? 1( 0 ? a ? b )的半焦距为 c ,直线 L 过 ?a,0? , ?0, b ? 两点.已知原点到 a2 b2
)

直线的距离为

3 c ,则双曲线的离心率为( 4
B.

A. 2

3

C.

2

D.

2 3 3

解:由已知,直线 L 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,由点到直线的距离公式,得
2 2 2

ab a2 ? b2
4 2

?

3 c, 4

2 2 2 2 4 又 c ? a ? b , ∴ 4ab ? 3c ,两边平方,得 16a c ? a ? 3c ,整理得 3e ? 16e ? 16 ? 0 ,

?

?

2 得e ? 4或e ?
2

4 c2 a2 ? b2 b2 2 ? 1 ? ? 2 ,∴ e 2 ? 4 ,∴ e ? 2 ,故选 A ,又 0 ? a ? b ,∴ e ? 2 ? 3 a a2 a2
0

变式练习 2:双曲线虚轴的一个端点为 M ,两个焦点为 F1 、 F2 , ?F1 MF2 ? 120 ,则双曲线的离心率 为( A )

3

B

6 2

C

6 3

D

3 3

解:如图所示,不妨设 M ?0, b? , F1 ?? c,0?, F2 ?c,0 ? ,则

MF1 ? MF2 ? c 2 ? b 2 ,又 F1 F2 ? 2c ,
在 ?F1 MF2 中, 由余弦定理,得 cos?F1 MF2 ?

MF1 ? MF2 ? F1 F2 2 MF1 ? MF2

2

2

2

,

即?

b2 ? c2 1 1 c 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 4c 2 ?? , ,∴ ? 2 2 2 2 2 b ?c 2 2 c ?b

?

? ? ?

?

?

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离心率的五种求法

∵ b ? c ? a ,∴
2 2 2

3 ? a2 1 6 ? ? ,∴ 3a 2 ? 2c 2 ,∴ e 2 ? ,∴ e ? ,故选 B 2 2 2 2 2 2c ? a

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例 3:设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 PF2 为等腰直角 三角形,则椭圆的离心率是________。 解: e ?

c 2c 2c 2c 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 a 2a PF1 ? PF2 2 2c ? 2c 2 ?1

四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 a2 b2
.

且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

解:如图所示, AB 是过 F1 且垂直于 x 轴的弦,∵ AD ? l1 于 D ,∴ AD 为 F1 到准线 l1 的距离,根据椭

1 AB 1 ? 2 ? 圆的第二定义, e ? AD AD 2 AF1
变式练习:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1 ,则该椭圆的 离心率为( ) A

2

B

2 2

C

1 2

D

2 4

解: e ?

AF2 AD

?

2 2 2 ? 1 2

五、构建关于 e 的不等式,求 e 的取值范围 例 5:设 ? ? ? 0, A.

1 2
2

? ?? ? ,则二次曲线 x 2 cot? ? y 2 tan? ? 1 的离心率的取值范围为( ? 4? ?1 2 ? ? 2 ? ? ? B. ? C. ? D. ?2,??? ?2, 2 ? ? 2 ,2 ? ? ? ? ?
2



另:由 x cot? ? y tan? ? 1 , ? ? ? 0,

? ?? 2 2 ? ,得 a ? tan? , b ? cot? , ? 4?
c 2 tan? ? cot? ? ? 1 ? cot2 ? tan? a2

∴ c ? a ? b ? tan? ? cot? ,∴ e ?
2 2 2

2

∵ ? ? ? 0,

? ?? 2 2 ? ,∴ cot ? ? 1 ,∴ e ? 2 ,∴ e ? 2 ,故选 D ? 4?

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离心率的五种求法

例6:如图,已知梯形 ABCD 中, AB ? 2 CD ,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? ,双曲线过 C 、 D 、

E 三点,且以 A 、 B 为焦点.当

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率 e 的取值范围。 3 4

解:以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系

xoy ,则 CD ? y 轴.因为双曲线经过点 C 、 D ,且以 A 、 B 为焦点,由双曲线
的对称性知 C 、 D 关于 y 轴对称.依题意,记 A?? c,0? , C ? , h ? , E ?x0 , y0 ?, 其中 c ?

?c ?2

? ?

1 AB 为双曲线的半焦距, h 是梯形的高. 2

由定比分点坐标公式得 x 0 ?

?c???

c 2 2 2 ? ?? ? 2 ?c , y ? ?h ,设双曲线的方程为 x ? y ? 1 ,则离 0 1? ? 2?1 ? ? ? 1? ? a2 b2

心率 e ?

c c2 h2 ? ? 1① ,由点 C 、 E 在双曲线上,所以,将点 C 的坐标代入双曲线方程得 a 4a 2 b 2
2 2

c2 ? ? ? 2 ? h2 ? ? ? 将点 E 的坐标代入双曲线方程得 ? ? ? ? ? ? 1② 4a 2 ? 1 ? ? ? b 2 ? 1 ? ? ?
再将 e ?

c e2 h2 h2 e2 ? 2 ? 1 ,∴ 2 ? ?1③ ①、②得 a 4 b 4 b
2

e2 4

h2 ?? ?2? ? ? ? 2 ? 1? ? ? b

? ? ? ? ? ? 1④ ?1? ? ?

2

e2 ?4 ? 4? ? ? 1 ? 2? ,∴ ? ? 1 ? 2 3 ,由题设 2 ? ? ? 3 得: 将③式代入④式,整理得 3 4 e ?2 4
2 3 3 ? 1? 2 ? ,解得 7 ? e ? 10 ,所以双曲线的离心率的取值范围为 3 e ?2 4

? 7, 10?

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离心率的五种求法

配套练习

x2 y2 1. 设双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率为 3 , 且它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线重合, a b
则此双曲线的方程为( A. ) B.

x2 y2 ? ?1 12 24

x2 y2 ? ?1 48 96

C.

x2 2y2 ? ?1 3 3


D.

x2 y2 ? ?1 3 6

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.

1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2


3.已知双曲线

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( 2 3 a b
B

A

5 3

4 3

C

5 4

D

3 2

4.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为

A

2

B

2 2

C

1 2

D

2 4
1 ,则该双曲线的离心 2

5.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 率为( A ) B 2 C

2 2

2

D 2 2

6. 如图,F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心, 以 OF1 a2 b2


为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 ?F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为(

A

3

B

5

C

5 2

D

3 ?1

7. 设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, P 是其右准线上纵坐标为 3c ( c 为 a2 b2


半焦距)的点,且 F1 F2 ? F2 P ,则椭圆的离心率是(

A

3 ?1 2

B

1 2

C

5 ?1 2

D

2 2

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离心率的五种求法

x2 y2 8.设 F1 、 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 ?F1 AF2 ? 900 ,且 a b

AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线离心率为(
A



5 2

B

10 2

C

15 2

D

5

9.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 )的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 600 的直线与双曲线的 2 a b
) D B ?1,2?

右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A ?1,2? C

?2,???

?2,???

10.椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点为 F1 、 F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M 、 N ,若 a2 b2


MN ? 2 F1 F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是(
A. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

B. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ?

? 2 ? ,1? ? 2 ? ?

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离心率的五种求法

答案:1.由

c a2 ? 3, ? 1 可得 a ? 3, b ? 6, c ? 3. 故选 D a c

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,∴ a ? 2b ,椭圆的离心率 e ?

c 3 ,选 D。 ? a 2

3.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得

b 4 c 32 ? 42 5 ? , 可得e ? ? ? ,故选 A a 3 a 3 3

4.不妨设椭圆方程为

x2 y 2 2b2 a2 2 ? 2 且 ? c ? 1 ,据此求出 e= ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则有 2 2 a c a b 2

x2 y 2 2b 2 a2 1 ? 2且c ? ? ,据此解得 e= 2 ,选 C 5.不妨设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a?0,b?0) ,则有 a c 2 a b
6.解析:如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 r 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 a2 b2

O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, 且△ F2 AB 是等边三角形, 连接 AF1, ∠AF2F1=30° , |AF1|=c,
|AF2|= 3 c,∴ 2a ? ( 3 ?1)c ,双曲线的离心率为 1 ? 3 ,选 D。 7.由已知 P(

a2 a2 c 2 , 3c ) ,所以 2c ? ( ? c) 2 ? ( 3c) 2 化简得 a 2 ? 2c 2 ? 0 ? e ? ? c a 2 . c x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点。 若双曲线上存在点 A, 使∠F1AF2=90? , 且|AF1|=3|AF2|, a 2 b2
2 2

8.设 F1, F2 分别是双曲线

2c ? | AF1 | ? | AF2 | ? 10 , ∴ 离 心 率 设 |AF2|=1 , |AF1|=3 , 双 曲 线 中 2a ?| AF 1 | ? | AF 2 |? 2 ,
e? 10 ,选 B。 2

9.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与双曲线的右支有且只 2 a b
b ,∴ a b ≥ 3 ,离心率 a

有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

e2=

c 2 a 2 ? b2 ? ≥ 4 ,∴ e≥2,选 C a2 a2

x2 y2 a2 2 10.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 ,F2 , 两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N , 若 | MN| ? , a b c

| F1F2 |? 2c , MN ≤ ? F1F2 ,则

a2 2 ? 2c ,该椭圆离心率 e≥ ,选 D c 2
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