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2016年北京一模二模文科数学分类汇编-立体几何


2016 年北京市各区高三模拟考试数学文科试题分类汇编------立体几何

选择题部分:
(2016 西城期末)5. 一个几何体的三视图如图所示,那么 这个几何体的表面积是( B ) (A) 16 ? 2 3 (B) 16 ? 2 5 (C) 20 ? 2 3 (D) 20 ? 2 5 ( 2016 朝阳期末) 5.已知 m, n 表示两条不同的直线, ?,? 表示两个不同的平面,且 俯视图 1 1 正(主)视图 2 侧(左)视图 2

m ? ?,n ? ? ,则下列说法正确的是( B )
A.若 ? / / ? ,则 m / / n C.若 m / / ? ,则 ? / / ? B.若 m ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,则 m ? n

(2016 昌平期末)(4)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( A.36 B.18 C.12 D.6

D



4

3 正(主)视图 1 2

3 侧(左)视图

俯视图

(2016海淀一模)5.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为( A )

A.

3 3 2 3 2 6 B. C. D. 3 2 3 3

(2016 丰台一模) 7. 如图, 已知三棱锥 P - ABC 的底面是等腰直角三角形, 且∠ACB=90 , 侧面 PAB⊥底面 ABC,AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是 ( C )
O

(A) 2 3 , 2 2 ,2 (B)4,2, 2 2 (C) 2 3 ,2,2 (D) 2 3 ,2, 2 2

z

P

x

主视图

侧视图

A C B

y y
俯视图

(2016 石景山一模)5.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ( C )

A. 8 B . 6 2 C. 10 D. 8 2

(2016 顺义一模) 8.如图, 矩形 ABCD 与矩形 ADEF 所在的平面互相垂直, 将 VDEF 沿 FD 翻折,翻折后的点 E (记为点 P )恰好落在 BC 上. 设 AB ? 1 , FA ? x ( x ? 1) , AD ? y .则以下结论正确的是( (A)当 x ? 2 时, y 有最小值 (C)当 x ? C )

4 3 3

(B)当 x ? 2 时, y 有最大值 (D)当 x ?

4 3 3

2 时, y 有最小值 2

2 时, y 有最大值 2

( 2016 海 淀 二 模 ) 8. 正 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 的 棱 长 为 1 , 点 P,Q,R 分 别 是 棱
D1 C1

A1 A,A1B1,A1D1 的中点,以 ?PQR 为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面的三个
顶点也都在该正方体的表面上,则这个正三棱柱的高为( D )

R A1 Q B1

P

D

C

A

B

2 A. 2

B. 2

3 C. 3

3 D. 2

(2016 朝阳二模)4.已知 m,n, l 为三条不同的直线,α,β,γ 为三个不同的平面,则下列 命题中正确的是( C ) A.若 m⊥ l ,n⊥ l ,则 m∥n C.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β

(2016 朝阳二模) 6. 已知某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的最长棱的长是 ( A ) A. 6 B. 5 C. 1 1 正视图 1 1 侧视图

2
俯视图

D. 2 (2016 朝阳二模)8.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,已知 M 为线段 AD 的中点, P 为线 段 AD 上的一点,若线段 BP =CD +PD ,则( C ) A. ?MBA ?

3 2 ?PBC B. ?MBA ? ?PBC 4 3

C. ?MBA ?

1 1 ?PBC D. ?MBA ? ?PBC 2 3

填空题部分:
(2016 海淀期末) 11. 某三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的体积为___4___.
2 2 主视图 2 左视图

俯视图

(2016 东城期末)(12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 4.

(2016 朝阳期末)13.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是____12____,侧面 积为____27____.

3 4 正视图 3

侧视图

俯视图 (2016 丰台期末)13.已知某几何体的三视图, 则该几何体的体积是___

4 3 ____. 3
2

2 1
正视图

1

侧视图

3

俯视图

(2016 石景山期末)13.三棱锥 S ? ABC 及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图 所示,则棱 SB 的长为______ 4 2 _____.
S

4
A B

C

2 2 正 (主) 视图

2 3

左 (侧) 视图

(2016 西城一模)12.一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的

23 三视图如图所示,则该几何体的体积为__ 3 __.
1 正(主)视图 1 侧(左)视图

俯视图 (2016海淀一模)14.给定正整数k≥2,若从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶

? ? , X k ? ,均满足 ?X i , X j ? M , ?X s , X t ? M ,使得直线 点,组成一个集合M= ? X1 , X 2 ,?
X i X j ? X s X t ,则k的所有可能取值是____5,6,7,8_____
第 14 题有错写的,则不给分 只要写出 7 或 8 中之一的就给 1 分,两个都写出,没有其它错误的情况之下给 1 分 写出 5,6 中之一的给 2 分,两个都写出,且没有错误的情况之下给 4 分 (2016 东城一模)(11)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内 一动点,则三棱锥 P-ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为 1.

(2016 顺义一模)12.已知某几何体的三视图如图,正(主)视图中的弧线是半圆,根据图中 标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是_____ 4 ? 3? ____(单位: cm ).
2

(2016 房山一模)(13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于_

16 __. 3
4

2

正(主)视图

侧(左)视图

2

2 俯视图

(2016 西城二模)11. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为__3___.

2 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

(2016 东城二模)(12)已知一个三棱锥的三视图如图所 示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的四 个面中,最大面积为____ 2 3 ____.
俯视图

(2016 丰台二模) 13.一个三棱柱被一个平面截去一部分, 剩下的几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为_________20_______.
4 3

5

主视图

侧视图

(2016 昌平二模) (13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是___16 ? 6 2 ______.

2

2 3 正(主)视图 侧(左)视图

俯视图

(2016 房山二模)(12)某几何体的正(主)视图和俯视图如图所示, 则该几何体的体积的最大值为__4_.
4 正(主)视图

1

1 4 俯视图

解答题部分:
(2016 西城期末)17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 135 ,侧面
?

PAB ? 底面 ABCD , ?BAP ? 90? , AB ? AC ? PA ? 6 , E , F 分别为 BC, AD 的中点,

点 M 在线段 PD 上. (Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 M 为 PD 的中点,求证: ME // 平面 PAB ; M (Ⅲ)当 P

PM 1 ? 时,求四棱锥 M ? ECDF 的体积. MD 2
BE

A

F C

D

( Ⅰ ) 证 明 : 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 因 为 AB ? AC ,

?BCD ? 135? ,
所以 AB ? AC . 由 E , F 分别为 BC , AD 的中点,得 EF //AB , 所以 EF ? AC .………………1 分
? 因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,且 ?BAP ? 90 ,

所以 PA ? 底面 ABCD . 2分 又因为 EF ? 底面 ABCD , 所以 PA ? EF .………………3 分 又因为 PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , 所以 EF ? 平面 PAC . 分 (Ⅱ)证明:因为 M 为 PD 的中点, F 分别为 AD 的中点, 所以 MF //PA , 又因为 MF ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB , 所以 MF // 平面 PAB . 同理,得 EF // 平面 PAB . 又因为 MF ? EF =F , MF ? 平面 MEF , EF ? 平面 MEF , 所以平面 MEF // 平面 PAB . 又因为 ME ? 平面 MEF , ………………9 分 BE ………………7 分

………………

………………5

P M A D

F C

所以 ME // 平面 PAB . 10 分 (Ⅲ)解:在 ?PAD 中,过 M 作 MN //PA 交 AD 于点 N (图略), 由

………………

PM 1 MN 2 ? ,得 ? , MD 2 PA 3

又因为 PA ? 6 , 所以 MN ? 4 , 分 因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 MN ? 底面 ABCD , 所以四棱锥 M ? ECDF 的体积 ……………… 12

1 1 6?6 VM ? ECDF ? ? S? ECDF ? MN ? ? ? 4 ? 24 .…… 14 分 3 3 2
(2016 海淀期末)18.(本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是菱形, PD ? 平面 ABCD , PD ??BE ,

AD ? PD ? 2BE ? 2 , ?DAB ? 60? ,点 F 为 PA 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求证:平面 PAE ? 平面 PAD ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? ADE 的体积. 18.解: (Ⅰ)取 AD 中点 G ,连接 FG, BG 因为点 F 为 PA 的中点,
A F D

P

F D A
P

E C B

E C B

G

1 PD 2 1 又 BE ? PD ,且 BE ? PD , 2
所以 FG ? PD 且 FG ? 所以 BE ? FG, BE ? FG , 所以四边形 BGFE 为平行四边形. 所以 EF ? BG ,

…………………………….1 分

…………………………….2 分

又 EF ? 平面 ABCD , BG ? 平面 ABCD , 所以 EF ? 平面 ABCD .

…………………………….3 分

…………………………….4 分

(Ⅱ)连接 BD . 因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB =60? ,所以 ?ABD 为等边三角形. 因为 G 为 AD 中点,所以 BG ? AD , …………………………….6 分 ………………………….7

又因为 PD ? 平面 ABCD , BG ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BG , 分 又 PD ? AD ? D , PD, AD ? 平面 PAD , 所以 BG ? 平面 PAD . 又 EF ? BG , 所以 EF ? 平面 PAD , 又 EF ? 平面 PAE ,所以平面 PAE ? 平面 PAD . …………………………….8 分 …………………………….9 分

…………………………….10 分

法二:因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB =60? ,所以 ?ABD 为等边三角形. 因为 G 为 AD 中点,所以 BG ? AD , …………………………….6 分

又因为 PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PAD , 所以平面 PAD ? 平面 ABCD , …………………………….7 分 又平面 PAD ? 平面ABCD ? AD , BG ? 平面 ABCD , 所以 BG ? 平面 PAD . …………………………….9 分 ………………………….8 分

又 EF ? BG , 所以 EF ? 平面 PAD , 又 EF ? 平面 PAE ,所以平面 PAE ? 平面 PAD . (Ⅲ)因为 S?PAD ? ………………………….10 分

1 PD ? AD ? 2 , 2

…………………………….12 分

EF ? BG ? 3 ,

1 2 3 . 所以 VP ? ADE ? S ?PAD ? EF ? 3 3

…………………………….14 分

(2016 东城期末)(18)(本小题 13 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, AE ? DE , CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE ,

CD ? 3 AB .
(Ⅰ)求 证 : 平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅱ)在线段 DE 上是否存在一点 F ,使 AF ? 平面 BCE ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.

EF ED

证明:(Ⅰ)因为 CD ? 平面 ADE , AE ? 平 面 ADE ,

所以 CD ? AE . 又因为 AE ? DE , CD ? DE ? D , 所 以 AE ? 平 面 CDE . 又因为 AE ? 平面 ACE , 所 以 平 面

ACE

?





CDE .

………………………………7 分 (Ⅱ)在线段 DE 上存在一点 F ,且

EF 1 ? ,使 AF ? 平面 BCE . ED 3

设 F 为线段 DE 上一点, 且

EF 1 ? . ED 3 1 CD . 3
B M A

C

过点 F 作 FM ? CD 交 CE 于 M ,则 FM ? 因为 CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE , 所以 CD ? AB . 又 FM ? CD , 所 以 FM ? AB . 因 为 CD ? 3 AB , 所以 FM ? AB . 所以四边形 ABMF 是平行四边形. 所以 AF ? BM .

D F EF

又因为 AF ? 平面 BCE , BM ? 平面 BCE , 所 以

AF

?





BCE .

………………………………13 分

(2016 朝阳期末)18.(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形. 点 E 是棱 PC 的中点, 平面 ABE 与 棱 PD 交于点 F . (Ⅰ)求证: AB ∥ EF ; (Ⅱ)若 PA ? AD ,且平面 PAD ? 平

P F D A E C B

面 ABCD ,试证明 AF ? 平面 PCD ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,线段 PB 上是否存在点

M ,使得 EM ? 平面 PCD ?(直接给出结论,不
需要说明理由) (Ⅰ)证明:因为底面 ABCD 是正方形, 所以 AB ∥ CD . 又因为 AB ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AB ∥平面 PCD . 又因为 A, B, E, F 四点共面,且平面 ABEF ? 平面 PCD ? EF , 所以 AB ∥ EF .……………………5 分 (Ⅱ)在正方形 ABCD 中, CD ? AD . 又因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 所以 CD ? 平面 PAD . 又 AF ? 平面 PAD 所以 CD ? AF . 由(Ⅰ)可知 AB ∥ EF , 又因为 AB ∥ CD ,所以 CD ∥ EF .由点 E 是棱 PC 中点, 所以点 F 是棱 PD 中点. 在△ PAD 中,因为 PA ? AD ,所以 AF ? PD . 又因为 PD ? CD ? D ,所以 AF ? 平面 PCD .…………………………………11 分 (Ⅲ)不存在. …………………………………………………………14 分

P F D C A B E

(2016 丰台期末)17.(本小题 14 分)

如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 4 的菱形,
PD ? PB ? 4 , ?BAD ? 600 , E 为 PA 中点.

P

(Ⅰ)求证: PC// 平面 EBD ; (Ⅱ)求证:平面 EBD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)若 PA ? PC ,求三棱锥 C ? ABE 的体积.
A

E D C

B

解(Ⅰ)设 AC ? BD ? O ,连结 EO , ∵ E 为 PA 中点, O 为 AC 中点, ∴ EO ∥ PC . 又∵ EO ? 平面 EBD ,
PC ? 平面 EBD ,

∴ PC ∥平面 EBD . (Ⅱ)连结 PO , ∵ PD ? PB , O 为 BD 中点, ∴ PO ? BD . 又∵底面 ABCD 为菱形, ∴ AC ? BD . ∵ PO ? AC ? O , ∴ BD ? 平面 PAC .

…………5 分
P

E D O A C

又∵ BD ? 平面 EBD , ∴平面 EBD ? 平面 PAC .……………10 分 (Ⅲ) VC ? ABE ? VE ? ABC ………12 分
1 1 PO ? ? ? AC ? OB ? 3 2 2 ? 1 ? 4 3 ? 2 ? 3 ? 4 . ……………14 分 6

B

(2016 石景山期末)18.(本小题共 14 分)
如图,已知三棱柱 ABC ?

A1B1C1 中, AA1 ⊥底面 ABC , AC ? BC ? 2 , AA 1 ? 4,

AB ? 2 2 , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点.
(Ⅰ)求证: CN ⊥平面 ABB 1A 1; (Ⅱ)求证: CN ∥平面 AMB 1; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积.

解:(Ⅰ)证明:因为三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

AA1 ? 底面 ABC ,
又因为 CN ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? CN .
因为 AC ? BC ? 2 , N 是 AB 中点, 所以 CN ? AB . 因为 AA 1 ? AB ? ………3 分

………1 分

A ,………4 分
………5 分

所以 CN ? 平面 ABB1 A 1.

(Ⅱ)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG ,因为 N , G 分别是棱

AB , AB1 中点,所以 NG ∥ BB1 , NG ?
又因为 CM ∥ BB1 , CM ?

1 BB1 . 2

………6 分

1 BB1 , 2

所以 CM ∥ NG , CM = NG .所以四边形 CNGM 是平行四边形. 所以 CN ∥ MG . 因为 CN ? 平面 AMB1 , MG ? 平面 AMB1 ,………9 分 所以 CN ∥平面 AMB1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知 MG ? 平面 AB1 N . 所以 VB1 ? AMN ? VM ? AB1N ? ………10 分 ………8 分

1 1 4 ? ? 2 ? 4 ? 2 ? ………14 分 3 2 3

(2016 昌平期末) (18) (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 与 交于点 O. 平面 AB1D ; 平面 AB1C ; 上是否存在点 E ,使得 BC ? AE ?请说明理由. . 中, 中, , , 为 中点.

A1

B1 O

C1

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)在线段 (Ⅰ)证明: 连结

A B D

C

在直三棱柱 因为 所以 四边形 所以 因为 所以 所以 因为 平面 所以 (Ⅱ)在直三棱柱 所以 所以 在正方形 所以 (Ⅲ) 存在 取 中点 ,连结 , . 平面 中, . 平面 , , 平面 . 中, 平面 , 为 为 为 中点. 中点, ,

A1

B1 O E

C1

为正方形,

A D B
的中位线,

C

……………………4 分 , , ,

……………………9 分

所以 所以 因为 所以 因为 所以 所以 所以 当

. . , . 平面 . 为

为 , . 中点时,

中点,

.

………………14 分

(2016 西城一模)17.(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,BB1 ? 底面 ABCD ,AD //BC ,?BAD ? 90? ,AC ? BD . (Ⅰ)求证: B1C // 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)求证: AC ? B1D ;

(Ⅲ)若 AD ? 2 AA1 ,判断直线 B1D 与平面 ACD1 是否垂直?并说明理由. A1 C1 A BC (Ⅰ)证明:因为 AD //BC , BC ? 平面 ADD1 A1 , AD ? 平面 ADD1 A1 , 所以 BC // 平面 ADD1 A1 . ………… 2 分 D D1

B1

因为 CC1 //DD1 , CC1 ? 平面 ADD1 A1 , DD1 ? 平面 ADD1 A1 , 所以 CC1 // 平面 ADD1 A1 . 又因为 BC ? CC1 ? C , 所以平面 BCC1 B1 // 平面 ADD1 A1 . ………… 3 分 又因为 B1C ? 平面 BCC1 B1 , 所以 B1C // 平面 ADD1 A1 . 分 BC ……………… 4 B1 A A1 C1 D D1

(Ⅱ)证明:因为 BB1 ? 底面 ABCD , AC ? 底面 ABCD , 所以 BB1 ? AC . 分 又因为 AC ? BD , BB1 ? BD ? B , 所以 AC ? 平 面 BB1 D . 分 又因为 B1D ? 底面 BB1 D , 所以 AC ? B1D . 分 (Ⅲ)结论:直线 B1D 与平面 ACD1 不垂直. 分 证明:假设 B1D ? 平面 ACD1 , 由 AD1 ? 平面 ACD1 ,得 B1D ? AD1 . 分
? 由棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BB 1 ? 底面 ABCD , ?BAD ? 90

……………… 5

……………… 7

……………… 9

……………… 10

……………… 11

可得 A1B1 ? AA1 , A1B1 ? A1D1 , 又因为 AA1 ? A1D1 ? A1 , 所以 A1B1 ? 平面 AA1D1D , 所以 A1B1 ? AD1 . 分 又因为 A 1B 1?B 1D ? B 1, 所以 AD1 ? 平面 A1B1D , 所以 AD1 ? A1D . 分 ……………… 13 ……………… 12

这与四边形 AA1D1D 为矩形,且 AD=2AA1 矛盾, 故直线 B1D 与平面 ACD1 不垂直. 分 (2016海淀一模)17.(本小题满分14 分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点M ,N 分别为线段PB,PC 上的点,MN⊥PB. (Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PAB ; (Ⅱ)求证:当点M 不与点P ,B 重合时,M N ∥平面ABCD; (Ⅲ)当AB=3,PA=4时,求点A到直线MN距离的最小值。 ……………… 14

解:(Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC . 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC . 又 AB ? PA ? A , AB , PA ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PAB .

(Ⅱ)证明: 由(Ⅰ)知,
BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB ,所以 BC ? PB .

在 ?PBC 中, BC ? PB , MN ? PB , 所以 MN / / BC , 又 BC ? 平面 ABCD , MN ? 平面 ABCD , 所以 MN //平面 ABCD . (Ⅲ)解:因为 MN / / BC , 所以 MN ? 平面 PAB , 而 AM ? 平面 PAB ,所以 MN ? AM , 所以 AM 的长就是点 A 到 MN 的距离, 而点 M 在线段 PB 上

所以 A 到直线 MN 距离的最小值就是 A 到线段 PB 的距离, 在 Rt ?PAB 中, AB ? 3, PA ? 4, 所以 A 到直线 MN 的最小值为

12 . 5

(2016 东城一模)(17)(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形,点 O 是 对角线 AC 与 BD 的交点,AB ? 2 ,?BAD ? 60? ,M 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: OM ∥平面 PAB ; (Ⅱ)平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)当三棱锥 C ? PBD 的体积等于

3 时,求 PA 的长. 2

证明:(Ⅰ)因为在△ PBD 中, O , M 分别是 BD , PD 的中点, 所以 OM ∥ PB . 又 OM ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所 以

OM

∥ ……………………5 分





PAB .
(Ⅱ)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 BD ? AC .

因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD .又 AC ? PA ? A , 所以 BD ? 平面 PAC . 又 BD ? 平面 PBD , 所 以 平 面

PBD ?





PAC .

……………………10 分
?

(Ⅲ)因为底面 ABCD 是菱形,且 AB ? 2 , ?BAD ? 60 , 所以 S?BCD ? 3 . 又 VC ? PBD ? VP? BCD ,三棱锥 P ? BCD 的高为 PA ,

所以 ? 3 ? PA ? 解

1 3

3 , 2
得 ……………………14 分

PA ?

3 . 2

(2016 朝阳一模)18.(本小题共 14 分)

?BAC ? 90? ,AB ? AC ? 2 , 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA1 ? 底面 ABC ,

AA1 ? 3 . M , N 分别为 BC 和 CC1 的中点, P 为侧棱 BB1 上的动点.
(Ⅰ)求证:平面 APM ? 平面 BB1C1C ; C1 (Ⅱ)若 P 为线段 BB1 的中点,求证: A1 N // 平面 APM ; (Ⅲ)试判断直线 BC1 与平面 APM 是否能够垂直. 若能垂直,求 PB 的值;若不能垂直,请说明理由. C 证明: (Ⅰ)由已知, M 为 BC 中点,且 AB ? AC ,所以 AM ? BC . 又因为 BB1 // AA 1 ? 底面 ABC ,所以 BB1 ? 底面 ABC . 1 ,且 AA 因为 AM ? 底面 ABC ,所以 BB1 又 BB1 ? BC ? B , 所以 AM ? 平面 BB1C1C . 又因为 AM ? 平面 APM , 所以平面 APM ? 平面 BB1C1C . (Ⅱ) 取 C1B1 中点 D ,连结 A1D , DN , DM , B1C . 由于 D , M 分别为 C1B1 , CB 的中点, ……………………5 分 N A M B A1 B1 P

? AM ,

A1 C1 D

B1 P

DM = A1 A . 所以 DM // A 1 A ,且

N A C M

B

// AM . 则四边形 A 1 AMD 为平行四边形,所以 A 1D
又 A1D ? 平面 APM , AM ? 平面 APM , 所以 A1D // 平面 APM . 由于 D , N 分别为 C1B1 , C1C 的中点, 所以 DN // B1C . 又 P , M 分别为 B1B , CB 的中点, 所以 MP // B1C . 则 DN // MP . 又 DN ? 平面 APM , MP ? 平面 APM , 所以 DN // 平面 APM .

// 平面 APM . 由于 A1D ? DN =D ,所以平面 A 1 DN
由于 A1 N ? 平面 A 1 DN , 所以 A1 N // 平面 APM . (III)假设 BC1 与平面 APM 垂直, 由 PM ? 平面 APM , 则 BC1 ? PM . 设 PB ? x , x ?[0, ……………10 分

3] .
? ?B1C1B ,
PB C1 B1 ? . MB BB1

当 BC1 ? PM 时, ?BPM

所以 Rt?PBM ∽ Rt??B1C1B ,所以

由已知 MB ? 2, C1B1 ? 2 2, BB1 ? 3 , 所以

x 2 2 4 3 ? ,得 x ? . 3 2 3
4 3 ? [0, 3] , 3

由于 x ?

因此直线 BC1 与平面 APM 不能垂直. …………………………………………14 分 (2016 丰台一模)17. (本小题共 14 分) 已知在△ABC 中,∠B=90o,D,E 分别为边 BC,AC 的中点,将△CDE 沿 DE 翻折后,使之成为四棱锥 C '? ABDE (如图). (Ⅰ)求证:DE⊥平面 BC ' D ; (Ⅱ)设平面 C ' DE ? 平面 ABC ' ? l ,求证:AB∥l; (Ⅲ) 若 C ' D ? BD ,AB ? 2 ,BD ? 3 , F 为棱 BC ' 上一点, 设 当 ? 为何值时,三棱锥 C '? ADF 的体积是 1?
D F
E

C'

A

BF ??, FC '

B

A E C D B

证明:(Ⅰ)∵∠B=90 ,D,E 分别为 BC,AC 的中点 ∴DE∥AB……………1 分 ∴ C ' D ? DE , BD ? DE ……………3 分 又∵ C ' D ? BD ? D ……………4 分 ∴DE⊥平面 BC ' D ……………5 分
C'

o

A E C D B
D F
E

A

B

(Ⅱ)∵DE∥AB, DE ? 面 C ' DE , AB ? 面 C ' DE , ∴AB∥面 C ' DE , ……………7 分

又∵AB ? 面 ABC ' ,面 ABC ' ? 面 C ' DE ? l ……………9 分 ∴ AB∥ l ……………10 分 (Ⅲ)∵ C ' D ? BD , C ' D ? DE , ED ? BD ? D ,

∴ C ' D ⊥平面 BDE. ∵

1 S?C ' DF C ' F 1 S ? ? ∴ S?C ' DF ? ……………11 分 ? ? 1 ?BC ' D S?BDF FB ?

又因为 BD=3,AB=2, VC '? ADF ? 1 , ∴ VC ' ? ADF ? VA?C ' DF ?

1 1 1 1 VA?C ' DB ? VC '? ADB ? C ' DS?ADB 1? ? 1? ? 1? ? 3

?

3 ? 1 ……………13 分 1? ?
……………14 分

解得 ? ? 2 .

(2016 石景山一模)18.(本小题共 14 分)

BD ? BC , BD ? AC ,点 M 如图,在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
是棱 BB1 上一点. (Ⅰ)求证: B1D1 ∥平面 A 1BD ; (Ⅱ)求证: MD ? AC ; (Ⅲ)试确定点 M 的位置,使得 平面 DMC1 ⊥平面 CC1D1D . 解:(Ⅰ)证明:由直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , 得 BB1 ∥ DD1 , BB1 ? DD1 , ∴ BB1D1D 是平行四边形,∴ B1D1 ∥ BD ..……………2 分 ∵ BD ? 平面 A 1BD , B1 D1 ? 平面 A 1BD , ∴ B1D1 ∥平面 A 1BD ..……………4 分 (Ⅱ)证明:∵ BB1 ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,∴ BB1 ? AC . 又∵ BD ? AC ,且 BD ? BB1 ? B , ∴ AC ? 平面 BB1D1D ..……………7 分 ∵ MD ? 平面 BB1D1D ,∴ MD ? AC ..……………9 分 (Ⅲ)当点 M 为棱 BB1 的中点时,平面 DMC1 ? 平面 CC1D1D .……………10 分

证明如下: 取 DC 的中点 N , D1C1 的中点 N1 ,连接 NN1 交 DC1 于 O ,连接 OM , 如图所示. ∵ N 是 DC 的中点, BD ? BC , ∴ BN ? DC . 又∵ DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 平面 ABCD ⊥平面 DCC1D1 , ∴ BN ? 平面 DCC1D1 ..……………12 分 由题意可得 O 是 NN1 的中点, ∴ BM ∥ ON 且 BM ? ON , 即四边形 BMON 是平行四边形. ∴ BN ∥ OM . ∴ OM ? 平面 DCC1D1 . ∵ OM ? 平面 DMC1 ,∴平面 DMC1 ⊥平面 CC1D1D .……………14 分

(2016 顺义一模)18.(本小题满分 13 分) 如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,

? ACD 是等边三角形, AD ? DE ? 2AB ? 2 ,

F , G 分别为 AD, DC 的中点.
(Ⅰ)求证: CF ? 平面 ABED ; (Ⅱ)求四棱锥 C ? ABED 的体积; (Ⅲ)判断直线 AG 与平面 BCE 的位置关系,并加以证明.

解:(Ⅰ)? F 为等腰 ? ACD 的边 AD 的中点,? CF ? AD

? AB ? 平面 ACD , AB ? 平面 ABED

? 平面 ACD ? 平面 ABED ,且交线为 AD .
由 CF ? 平面 ACD , CF ? AD ,? CF ? 平面 ABED (Ⅱ)? S? ABED ? 【4 分】

1 ? (2 ? 1) ? 2 ? 3 , CF ? 3 2

1 ? VC ? ABEF ? S ABEF ? CF ? 3 3
(Ⅲ)结论:直线 AG ∥平面 BCE . 证明: 取 CE 的中点 H ,连结 GH , BH ,

【8 分】

1 ? G 是 CD 的中点, ? GH ∥ DE ,且 GH = DE 2
由已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,

? GH ∥ AB ,且 GH = AB ? 1,? 四边形 ABHG 为平行四边形,【11 分】 ? AG ∥ BH ,又 AG ? 平面 BCE , BH ? 平面 BCE ? AG ∥平面 BCE .
【13 分】

(2016 房山一模)(18)(本小题 14 分) 在三棱锥 P - ABC 中,平面 PAC ^ 平面 ABC , PA ^ PC , 中点, M 为 PD 的中点, N 在棱 BC 上. (Ⅰ)当 N 为 BC 的中点时,证明: DN ∥平面 PAC ; (Ⅱ)求证: PA ^ 平面 PBC ; (Ⅲ)是否存在点 N 使得 MN ∥平面 PAC ?若存在,求出

AC ^ BC , D 为 AB 的

CN 的值,若不存在,说明理由. CB
P M C D N B

A

证明: (Ⅰ)? N 为BC中点, D为AB中点 ? DN / / AC ……1 分

? DN ? 平面PAC, AC ? 平面PAC
? DN / / 平面PAC ……………3 分
(Ⅱ)方法一:? 平面PAC ? 平面ABC
A

P M C D N B

平面PAC ? 平面ABC ? AC

CB ? AC
CB ? 平面ABC

?CB ? 平面PAC ……………5 分 ? PA ? 平面PAC

? CB ? PA ……………6 分 ? PA ? PC CB ? PC =C

CB, PC ? 平面PBC
? PA ? 平面PBC ……………8 分
方法二:? 平面PAC ? 平面ABC

平面PAC ? 平面ABC ? AC

CB ? AC
CB ? 平面ABC ?CB ? 平面PAC ? CB ? 平面PBC ? 平面PAC ? 平面PBC ? 平面PAC ? 平面PBC ? PC

PA ? PC
PA ? 平面PAC ? PA ? 平面PBC

(Ⅲ)存在点 N ,当

CN 1 ? 时, MN ∥平面 PAC .……………9 分 CB 4

取 AD 中点 E ,连结 ME , NE

? M 为PD中点

? ME / / PA ………………10
? D为AB中点 , E为AD中点
A

P M C N B D E

?

AE 1 ? AB 4 CN 1 ? CB 4

又?

? EN / / AC ………………11 ? ME ? NE ? E

ME, EN ? 平面MEN PA, AC ? 平面PAC
?平面MEN / / 平面PAC ………………13 ? MN ? 平面MEN
\ MN ∥平面 PAC 因此存在点 N 使得 MN ∥平面 PAC .………………14 分

(2016 西城二模)17.(本小题满分 14 分) 如图,在周长为 8 的矩形 ABCD 中, E , F 分别为 BC , DA 的中点. 将矩形 ABCD 沿着 线段 EF 折起,使得 ?DFA ? 60 . 设 G 为 AF 上一点,且满足 CF // 平面 BDG .
?

(Ⅰ)求证: EF ? DG ; (Ⅱ)求证: G 为线段 AF 的中点; (Ⅲ)求线段 CG 长度的最小值. D C F C D C F G A B A B C E

E

?

(Ⅰ)证明:因为在折起前的矩形 ABCD 中, E , F 分别为 BC , DA 的中点,

所以 EF ? FD , EF ? FA , 又因为 FD ? FA ? F , 所以 EF ? 平面 DFA .………………2 分 又因为 DG ? 平面 DFA , 所以 EF ? DG . 分 (Ⅱ)证明:因为在折起前的矩形 ABCD 中, E , F 分别为 BC , DA 的中点, 所以在立体图中, AB //EF //CD . 即在立体图中,四边形 ABCD 为平行四边形. 连接 AC ,设 AC ? BD ? O ,则 AO ? CO .………………6 分 又因为 CF // 平面 BDG , CF ? 平面 ACF ,平面 ACF ? 平面 BDG ? OG , 所以 CF //OG , 所以在 ?ACF 中, OG 为中位线, 即 G 为线段 AF 的中点.………………9 分 (Ⅲ)解:因为 G 为线段 AF 的中点, ?DFA ? 60? 所以 ?DFA 为等边三角形,且 DG ? FA , 又因为 EF ? DG , EF ? FA ? F , 所以 DG ? 平面 ABEF . 设 BE 的中点为 H ,连接 GH , CH , 易得四边形 DGHC 为平行四边形, 所以 CH ? 平面 ABEF , 所以 CG ? GH ? CH .
2 2 2

………………4

D C F G A O

C C E H B

………………

11 分 设 DF ? x ,由题意得 CH ? DG ?

3 x , GH ? CD ? 4 ? 2 x , 2
………………

所以 CG ? (4 ? 2 x) ? (
2 2

3 2 19 2 x) ? x ? 16 x ? 16 , 2 4

13 分

所以当 x ?

32 48 2 时, CG min ? . 19 19

所以线段 CG 长度的最小值为 分

4 57 . 19

………………14

(2016 海淀二模)17.(本小题满分 14 分) 已知长方形 ABCD 中, AD ? 2,AB ? 2 , 将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?PDE , E 为 AB 中点, 所得四棱锥 P ? BCDE 如图所示. (Ⅰ)若点 M 为 PC 中点,求证: BM ? 平面 PDE ; (Ⅱ)当平面 PDE ? 平面 BCDE 时,求四棱锥 P ? BCDE 的体积; (Ⅲ)求证: DE ? PC .
D C
P D C E B

A

E

B

解:(Ⅰ)取 DP 中点 F ,连接 EF , FM 因为在 ?PDC 中,点 F , M 分别是所在边的中点,所以 FM ? 又 EB ?

1 DC . …………………1 分 2
…………………2 分 …………………3 分 …………………4 分 …………………5

1 DC ,所以 FM ? EB , 2

所以 FEBM 是平行四边形,所以 BM ? EF , 又 EF ? 平面 PDE ,BM ? 平面 PDE , 所以 BM ? 平面 PDE . 分

方法二: 取 DC 中点 N ,连接 MN,BN 在 ?PDC 中,点 N , M 分别是所在边的中点,所以 MN ? PD . 又 DN ? BE ,所以 DEBN 是平行四边形, 所以 DE ? BN …………………3 分 …………………1 分 …………………2 分

因为 NM ? NB ? N , DP ? DE ? D, 所以平面 BMN ? 平面 EDP …………………4 分 因为 BM ? 平面 BMN , 所以 BM ? 平面 PDE . 分 …………………5

(Ⅱ)因为平面 PDE ? 平面 EBCD , 在 ?PDE 中,作 PO ? DE 于 O , 因为平面 PDE ? 平面 EBCD ? DE , 所以 PO ? 平面 EBCD . 在 ?PDE 中,计算可得 PO ? …………………7 分

6 …………………8 分 3

1 1 1 6 3 ? 所以 VP ? BCDE ? Sh ? ? (1 ? 2) ? 2 ? . 3 3 2 3 3
(Ⅲ)在矩形 ABCD 中,连接 AC 交 DE 于 I , 因为 tan ?DEA ? 2, tan ?CAB ? 所以 DE ? AC ,

…………………10 分

2 π ,所以 ?DEA ? ?CAB ? , 2 2
…………………11 分

所以在四棱锥 P ? EBCD 中, PI ? DE , CI ? DE , …………………12 分 又 PI ? CI ? I ,所以 DE ? 平面 POC . 因为 PC ? 平面 POC ,所以 DE ? PC . …………………13 分 …………………14 分

方法二: 由 (Ⅱ), 连接 OC . 在 ?DOC 中, cos ?ODC ?

3 2 3 , DC ? 2 , , DO ? 3 3 2 6 3

OC 2 ? DC 2 ? DO2 ? 2DC ? DO cos ?CDO ,得到 OC ?

2 2 2 所以 DC ? DO ? OC ,所以 DO ? OC …………………11 分

又 PO ? OC ? O , 所以 DE ? 平面 POC . 因为 PC ? 平面 POC ,所以 DE ? PC .

…………………12 分 …………………13 分 …………………14 分

(2016 东城二模)(17)(本小题共 14 分)
? 在梯形 ABCD 中, AB ? CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60 .平面 ACEF ⊥

平面 ABCD ,四边形 ACEF 是矩形, AF ? a ,点 M 在线段 EF 上.

(Ⅰ)求证: BC ? AM ; (Ⅱ)试问当 AM 为何值时, AM ? 平面 BDE ?证明你的结论. (Ⅲ)求三棱锥 A ? BFD 的体积. 证明:(Ⅰ)由题意知,梯形 ABCD 为等腰梯形,且 AB ? 2a , AC ? 3a ,
2 2 2 由 AB ? BC ? AC ,可知 AC ? BC .

又平面 ACEF ? 平面 ABCD , 且平面 ACEF ? 平面 ABCD ? AC ,BC ? 平 面 ABCD , 所以 BC ? 平面 ACEF . 又 AM ? 平面 ACEF , 所 以 ……………………5 分 (Ⅱ)当 AM ?

BC ?

AM .

2 3a 时, AM ? 平面 BDE . 3

证明如下:

当 AM ?

2 2 3 3a ,可得 FM ? 3a a ,故 EM ? 3 3 3

在梯形 ABCD 中, 设 AC ? BD ? N , 连结 EN , 由已知可得 CN : NA ? 1: 2 , 所以 AN ?

2 3a . 3

所以 EM ? AN . 又 EM ? AN , 所以四边形 ANEM 为平行四边形. 所以 AM ? NE . 又 NE ? 平面 BDE , AM ? 平面 BDE , 所以 AM ? 平面 BDE . 当 AM ?

2 3a 时, AM ? 平面 BDE .………………… 11 分 3

(Ⅲ)由已知可得△ ABD 的面积 S ?

3 2 a , 2

故 VA? BFD ? VF ? ABD ?

1 1 3 2 3 3 ? AF ? S△ABD ? ? a ? a ? a . … 14 分 3 3 2 6

(2016 朝阳二模)18. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 A ? BCDE 中, 底面 BCDE 为菱形, 侧面 ABE 为等边三角形, 且侧面 ABE ? 底面 BCDE , O, F 分别为 BE, DE 的中点. (Ⅰ)求证: AO ? CD ; (Ⅱ)求证:平面 AOF ? 平面 ACE ; (Ⅲ)侧棱 AC 上是否存在点 P ,使得 BP // 平面 AOF ? 若存在,求出 O B C E F D A

AP 的值;若不存在,请说明理由. PC

解:(Ⅰ)因为 ?ABE 为等边三角形,

O 为 BE 的中点,
所以 AO ? BE . 又因为平面 ABE ? 平面 BCDE ,

平面 ABE ? 平面 BCDE ? BE ,

AO ? 平面 ABE ,
所以 AO ? 平面 BCDE . 又因为 CD ? 平面 BCDE , 所以 AO ? CD .……………………………………………………………4 分 (Ⅱ)连结 BD ,因为四边形 BCDE 为菱形, 所以 CE ? BD . 因为 O, F 分别为 BE, DE 的中点, 所以 OF // BD ,所以 CE ? OF . 由(Ⅰ)可知, AO ? 平面 BCDE . 因为 CE ? 平面 BCDE ,所以 AO ? CE . 因为 AO ? OF ? O ,所以 CE ? 平面 AOF . 又因为 CE ? 平面 ACE , 所以平面 AOF ? 平面 ACE .…………………………………………………9 分 (Ⅲ)当点 P 为 AC 上的三等分点(靠近 A 点)时, BP // 平面 AOF . 证明如下: 设 CE 与 BD, OF 的交点分别为 M , N ,连结 AN , PM . 因为四边形 BCDE 为菱形, O, F 分别为 BE, DE 的中点, E 所以 P F N M C D A

NM 1 ? . MC 2

O B

设 P 为 AC 上靠近 A 点的三等分点, 则

AP NM 1 ? ? ,所以 PM // AN . PC MC 2

因为 AN ? 平面 AOF , PM ? 平面 AOF ,所以 PM // 平面 AOF . 由于 BD // OF , OF ? 平面 AOF , BD ? 平面 AOF , 所以 BD // 平面 AOF ,即 BM // 平面 AOF . 因为 BM ? PM ? M , 所以平面 BMP // 平面 AOF .

因为 BP ? 平面 BMP ,所以 BP // 平面 AOF . 可见侧棱 AC 上存在点 P ,使得 BP // 平面 AOF ,且

AP 1 ? . PC 2

…………………………………………………………………………14 分 (2016 丰台二模)17.(本小题共 14 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC,AA1=A1C=AC=2,BC=1,且 AC⊥BC,点 D,E,F 分别为 AC,AB,A1C1 的中点. (Ⅰ)求证:A1D⊥平面 ABC; (Ⅱ)求证:EF∥平面 BB1C1C; (Ⅲ)写出四棱锥 A1-BB1C1C 的体积. (只写出结论,不需要说明理由) 证明: (Ⅰ)因为在△AA1C 中,AA1=A1C,D 为 AC 中点, 所以 A1D⊥AC;--------------------2 分 因为侧面 AA1C1C ? 底面 ABC,--------------------3 分 侧面 AA1C1C∩底面 ABC= AC,--------------------4 分 所以 A1D⊥平面 ABC;--------------------5 分 (Ⅱ)设 B1C1 的中点为 G,连结 FG,GB, --------------------6 分
A D E C B A1 F C1 B1

1 1 在四边形 FGBE 中 FG∥A1B1,且 FG=2A1B1,又因为 EB∥A1B1,且 EB=2A1B1, 所以 FG 与 EB 平行且相等,所以四边形 FGBE 为平行四边形; 所以 EF∥BG, 又因为 BG 在平面 BB1C1C 内,EF 不在平面 BB1C1C 内, 所以 EF∥平面 BB1C1C.--------------------11 分 (Ⅲ)四棱锥 A1-BB1C1C 的体积为 --------------------8 分 --------------------10 分

2 3 3 .--------------------14 分

P
(2016 昌平二模)(18) (本小题满分 14 分)
如图, P 是菱形 ABCD 所在平面外一点, 角形,AB , ?PCD 是 为线段 DM 上 等边三

? 2,

, M 是 PC 的中点, 点

M G D H O B C

A

一点(端点除外),平面 交于点 H . (I)求证: (II)求证:平面 (III)求几何体 ; 平面





的体积.

(I)

证明:连接 MO .

在菱形 中, O 为 AC 中点, 且点 M 为 PC 中点, 所以 MO / / PA ,且 MO ?

1 PA ? 2 . 2

又 MO ? 平面BDM , PA ? 平面BDM , 所以 PA / / 平面BDM .……………….2 分
由已知,平面 与 交于点 H ,

所以 H ? 平面APG, 从而 HG ? 平面APGH , 又 HG ? 平面BDM , 所以 平面BDM ? 平面APGH ? GH , 所以 PA / / GH .……………….4 分 (II) 证明:在等边三角形 ?PCD 中, , M 是 PC 的中点. 所以 . , AB ? 2 ,所以

在菱形 ABCD 中, 又

2 2 2 ,所以 DO ? MO ? DM ,所以 BD ? MO. ……….6 分

在菱形 ABCD 中, BD ? AC , 又 AC ? MO ? O , 所以 BD ? 平面PAC . ………….8 分

又 BD ? 平面BDM , 所以 平面PAC ? 平面BDM . (III) ………………9 分

2 2 2 在 ?PAC 中, PA ? 2 2, PC ? 2, AC ? 2 3, 所以 PA ? PC ? AC ,

所以

,即

.

又 平面PAC ? 平面BDM .

平面PAC ? 平面BDM ? MO ,
所以 PC ? 平面BDM . 所以 VM ? BDC ? VC ? BDM ?

………….12 分

1 2 S?BDM ? CM ? . 3 3

……………….14 分

(2016 房山二模)(18)(本小题 14 分) 如图, 等腰直角三角形 ABE 与正方形 ABCD 所在的平面互相垂直, AE ? BE ,AB ? 2 , FC ? 平面 ABCD ,且 FC ? 1 . F (Ⅰ)求证: AB ? 平面BCF ; E (Ⅱ)求证: EF∥平面 ABCD ; (Ⅲ)求点 C 到平面 BDF 的距离.
B A D C

(Ⅰ)因为 FC ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD 所以 FC ? AB ……………2 分 因为 ABCD 为正方形,所以 AB ? BC 所以 AB ? 平面 BCF ………………………4 分

F E B O A D

C

(Ⅱ)设 AB 中点为 O ,连结 EO, OC 因为 ABE 为斜边长为 2 等腰直角三角形 所以 EO ? AB 且 EO ? 1 ……………………5 分 因为 平面 ABE ? 平面 ABCD 平面 ABE ? 平面 ABCD ? AB 所以 EO ? 平面 ABCD ……………………6 分 又 FC ? 平面 ABCD 所以 EO ? FC 且 EO ? FC ? 1 ……………………7 分 所以 EOCF 为平行四边形 所以 EF ? OC ……………………8 分 又 EF ? 平面 ABCD , OC ? 平面 ABCD 所以 EF∥平面 ABCD ; ………………………………………9 分

(Ⅲ)在直角三角形 BCF , DCF 中 BC ? DC ? 2, FC ? 1 所以 BF ? DF ? 5 在正方形 ABCD 中 BD ? 2 2

1 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 6 …………………11 分 2 设 点 C 到平面 BDF 的距离 h
所以 S?BDF ? 由 VF ? BCD ? VC ? BDF

1 1 1 ? ? BC ? DC ? FC ? S?BDF h …………………13 分 3 2 3
解得 h ?

6 3
………………………………………14 分


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