当前位置:首页 >> 数学 >>

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1利用导数研究函数的极值


3.3.2(一)

3.3.2 利用导数研究函数的极值(一)
【学习要求】
本 专 题 栏 目 开 关

1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与导 数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 【学法指导】 函数的极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性 质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”,通过研究 极值初步体会函数的导数的作用.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3.2(一)

1.极值点与极值
本 专 题 栏 目 开 关

(1)极小值点与极小值 如图,函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点 x=a 附近 的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 ,则把点 a 叫做函数 y =f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3.2(一)

(2)极大值点与极大值 如图,函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b
本 专 题 栏 目 开 关

附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点 x=b 的左 侧 f′(x)>0 , 右侧 f′(x)<0 , 则把点 b 叫做函数 y=f(x) 的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极大值点 、 极 小值点 统称为极值点, 极大值 和 极小值 统称为极值.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3.2(一)

2.求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时:
本 专 题 栏 目 开 关

(1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是 极大值 . (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是 极小值 .

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

引言
本 专 题 栏 目 开 关

“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,说的是庐山

的高低起伏,错落有致,在群山中,各个山峰的顶端,虽 然不一定是群山的最高处, 但它却是其附近的最高点.那么 每个山峰附近的走势如何?与导数有什么关系?
提示 在山峰左侧 f′(x)>0,上升趋势;右侧 f′(x)<0,下降 趋势.

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 函数的极值与导数的关系

3.3.2(一)

问题 1 如图观察,函数 y=f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处 的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这 些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的
本 专 题 栏 目 开 关

符号有什么规律?

研一研·问题探究、课堂更高效
答案

3.3.2(一)

以 d、e 两点为例,函数 y=f(x)在点 x=d 处的函数值

f(d)比它在点 x=d 附近其他点的函数值都小,f′(d)=0;
在 x=d 的附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.
本 专 题 栏 目 开 关

类似地, 函数 y=f(x)在点 x=e 的函数值 f(e)比它在 x=e 附近 其他点的函数值都大,f′(e)=0; 在 x=e 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0.

结论: 问题 1 中点 d 叫做函数 y=f(x)的极小值点, f(d)叫做函 数 y=f(x)的极小值;点 e 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(e) 叫做函数 y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值 点,极大值和极小值统称为极值.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

问题 2 函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函
本 专 题 栏 目 开 关

数的极大值和极小值是唯一的吗?
答案 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系,一个函 数的极大值未必大于极小值;
在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

问题 3 若某点处的导数值为零,那么,此点一定是极值点 吗?举例说明.
本 专 题 栏 目 开 关

答案 可导函数的极值点处导数为零,但导数值为零的点不 一定是极值点.可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0 且在 x0 两侧 f′(x)的符号不同. 例如,函数 f(x)= x3 可导,且在 x=0 处满足 f′(0)=0,但由于当 x<0 和 x>0 时均有 f′(x)>0,所以 x=0 不是函数 f(x)=x3 的极值点.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

思考

本 专 题 栏 目 开 关

函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b) 内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有 个极小值点.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

解析

由图可知,在区间(a,x1),(x2,0),(0,x3)内 f′(x)>0;

在区间(x1,x2),(x3,b)内 f′(x)<0.
本 专 题 栏 目 开 关

即 f(x)在(a,x1)内单调递增,在(x1,x2)内单调递减, 在(x2,x3)内单调递增,在(x3,b)内单调递减.

所以,函数 f(x)在开区间(a,b)内只有一个极小值点,极小值 点为 x=x2. 故填 1.
答案 1.

研一研·问题探究、课堂更高效
例 1 求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的极值.
解 f′(x)=3x2-6x-9.
本 专 题 栏 目 开 关

3.3.2(一)

解方程 3x2-6x-9=0,得 x1=-1,x2=3.
当 x 变化时,f′(x),f(x)变化状态如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + ? -1 0 10 (-1,3) - ? 3 0 -22 (3,+∞) + ?

由表可知:当 x=-1 时,f(x)有极大值 f(-1)=10. 当 x=3 时,f(x)有极小值 f(3)=-22.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

小结

求可导函数 f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x);
本 专 题 栏 目 开 关

(2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点, 顺次将函数的定义区间分成若干 个小开区间,并列成表格.检测 f′(x)在方程根左右两侧的值 的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右 不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值.

研一研·问题探究、课堂更高效
3 跟踪训练 1 求函数 f(x)= +3ln x 的极值. x 3 解 函数 f(x)= +3ln x 的定义域为(0,+∞), x 3 3 3?x-1? f′(x)=- 2+ = . x x x2
令 f′(x)=0,得 x=1.
当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化状态如下表: x f′(x) f(x) (0,1) - ? 1 0 3 (1,+∞) + ?

3.3.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

因此当 x=1 时,f(x)有极小值 f(1)=3.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

探究点二 利用函数极值确定参数的值 问题
本 专 题 栏 目 开 关

已知函数的极值,如何确定函数解析式中的参数?

答案 解这类问题,通常是利用函数的导数在极值点处的 取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值. 需注意的是,可导函数在某点处的导数值等于零只是函数 在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值 进行检验,看是否符合函数取得极值的条件.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

例 2 已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 时有极值 0, 求 常数 a,b 的值.
解 因为 f(x)在 x=-1 时有极值 0,
本 专 题 栏 目 开 关

且 f′(x)=3x2+6ax+b,
?f′?-1?=0, ? 所以? ?f?-1?=0, ? ?3-6a+b=0, ? 即? 2 ?-1+3a-b+a =0. ? ?a=1, ? 解之得? ?b=3 ? ?a=2, ? 或? ?b=9. ?

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

当 a=1,b=3 时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,
所以 f(x)在 R 上为增函数,无极值,
故舍去.
本 专 题 栏 目 开 关

当 a=2,b=9 时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 当 x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数; 当 x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数, 所以 f(x)在 x=-1 时取得极小值, 因此 a=2,b=9.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

小结
本 专 题 栏 目 开 关

(1)利用函数的极值确定参数的值, 常根据极值点处导

数为 0 和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条 件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.

研一研·问题探究、课堂更高效
两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值;

3.3.2(一)

跟踪训练 2 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx2+x 的

(2)判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,
本 专 题 栏 目 开 关

并说明理由.
解 (1)∵f(x)=aln x+bx2+x,
a ∴f′(x)= +2bx+1. x

由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,
a ∴a+2b+1=0 且2+4b+1=0, 2 1 解方程组得,a=-3,b=-6.

研一研·问题探究、课堂更高效
2 1 2 (2)由(1)可知 f(x)=- ln x- x +x. 3 6
?x-1??x-2? 2 -1 1 f′(x)=-3x -3x+1=- . 3x
本 专 题 栏 目 开 关

3.3.2(一)

当 x∈(0,1)时,f′(x)<0;
当 x∈(1,2)时,f′(x)>0;
当 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 所以 x=1 是函数 f(x)的极小值点, x=2 是函数 f(x)的极大值点.

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 函数极值的综合应用 例 3 设函数 f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值;

3.3.2(一)

(2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实根,求实数 a
本 专 题 栏 目 开 关

的取值范围.
解 (1)f′(x)=3x2-6, 令 f′(x)=0,
解得 x1=- 2,x2= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0; 当- 2<x< 2时,f′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞);

研一研·问题探究、课堂更高效
单调递减区间为(- 2, 2).
当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2;
当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2.
本 专 题 栏 目 开 关

3.3.2(一)

(2)由(1)的分析知 y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

所以,当 5-4 2<a<5+4 2时,
直线 y=a 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,
本 专 题 栏 目 开 关

即方程 f(x)=a 有三个不同的实根.
小结 用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方 法.它通过函数的变化情况, 运用数形结合思想来确定函数图 象与 x 轴的交点个数,从而判断方程根的个数.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

跟踪训练 3 若函数 f(x)=2x3-6x+k 在 R 上只有一个零点, 求常数 k 的取值范围.
解 f(x)=2x3-6x+k,
本 专 题 栏 目 开 关

则 f′(x)=6x2-6,
令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1, 可知 f(x)在(-1,1)上是减函数, f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数. f(x)的极大值为 f(-1)=4+k, f(x)的极小值为 f(1)=-4+k. 要使函数 f(x)只有一个零点,

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

只需 4+k<0 或-4+k>0(如图所示)

本 专 题 栏 目 开 关



即 k<-4 或 k>4.
∴k 的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.2(一)

1.“函数 y=f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y=f(x)在这 点取得极值”的
本 专 题 栏 目 开 关

( B )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 对于 f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,
不能推出 f(x)在 x=0 处取极值,反之成立.
故选 B.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.2(一)

2.下列函数存在极值的是 1 A.y= x
本 专 题 栏 目 开 关

( B.y=x-ex D.y=x3

)

C.y=x3+x2+2x-3

1 解析 A 中 f′(x)=- 2,令 f′(x)=0 无解, x ∴A 中函数无极值.
B 中 f′(x)=1-ex,令 f′(x)=0 可得 x=0.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.2(一)

当 x<0 时,f′(x)>0,
本 专 题 栏 目 开 关

当 x>0 时,f′(x)<0. ∴y=f(x)在 x=0 处取极大值,f(0)=-1.

C 中 f′(x)=3x2+2x+2,Δ=4-24=-20<0. ∴y=f(x)无极值.D 也无极值.故选 B. 答案 B

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.2(一)

3.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 A.-1<a<2
本 专 题 栏 目 开 关

( D ) B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6

C.a<-1 或 a>2

解析 f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
因为 f(x)既有极大值又有极小值,
那么 Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0, 解得 a>6 或 a<-3.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.2(一)

4.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围为________.
本 专 题 栏 目 开 关

解析 y′=ex+a,由 y′=0 得 x=ln(-a).
由题意知 ln(-a)>0,
∴a<-1.
答案 (-∞,-1)

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.2(一)

5.直线 y=a 与函数 y=x3-3x 的图象有三个相异的交点, a 则
-2<a<2 的取值范围是________.
本 专 题 栏 目 开 关

解析 f′(x)=3x2-3
令 f′(x)=0 可以得到 x=1 或 x=-1,
∵f(1)=-2,f(-1)=2,
∴-2<a<2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.2(一)

1.在极值的定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的
本 专 题 栏 目 开 关

是自变量的值,极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数 f(x)在点 x0 处取得 极值的充要条件是 f′(x0)=0 且在 x0 两侧 f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值,解决一些方程的解和 图象的交点问题.


赞助商链接
相关文章:
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】习题课_数学_高中教育_教育专区。习题课一、基础过关 导数研究函数中的应用 (...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】2.1.1(一)_数学_高中教育_教育专区。§ 2.1 椭圆 § 2.1 2.1.1 一、...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...
§ 1.3 1.3.1 、基础过关 导数的应用 利用导数判断函数的单调性 1.命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源...5 定点为 A.(0,2) B.(2,0) C.(1,0) D.(0,1) 11.若函数 y=f...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】第一章 章末检测_学科竞赛_高中教育_教育专区。章末检测一、选择题 1.下列语句...
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)...
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)选修1-1【配套备课资源】3.4 - §3.4 导数在实际生活中的应用 一、基础过关 1. 炼油厂某分厂将原油...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)选修1-1【配套备课资源】章末检测一_高二数学_数学_高中教育_教育专区。章末检测一、填空题 1.下列语句...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B...
​高​中​数​学​ ​人​教​B​版​选​修​1​-​1​【​配​套​备​课​资​源​】​2​.​1​.​...
《步步高_学案导学设计》2013-2014学年_高中数学人教B...
《步步高_学案导学设计》2013-2014学年_高中数学人教B版选修2-2第一章导数及其应用_习题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。习题课一、基础过关 1.函数 f(x)=...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-2【配套备课资源】第4章 4.2 - § 4.2 一、基础过关 1. 根据下列结构图,总经理的直接下属是 ...
更多相关标签: