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山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题


高三·三部二轮复习质量检测数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目 要求的. 1.设全集 U ? 1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A ? B C. U 2. B. U ? D. U ?

A. ?3

B. 0

C. 1

D. 3

8. k=4 是直线 l1:(k-2)x+ (3-k)y+ 1 = 0 与 l2:2(k-2)x — 2y + 4 = 0 平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?

?2,4? ,则
?B

? A?

设复数 z ? 于( ) A.第一象限

1 (其中 i 是虚数单位),则在复平面内,复数 z 的共轭复数 z 对应的点位 1? i

B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

[来源:学优高考网]

4、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 asinAsinB+bcos2A= 2 a,则 值为 A、1 B、 2 C、 3 D、2 开 始 输入 n

b 的 a

n 5.若直线 l 与幂函数 y ? x 的图象相切于点 A (2,8) ,则直线 l 的方

12.设函数 f

? x ? 的定义域为 D ,如果 ?x ? D,?y ? D ,使

f ? x? ? f ? y ? 2

? C(C

程为 A. 12 x ? y ? 16 ? 0 C. 12 x ? y ? 16 ? 0 B. 4 x ? y ? 0 D. 6 x ? y ? 4 ? 0

i ? 1, s ? 1

为常数 )成立,则称函数 f
x

? x ? 在 D 上的均值为 C . 给出下列四个函数:① y

? x3 ;



否 输出 s 结 束

?1? ② y ? ? ? ;③ y ? ln x ;④ y ? 2 sin x ? 1, 则满足在其定义域上均值为1 的函 ?2?
数的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.定义 n ! ? 1? 2 ? ? ? n .右图是求 10! 的程序框图,则在判断框内 应填的条件是 A. i ? 10 B. i ? 10 C. i ? 11 D. i ? 10

s ? s?i

i ? i ?1

第Ⅱ卷(非选择题:共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.

? x ? 2 y ? 1, ? 7. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大 ? y ? 1 ? 0. ?
值为

(第 6 题图)

(Ⅰ)设函数 g ( x) ? sin( ? x) ? 2cos ?

? 2

???? ? ?? ? ? x ? ,试求 g ( x) 的伴随向量 OM 的模; ?2 ?

(Ⅱ)记 ON ? (1, 3) 的伴随函数为 h( x) ,求使得关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0, 有两个不相等实数解的实数 t 的取值范围. 14. 焦点在 y 轴上, 渐近线方程为 y ? ? 3x 的双曲线的离 心率为 .

????

?
2

] 内恒

1 5 .某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积 等于_______

三、解答题:本大题共6小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答 题卷上相应题目的答题区域内作答. 17. (本小题满分 12 分) 沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收获 时,该果农随机选取果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg) ,获得的所 有数据按照区间 40, 45 ? , 45, 50 ? , 50, 55? , 55, 60 ? 进行分组,得到频率分布直方图如 ? ? ? ? 图 3.已知样本中产量在区间 45, 50? 上的果树株数是产量在区间 50, 60? 上的果树株数的 ? ?
4 倍. 3
频率 组距
a

20. (本小题满分 12 分) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 2 ,a2 ? 8 ,S n ?1 ? 4 S n ?1 ? 5S n n ? 2 ,Tn 是 数列 log 2 an 的前 n 项和. (1)求数列 an 的通项公式;
? T2 ? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

(2)求 Tn ;
? Tn ?

(3)求 ?1 ? 1 ? ?1 ? 1 ? ? ? ? ?1 ? 1 ? 当n ? 100时 的值. ? ? ? ? ??
T3 ?

(1)求 a , b 的值; (2)从样本中产量在区间 50,60 ? 上的果树随机抽取两株, ? 求产量在区间 55,60 ? 上的果树至少有一株被抽中的概率. ?

?

0.06 b 0.02 O 40 45 图3 50 55 60 产量/kg

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3e ? a ( e ? 2.71828 ?是自然对数的底数)的最小值为 3 .
x

?

(Ⅰ)求实数 a 的值;
2 2 (Ⅱ)已知 b ? R 且 x ? 0 ,试解关于 x 的不等式 lnf ( x) ? ln3 ? x ? (2b ?1) x ? 3b ;

18.(本小题满分 12 分)

???? ? 已知 O 为坐标原点,对于函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,称向量 OM ? (a, b) 为函数 f ( x )
???? ? 的伴随向量,同时称函数 f ( x ) 为向量 OM 的伴随函数.

( Ⅲ ) 已 知 m ? Z 且 m ? 1 . 若 存 在 实 数 t ?[ ?1, ??), 使 得 对 任 意 的 x ? [1,m ], 都 有

f ( x ? t ) ? 3ex ,试求 m 的最大值.

[来源:GkStK.Com]

高三·三部二轮复习质量检测数学答案
1.D 2.A 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.D 11.D 12.C 13.68 14.

∴ OM ? (2,1) . 故 OM ?

???? ?

?????????? 4 分 ????????? 5 分

???? ?

22 ? 12 ? 5 .

2 3 3

15.

16. (??, ? ) ? (0, ??)

4 3

(Ⅱ)由已知可得 h( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ∵0 ? x ? 故 h( x) ??1,2? . ∵当
? ? ? x ? ? 0, 6? ? ?

?
3

) ,????????? 7 分

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及 或然与必然的数学思想) (1)解:样本中产量在区间 45, 50 ? 上的果树有 a ? 5 ? 20 ? 100a (株) ,????1 分 ? 样本中产量在区间 ? 50, 60 ? 上的果树有 ? b ? 0.02 ? ? 5 ? 20 ? 100 ? b ? 0.02 ? (株) , ? 依题意,有100a ?

?
2

, ∴

?
3

? x?

?
3

?

??
6



?

????????? 9 分 时,函数 h( x) 单调递增,且 h( x) ? ? 3, 2 ? ; ? ?

当 x ? ? ? , ? ? 时,函数 h( x) 单调递减,且 h( x) ??1,2? .
? ? 6 2? ?

4 4 ? 100 ? b ? 0.02 ? ,即 a ? ? b ? 0.02 ? .①????3 分 3 3

∴ 使 得 关 于 x 的 方 程 h( x)? t? 0 在 [0,
t?? 3, 2. ?

?
2

] 内恒有两个不相等实数解的实数 t 的取值范围为

根据频率分布直方图可知 0.02 ? b ? 0.06 ? a ? 5 ? 1 , 解①②得: a ? 0.08,b ? 0.04 .

?

?

② ????4 分 ?????6 分
[ 源 StK m] 来 :Gk .Co

?

? 12 分

19.(12 分) 解: (Ⅰ)在△ABC 中,AC=4,BC=8, AB=4 5
[来 :Gk Com 源 StK. ]

(2)解:样本中产量在区间 50,55 ? 上的果树有 0.04 ? 5 ? 20 ? 4 株,分别记为 ?

?

A1, A2 , A3 , A4 ,

?????? 7 分

? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,故 AC⊥BC-------2 分
又平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC ? 平面 ABC=AC, ? BC⊥平面 PAC BC ? 平面 PBC, ? 平面 PBC⊥平面 PAC----4 分 (Ⅱ)无论 M 点在 PA 在何处,MC ? 平面 PAC, BC⊥平面 PAC,所以△MBC 总为直角三角形. ----6 分

P
D

产量在区间 55,60 ? 上的果树有 0.02 ? 5 ? 20 ? 2 株,分别记为 B1, B2 . ? 8 分 ? 从这 6 株果树中随机抽取两株共有 15 种情况: A1 , A2 , A1 , A3 , A1 , A4
1 1 1 2 2 3 2 4 2 1 2 2 3 4

?

?

? ?

? ?

?
3 1

C A B

? A , B ? ,? A , B ? ,? A , A ? ,? A , A ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , A ? ,? A , B ? ,

? A , B ? , ? A , B ? ,? A , B ? ,? B , B ? .
3 2 4 1 4 2 1 2

?????10 分

? S△MBC ?

1 BC ? MC ,当 ?MBC 的面积最小时,只需 MC 最短. 2

----8 分

其中产量在 55,60 ? 上的果树至少有一株共有 9 种情况: ? A1 , B1 ? ,? A1 , B2 ? , ?

?

又△PAC 是等边三角形, 所以 M 在 PA 中点时, 最短, MC 此时点 M 到平面 PBC 的距离是点 A 到平面 PBC 的距离的 一半. ----10 分 由(Ⅰ) 平面 PBC⊥平面 PAC;所以过 A 作 PC 的垂线 AD,即为等边三角形 PAC 的高即为 A 到平面 PBC 的距离, AD= 2 3 ,所以点 M 到平面 PBC 的距离是 3 .----12 分
[来 : [ ∴ ﹤ ∴ ] 源高考 试 题 库

? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? , ? A4 , B1 ? ,? A4 , B2 ? , ? B1, B2 ? . ??11 分
2 1 2 2 3 1 3 2

记“从样本中产量在区间 ? 50,60 ? 上的果树随机抽取两株,产量在区间 ? 55,60 ? 上的 ? ? 果树至少有一株被抽中”为事件 M ,则 P ? M ?
9 3 ? ? . 15 5

?????12 分

18.本小题主要考查平面向量和三角函数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思 想、函数与方程思想、数形结合思想以及分类与整合思想等. 解: (Ⅰ)∵ g ( x) ? sin( ? ? x) ? 2 cos ? ? ? x ? ? ? 2 ?2 ?

20. (本小题满分12分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识,考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以 及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:∵当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn , ∴ S n ? 1 ? S n ? 4 S n ? S n ?1 .

? 2sin x ? cos x ,

?????? 2 分

?

?

?????1 分

∴ an ?1 ? 4an . ∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 , ∴ a2 ? 4a1 . ∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 4 (2)
n ?1

?????2 分

∴ f ( x ? t ) ? 3ex ? ex?t ? ex ? t ? 1 ? ln x ? x . ∴原命题等价转化为:存在实数 t ?[?1, ??) ,使得不等式 t ? 1 ? ln x ? x 对任意 x ? [1, m] 恒成立. 令 h( x) ? 1 ? ln x ? x( x ? 0) .

?????3 分
2 n ?1

? ?

? 2

.

?????4 分 ?????5 分 ∵ h ( x) ?
'

解:由(1)得:log2 an ? log2 22n ?1 ? 2n ? 1, ∴ Tn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 an
? 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1?
? n ?1 ? 2n ? 1? 2

1 ? 1 ? 0 ,∴函数 h( x) 在 (0, ??) 为减函数. ????? 11 分 x
????? 12 分

?????6 分 ?????7 分

又∵ x ? [1, m] ,∴ h( x) min ? h(m) ? 1 ? ln m ? m .

∴要使得对 x ? [1, m] , t 值恒存在,只须1 ? ln m ? m ? ?1 .???? 13 分 ∵ h(3) ? ln 3 ? 2 ? ln( ? ) ? ln

? n2 .
(3)解:
? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? T2 ? ? T3 ? Tn ? ? ? ? ? ?

?????8 分

1 3 e e

1 1 4 1 ? ?1 , h(4) ? ln 4 ? 3 ? ln( ? 2 ) ? ln ? ?1 e e e e

且函数 h( x) 在 (0, ??) 为减函数, ?????9 分 ∴满足条件的最大整数 m 的值为 3.?? 14 分 22.(13 分)解: (Ⅰ)? b ? c ? 1 ? a ? b ? c ? 2
2 2 2

? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? 22 ? ? 32 ? n2 ? ? ?

?
?

2 ?1 3 ?1 4 ?1 n ?1 ? ? ??? 2 2 2 2 3 4 n2
2 2 2 2

所以椭圆方程为 ?????10 分 ?????12 分

1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 1? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? n2

(Ⅱ)由已知直线 AB 的斜率存在,设 AB 的方程为: y ? k ( x ? 2) 由?
? y ? k ( x ? 2) 2 ?x 2 ? 2 ? y ?1 ?

x2 ? y 2 ? 1???4 分 2
2 2

101 n ? 1. n ? 100值为 ? 200 2n

得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0
2 2

21.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类 与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)因为 x ? R ,所以 x ? 0 ,故 f ( x) ? 3e ? a ? 3e0 ? a ? 3 ? a ,
x

? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 ,得: k 2 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
x1 ? x2 ?

1 ,即 k ? (? 2 , 2 ) 2 2 2

-------6 分

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

因为函数 f ( x ) 的最小值为 3 ,所以 a ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( x) ? 3e .
x

??? 3 分

(1)若 O 为直角顶点,则 OA ? OB ? 0 ,即 有x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,

??? ??? ? ?

? y1 y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ,所以上式可整理得,
x x

当 x ? 0 时, ln f ( x) ?ln(3e ) ? ln3 ? lne
2

ln3 ? x ? ? xln3 ? ?
2

,? 5 分
2

5 ,满足 8k 2 ? 2 4k 2 2 2 ? ? 0 ,解,得 k ? ? k ? (? , ) -------8 分 2 2 5 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2

故 不 等 式 ln f ( x) ? ln 3 ? x ? (2b ?1) x ? 3b 可 化 为 : ?x ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b , 即

(2)若 A或B 为直角顶点,不妨设以 A 为直角顶点, kOA ? ?
2 1 ? ,解得 ? x ? 2k ?y ? ? x ? 2 ? k k ?1 ? ? ? y ? k ( x ? 2) ? y ? ? 2k ?

1 ,则 A 满足: k
4 2

,代入椭圆方程,整理得, k ? 2k ? 1 ? 0

x 2 ? 2bx ? 3b2 ? 0 ,

????? 6 分

? ?

k 2 ?1

得 ( x ? 3b)( x ? b) ? 0 , 所以,当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? ?3b ; 当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? b . (Ⅲ)∵当 t ?[?1, ??) 且 x ? [1, m] 时, x ? t ? 0 , ????? 8 分

解得, k ? ?

2 ? 1 ,满足 k ? (?

2 2 -------10 分 , ) 2 2

?k ??

5 或k ? ? 5

2 ? 1 时,三角形 OAB 为直角三角形. -------12 分

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