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重庆市中考数学24题


2012 年
重庆市中考数学第 24 题

一、解答题(共 30 小题) 1、如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=DC,E 为 AD 中点,连接 BE,CE (1)求证:BE=CE; (2)若∠ BEC=90°,过点 B 作 BF⊥ CD,垂足为点 F,交 CE 于点 G,连接 DG,求证:BG=DG+CD.

2、 如图, 在直角梯形 ABCD 中, BC,ABC=90°, 为 AB 延长线上一点, AD∥ ∠ E 连接 ED, 与

BC

交于点 H.过 E 作 CD 的垂线,垂足为 CD 上的一点 F,并与 BC 交于点 G.已知 G 为 CH 的中点. (1)若 HE=HG,求证:△ EBH≌GFC; △ (2)若 CD=4,BH=1,求 AD 的长. 3、如图,梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD=DC=BC,∠ DAB=60°,E 是对角线 AC 延长线上一点,F 是 AD 延长线上的一

点,且 EB⊥ AB,EF⊥ AF. (1)当 CE=1 时,求△ BCE 的面积; (2)求证:BD=EF+CE. 4、 如图. 在平行四边形 ABCD 中, 为对角线的交点, E 为线段 BC 延长线上的一点, O 点 且 交 CD 于点 F,连接 OF. (1)求证:OF∥ BC; (2)如果梯形 OBEF 是等腰梯形,判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明. . 过点 E 作 EF∥ CA,

5、 如图, 梯形 ABCD 中, BC, ABC=90°, CD 于 F, AD∥ ∠ BF⊥ 延长 BF 交 AD 的延长线于 E 延长 CD 交 BA 的延长线于 G,且 DG=DE,AB= ,CF=6. (1)求线段 CD 的长; (2)H 在边 BF 上,且∠ HDF=∠ E,连接 CH,求证:∠ BCH=45°﹣ ∠ EBC. 6、如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ B=90°,∠ D=45°. (1)若 AB=6cm, ,求梯形 ABCD 的面积;



(2)若 E、F、G、H 分别是梯形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上一点,且满足 EF=GH,∠ EFH=∠ FHG,求证:

HD=BE+BF. 7 、 已 知 : 如 图 , ?ABCD 中 , 对 角 线 AC , BD 相 交 于 点 O , 延 长 CD 至 F , 使 DF=CD , 连 接 BF 交

AD

于点 E.

(1)求证:AE=ED; (2)若 AB=BC,求∠ 的度数. CAF 8、已知:如图,在正方形 ABCD 中,点 G 是 BC 延长线上一点,连接 AG,分别交 BD、CD 于点 E、F. (1)求证:∠ DAE=∠ DCE; (2)当 CG=CE 时,试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.

9、如图,已知正方形 ABCD,点 E 是 BC 上一点,点 F 是 CD 延长线上一点,连接 EF,若 BE=DF,点 P 是 EF 的中点. (1)求证:DP 平分∠ ADC; (2)若∠ AEB=75°,AB=2,求△ DFP 的面积.

10、如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=90°,BD=BC,E 为 CD 的中点,交 BC 的延长线于 F; (1)证明:EF=EA; (2)过 D 作 DG⊥ 于 G,连接 EG,试证明:EG⊥ BC AF.

11 、 如 图 , 直 角 梯 形 ABCD 中 , ∠ DAB=90°, AB∥ , AB=AD , ∠ CD ABC=60 度 . 以 AD 为 边 在 直 角 梯 形

ABCD 外作等边三角形 ADF, E 是直角梯形 ABCD 内一点, EAD=∠ 点 且∠ EDA=15°, 连接 EB、EF. (1)求证:EB=EF; (2)延长 FE 交 BC 于点 G,点 G 恰好是 BC 的中点,若 AB=6,求 BC 的长. 12、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=DC=AD,∠ C=60°,AE⊥ 于点 E,F 是 CD 的中点,DG 是梯形 ABCD 的高. BD (1)求证:AE=GF; (2)设 AE=1,求四边形 DEGF 的面积.

13、已知,如图在直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=90°,DE⊥ 于点 F,交 BC 于点 G,交 AB 的延长线于点 E,且 AC

AE=AC,连 AG. (1)求证:FC=BE; (2)若 AD=DC=2,求 AG 的长.

14、如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=90°,点 E 是 AB 边上一点,AE=BC,DE⊥ EC,取 DC 的中点 F,连接 AF、

BF. (1)求证:AD=BE; (2)试判断△ ABF 的形状,并说明理由.

15、 (2011?潼南县)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD⊥ DC,AB=BC,且 AE⊥ BC. (1)求证:AD=AE; (2)若 AD=8,DC=4,求 AB 的长.

16、如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥ CB,E,F 分别是 BD,AC 的中点,BD 平分∠ ABC. (1)求证:AE⊥ BD; (2)若 AD=4,BC=14,求 EF 的长.

17、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ D=90°,BE⊥ AC,E 为垂足,AC=BC. (1)求证:CD=BE; (2)若 AD=3,DC=4,求 AE.

18、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB⊥ AC,∠ B=45°,AD=1,BC=4,求 DC 的长.

19、已知梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=BC=DC,点 E、F 分别在 AD、AB 上,且 (1)求证:BF=EF﹣ED;



(2)连接 AC,若∠ B=80°,∠ DEC=70°,求∠ 的度数. ACF

20、如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,点 E 在 BC 上,AE=BE,且 AF⊥ AB,连接 EF. (1)若 EF⊥ AF,AF=4,AB=6,求 AE 的长. (2)若点 F 是 CD 的中点,求证:CE=BE﹣AD.

21、如图,四边形 ABCD 为等腰梯形,AD∥ BC,AB=CD,对角线 AC、BD 交于点 O,且 AC⊥ BD,DH⊥ BC. (1)求证:DH= (AD+BC) ; (2)若 AC=6,求梯形 ABCD 的面积.

22、已知, 如图,△ ABC 是等边三角形, 过 AC 边上的 点 D 作 DG∥ BC, 交 AB 于 点 G, 在 GD 的延长 线

上取点 E,使 DE=DC,连接 AE,BD. (1)求证:△ AGE≌DAB; △ (2)过点 E 作 EF∥ DB,交 BC 于点 F,连 AF,求∠ 的度数. AFE 23、如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,DE=EC,EF∥ 交 BC 于点 F,EF=EC,连接 DF. AB (1)试说明梯形 ABCD 是等腰梯形; (2)若 AD=1,BC=3,DC= ,试判断△ DCF 的形状; (3)在条件(2)下,射线 BC 上是否存在一点 P,使△ PCD 是等腰三角形,若存在,请直接写出 PB 的长;若不存 在,请说明理由.

24、 如图, 在梯形 ABCD 中, BC, ABC=∠ AD∥ ∠ BCD=60°, AD=DC, F 分别在 AD、 的 E、 DC 延长线上,且 DE=CF.AF 交 BE 于 P. (1)证明:△ ABE≌DAF; △ (2)求∠ 的度数. BPF 25、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=AD=DC,BD⊥ DC,将 BC 延长至点 F,使 CF=CD. (1)求∠ 的度数; ABC (2)如果 BC=8,求△ DBF 的面积?

26、如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=DC=10cm,AC 交 BD 于 G,且∠ AGD=60°,E、F 分别为 CG、AB 的中点. (1)求证:△ AGD 为正三角形; (2)求 EF 的长度.

27、已知,如图,AD∥ BC,∠ ABC=90°,AB=BC,点 E 是 AB 上的点,∠ ECD=45°,连接 ED,过 D 作 DF⊥ 于 F. BC (1)若∠ BEC=75°,FC=3,求梯形 ABCD 的周长. (2)求证:ED=BE+FC.

28、 (2005?镇江)已知:如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,E 是 AB 的中点,直线 CE 交 DA 的延长线于点 F. (1)求证:△ BCE≌AFE; △ (2)若 AB⊥ 且 BC=4,AB=6,求 EF 的长. BC

29 、 已 知 : 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , AD∥ , BC=DC , CF 平 分 ∠ , DF∥ , BF 的 延 长 线 交 DC 于 点 BC BCD AB

E. 求证: (1)△ BFC≌DFC; △ (2)AD=DE; (3)若△ DEF 的周长为 6,AD=2,BC=5,求梯形 ABCD 的面积. 30、如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC.∠ C=90°,且 AB=AD.连接 BD,过 A 点作 BD 的垂线,交 BC 于 E. (1)求证:四边形 ABED 是菱形; (2)如果 EC=3cm,CD=4cm,求梯形 ABCD 的面积.

答案与评分标准 一、解答题(共 30 小题) 1、如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=DC,E 为 AD 中点,连接 BE,CE (1)求证:BE=CE; (2)若∠ BEC=90°,过点 B 作 BF⊥ CD,垂足为点 F,交 CE 于点 G,连接 DG,求证:BG=DG+CD.

考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析: (1)由已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=DC,E 为 AD 中点,可推出△ BAE≌CDE,得证. △ (2)首先延长 CD 和 BE 交点 H,通过证明三角形全等,证得 BG=DG+CD 解答:证明: (1)已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=DC,E 为 AD 中点, ∴ AB=DC,∠ BAE=∠ CDE,AE=DE, ∴BAE≌CDE, △ △ ∴ BE=CE;

(2)延长 CD 和 BE 的延长线交于 H, ∵ CD,∠ BF⊥ HEC=90°, ∴EBF+∠ ECH+∠ ∠ H=∠ H=90° ∴EBF=∠ ∠ ECH, 又∠ BEC=∠ CEH=90°, BE=CE(已证) , ∴BEG≌CEH, △ △ ∴ EG=EH,BG=CH=DH+CD, ∵BAE≌CDE(已证) △ △ , ∴AEB=∠ ∠ GED, ∠ HED=∠ AEB, ∴GED=∠ ∠ HED, 又 EG=EH(已证) ,ED=ED, ∴GED≌HED, △ △ ∴ DG=DH, ∴ BG=DG+CD. 点评:此题考查的知识点是等腰梯形的性质和全等三角形的判定与性质,此题的关键是由等腰梯形的性质证明三角 形全等推出结论.

2、 如图, 在直角梯形 ABCD 中, BC,ABC=90°, 为 AB 延长线上一点, AD∥ ∠ E 连接 ED, 与

BC

交于点 H.过 E 作 CD 的垂线,垂足为 CD 上的一点 F,并与 BC 交于点 G.已知 G 为 CH 的中点. (1)若 HE=HG,求证:△ EBH≌GFC; △ (2)若 CD=4,BH=1,求 AD 的长. 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;直角梯形。 分析: (1)熟记全等三角形的判定定理,根据题目所给的条件能够证明∠ AED=∠ CGF,EH=GC,且是直角三角形,可 根据 AAS 证明其全等. (2)根据角平分线上的点到两边的距离相等,可证明 AD=DF,DF=DC﹣FC,可求出其结果. 解答: (1)证明:∵ HE=HG, ∴HEG=∠ ∠ HGE, ∵HGE=∠ ∠ FGC,∠ BEH=∠ HEG, ∴BEH=∠ ∠ FGC, ∵ 是 HC 的中点, G ∴ HG=GC, ∴ HE=GC, ∵HBE=∠ ∠ CFG=90°. ∴EBH≌GFC; △ △ (2)解:∵ 平分∠ ED AEF,∠ DFE=90°, A=∠ ∴ AD=DF, ∵ DF=DC﹣FC, ∵EBH≌GFC, △ △ ∴ FC=BH=1, ∴ AD=4﹣1=3. 点评:本题考查了全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,以及直角梯形的性质等. 3、如图,梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD=DC=BC,∠ DAB=60°,E 是对角线 AC 延长线上一点,F 是 AD 延长线上的一

点,且 EB⊥ AB,EF⊥ AF. (1)当 CE=1 时,求△ BCE 的面积; (2)求证:BD=EF+CE. 考点:梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理。 专题:计算题。 分析: (1)先证明∠ BCE=90°,∠ CBE=30°,△ BCE 为直角三角形,又 CE=1,继而求出 BE 的长,再根据三角形的面积公 式求解即可;

(2)过 E 点作 EM⊥ 于点 M,四边形 FDME 是矩形,FE=DM,∠ DB BME=∠ BCE=90°,∠ BEC=∠ MBE=60°,△ BME≌ECB, △ BM=CE,继而可证明 BD=DM+BM=EF+CE. 解答: (1)解:∵ AD=CD, ∴DAC=∠ ∠ DCA, ∵ AB, DC∥ ∴DCA=∠ ∠ CAB, ∴ ,

∵ AB,AD=BC, DC∥ ∴DAB=∠ ∠ CBA=60°, ∴ACB=180°﹣(∠ ∠ CAB+∠ CBA)=90°, ∴BCE=180°﹣∠ ∠ ACB=90°, ∵ AB, BE⊥ ∴ABE=90°, ∠ ∴CBE=∠ ∠ ABE﹣∠ ABC=30°, 在 Rt△ BCE 中,BE=2CE=2, ,



…(5 分)

(2)证明:过 E 点作 EM⊥ 于点 M, DB ∴ 四边形 FDME 是矩形, ∴ FE=DM, ∵BME=∠ ∠ BCE=90°,∠ BEC=∠ MBE=60°, ∴BME≌ECB, △ △ ∴ BM=CE, ∴ BD=DM+BM=EF+CE…(10 分) 点评:本题考查梯形的性质及全等三角形的判定与性质,难度适中,注意对这些知识的熟练掌握以便灵活运用. 4、 如图. 在平行四边形 ABCD 中, 为对角线的交点, E 为线段 BC 延长线上的一点, O 点 且 交 CD 于点 F,连接 OF. (1)求证:OF∥ BC; (2)如果梯形 OBEF 是等腰梯形,判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明. . 过点 E 作 EF∥ CA,

考点:全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;平行四边形的判定与性质;矩形的判定;等腰梯形的性质; 等腰梯形的判定。

专题:证明题。 分析: (1)延长 EF 交 AD 于 G,证平行四边形 ACEG,推出 DG=CE,证△ CEF≌DGF,推出 DF=CF,根据三角形的中位 △ 线定理求出即可; (2)根据等腰梯形的性质求出 OB=EF,推出 AC=BD,根据矩形的判定即可推出结论. 解答: (1)证明:延长 EF 交 AD 于 G(如图) , 在平行四边形 ABCD 中,AD∥ BC,AD=BC, ∵ CA,EG∥ EF∥ CA, ∴ 四边形 ACEG 是平行四边形, ∴ AG=CE, 又∵ ∴ ,AD=BC, ,

∵ BC, AD∥ ∴ADC=∠ ∠ ECF, 在△ CEF 和△ DGF 中, ∵CFE=∠ ∠ DFG,∠ ADC=∠ ECF,CE=DG, ∴CEF≌DGF(AAS) △ △ , ∴ CF=DF, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OB=OD, ∴ BE. OF∥ (2)解:如果梯形 OBEF 是等腰梯形,那么四边形 ABCD 是矩形. 证明:∵ CE,EF∥ OF∥ CO, ∴ 四边形 OCEF 是平行四边形, ∴ EF=OC, 又∵ 梯形 OBEF 是等腰梯形, ∴ BO=EF, ∴ OB=OC, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC=2OC,BD=2BO. ∴ AC=BD, ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.

点评:本题主要考查对等腰梯形的性质和判定,平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,矩形的判定, 三角形的中位线等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.

5、 如图, 梯形 ABCD 中, BC, ABC=90°, CD 于 F, AD∥ ∠ BF⊥ 延长 BF 交 AD 的延长线于 E 延长 CD 交 BA 的延长线于 G,且 DG=DE,AB= ,CF=6. (1)求线段 CD 的长; (2)H 在边 BF 上,且∠ HDF=∠ E,连接 CH,求证:∠ BCH=45°﹣ ∠ EBC.



考点:梯形;全等三角形的判定与性质;直角三角形的性质。 专题:计算题;数形结合。 分析: (1)连接 BD,由题意得出∠ GAD=90°,从而证明△ GAD≌EFD,得出 DA=DF 再证明 Rt△ △ BAD≌ BFD,利用勾股 Rt△ 定理求出 BC,继而得出线段 CD 的长. (2)结合(1)可得出∠ ADB=∠ CBD,CD=CB,然后证明△ CDH≌CBH,得出∠ △ DCH=∠ 后,即可得出结论. BCH 解答: (1)解:连接 BD, 由∠ ABC=90°,AD∥ 得∠ BC GAD=90°, 又∵ CD, BF⊥ ∴DFE=90° ∠ 又∵ DG=DE,∠ GDA=∠ EDF, ∴GAD≌EFD, △ △ ∴ DA=DF, 又∵ BD=BD, ∴ BAD≌ BFD(HL) Rt△ Rt△ , ∴ BF=BA= ,∠ ADB=∠ BDF 又∵ CF=6, ∴ BC= 又∵ BC, AD∥ ∴ADB=∠ ∠ CBD, ∴BDF=∠ ∠ CBD, ∴ CD=CB=8. (2)证明:∵ BC, AD∥ ∴E=∠ ∠ CBF, ∵HDF=∠ ∠ E, ∴HDF=∠ ∠ CBF, 由(1)得,∠ ADB=∠ CBD, ∴HDB=∠ ∠ HBD, ∴ HD=HB, 由(1)得 CD=CB, ∴CDH≌CBH, △ △ ∴DCH=∠ ∠ BCH, ∴BCH= ∠ ∠ BCD= = . ,

点评:此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质,综合性较强,解答本题的关键是利用三角形全等的知识,将已 知线段进行转化,另外要注意等角代换的应用,难度较大. 6、如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ B=90°,∠ D=45°. (1)若 AB=6cm, ,求梯形 ABCD 的面积;

(2)若 E、F、G、H 分别是梯形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上一点,且满足 EF=GH,∠ EFH=∠ FHG,求证:

HD=BE+BF. 考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质;解直角三角形。 专题:证明题。 分析: (1)连 AC,过 C 作 CM⊥ 于 M,在 Rt△ AD ABC 中,利用三角函数求出 BC,在 Rt△ CDM 中,∠ D=45°,利用等腰 直角三角形的性质得到 DM=CM=AB=6,则 AD=6+8=14,然后根据梯形的面积公式计算即可; (2) G 作 GN⊥ 过 AD,则 DN=GN, AD∥ 由 BC,得∠ BFH=∠ FHN,而∠ EFH=∠ FHG,得到∠ BFE=∠ GHN, 易证 Rt△ BEF≌ NGH, Rt△ 则 BE=GN,BF=HN,经过代换即可得到结论. 解答:解: (1)连 AC,过 C 作 CM⊥ 于 M,如图, AD 在 Rt△ ABC 中,AB=6,sin∠ ACB= ∴ AC=10, ∴ BC=8, 在 Rt△ CDM 中,∠ D=45°, ∴ DM=CM=AB=6, ∴ AD=6+8=14, ∴ 梯形 ABCD 的面积= ?(8+14)?6=66(cm ) ;
2

= ,

(2)证明:过 G 作 GN⊥ AD,如图, ∵D=45°, ∠ ∴DNG 为等腰直角三角形, △ ∴ DN=GN, 又∵ BC, AD∥ ∴BFH=∠ ∠ FHN, 而∠ EFH=∠ FHG,

∴BFE=∠ ∠ GHN, ∵ EF=GH, ∴ BEF≌ NGH, Rt△ Rt△ ∴ BE=GN,BF=HN, ∴ DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE.

点评:本题考查了解有关直角梯形的问题的方法:把直角梯形的问题转化为解直角三角形的问题.也考查了全等三 角形的判定与性质以及解直角三角形. 7 、 已 知 : 如 图 , ?ABCD 中 , 对 角 线 AC , BD 相 交 于 点 O , 延 长 CD 至 F , 使 DF=CD , 连 接 BF 交

AD

于点 E.

(1)求证:AE=ED; (2)若 AB=BC,求∠ 的度数. CAF 考点:平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质。 分析: (1)证明四边形 ABDF 是平行四边形,再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论; (2)首先证明四边形 ABCD 是菱形,再用菱形的性质可得到 AC⊥ BD,再根据两直线平行,同位角相等得到 ∠ CAF=∠ COD=90°. 解答: (1)证明:如图. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ CD,AB=CD. AB∥ ∵ DF=CD, ∴ DF. AB∥ ∵ DF=CD, ∴ AB=DF. ∴ 四边形 ABDF 是平行四边形, ∴ AE=DE. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB=BC, ∴ 四边形 ABCD 是菱形. ∴ BD. AC⊥ ∴COD=90°. ∠ ∵ 四边形 ABDF 是平行四边形, ∴ BD. AF∥ ∴CAF=∠ ∠ COD=90°. 点评:此题主要考查了平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,平行线的性质,解决问题的关键是熟练掌握 平行四边形的判定方法与性质. 8、已知:如图,在正方形 ABCD 中,点 G 是 BC 延长线上一点,连接 AG,分别交 BD、CD 于点 E、F. (1)求证:∠ DAE=∠ DCE; (2)当 CG=CE 时,试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形。 专题:代数几何综合题。 分析: (1)通过全等三角形的判定定理 SAS 判定△ DAE≌DCE,然后根据全等三角形的对应角相等知∠ △ DAE=∠ DCE; (2)如图,由∠ CEG=2∠ EAC,∠ ECB=2∠ 可得,4∠ CEG EAC﹣∠ ECA=∠ ACB=45°,得∠ CEG=30°;根据直角三角形中特殊 G=∠ 角的三角函数值,可得在直角△ ECH 中,EH=2 解答: (1)证明:在△ DAE 和△ DCE 中, ∠ ADE=∠ CDE(正方形的对角线平分对角) , ED=DE(公共边) , AE=CE(正方形的四条边长相等) , ∴DAE≌DCE (SAS) △ △ , ∴DAE=∠ ∠ DCE(全等三角形的对应角相等) ; CH,在直角△ FCH 中,CH= CF,代入可得出.

(2)解:如图,由(1)知,△ DAE≌DCE, △ ∴ AE=EC, ∴EAC=∠ ∠ ECA(等边对等角) ; 又∵ CG=CE(已知) , ∴G=∠ ∠ CEG(等边对等角) ; 而∠ CEG=2∠ EAC(外角定理) , ∠ ECB=2∠ CEG(外角定理) , ∴ EAC﹣∠ 4∠ ECA=∠ ACB=45°, ∴G=∠ ∠ CEG=30°; 过点 C 作 CH⊥ 于点 H, AG ∴FCH=30°, ∠ ∴ 在直角△ ECH 中,EH= CH,EG=2 在直角△ FCH 中,CH= ∴ EG=2 × CF=3CF. CF,

CH,

点评:本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值,本题综合 比较强,考查了学生对于知识的综合运用能力. 9、如图,已知正方形 ABCD,点 E 是 BC 上一点,点 F 是 CD 延长线上一点,连接 EF,若 BE=DF,点 P 是 EF 的中点. (1)求证:DP 平分∠ ADC; (2)若∠ AEB=75°,AB=2,求△ DFP 的面积.

考点:正方形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;勾股定理。 分析: (1)连接 PC.根据直角三角形的性质可得 PC= EF=PA.运用“SSS”证明△ APD≌CPD,得∠ △ ADP=∠ CDP; (2)作 PH⊥ 于 H 点.分别求 DF 和 PH 的长,再计算面积.设 DF=x,在 Rt△ CF EFC 中,∠ CEF=60°,运用勾股定理可 求 DF;根据三角形中位线定理求 PH. 解答: (1)证明:连接 PC. ∵ ABCD 是正方形, ∴ABE=∠ ∠ ADF=90°,AB=AD. ∵ BE=DF, ∴ABE≌ADF. △ △ (SAS) ∴BAE=∠ ∠ DAF,AE=AF. ∴EAF=∠ ∠ BAD=90°. ∵ 是 EF 的中点, P ∴ PA= EF,PC= EF, ∴ PA=PC. 又 AD=CD,PD 公共, ∴PAD≌PCD, △ △ (SSS) ∴ADP=∠ ∠ CDP,即 DP 平分∠ ADC; (2)作 PH⊥ 于 H 点. CF ∵ 是 EF 的中点, P ∴ PH= EC. 设 EC=x. 由(1)知△ EAF 是等腰直角三角形, ∴AEF=45°, ∠ ∴FEC=180°﹣45°﹣75°=60°, ∠ ∴ EF=2x,FC= x,BE=2﹣x. 2 2 2 在 Rt△ ABE 中,2 +(2﹣x) =( x) 解得 x1=﹣2﹣2 ∴ PH=﹣1+ ,FD= (﹣2+2 )﹣2=﹣2 +4. ∴△DPF= (﹣2 S +4)× =3 ﹣5.

(舍去) 2=﹣2+2 ,x



点评:此题考查正方形、特殊直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点,综合性强,难度较大.

10、如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=90°,BD=BC,E 为 CD 的中点,交 BC 的延长线于 F; (1)证明:EF=EA; (2)过 D 作 DG⊥ 于 G,连接 EG,试证明:EG⊥ BC AF.

考点:全等三角形的判定与性质;矩形的性质;矩形的判定。 专题:证明题。 分析: (1)求简单的线段相等,可证它们所在的三角形全等,即证明△ ADE≌FCE 即可; △ (2)由(1)知 FE=EA,若 EG⊥ AF,则△ AGF 必为等腰三角形,因此可连接 AG,证 AG=GF; 易知四边形 ABGD 是矩形,则 AG=BD=DC,AD=BG;由(1)知:AD=CF=BG,即可证得 AG=FG=BC,进而可根据等腰 三角形三线合一的性质得出所求的结论. 解答: (1)证明: ∵ BC, AD∥ ∴DAE=∠ ADE=∠ ∠ F,∠ FCE. ∵ 为 CD 的中点, E ∴ ED=EC. ∴ADE≌FCE. △ △ ∴ EF=EA. 分) (5 (2)解:连接 GA, ∵ BC,∠ AD∥ ABC=90°, ∴DAB=90°. ∠ ∵ BC, DG⊥ ∴ 四边形 ABGD 是矩形. ∴ BG=AD,GA=BD. ∵ BD=BC, ∴ GA=BC. 由(1)得△ ADE≌FCE, △ ∴ AD=FC. ∴ GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA. ∵ 由(1)得 EF=EA, ∴ AF. 分) EG⊥ (5

点评:此题综合考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识,综合性强,难度 较大. 11 、 如 图 , 直 角 梯 形 ABCD 中 , ∠ DAB=90°, AB∥ , AB=AD , ∠ CD ABC=60 度 . 以 AD 为 边 在 直 角 梯 形

ABCD 外作等边三角形 ADF, E 是直角梯形 ABCD 内一点, EAD=∠ 点 且∠ EDA=15°, 连接 EB、EF. (1)求证:EB=EF; (2)延长 FE 交 BC 于点 G,点 G 恰好是 BC 的中点,若 AB=6,求 BC 的长. 考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的性质;勾股定理。 专题:几何综合题。 分析: (1)由于△ ADF 为等边三角形,∠ DAB=90°,∠ EAD=15°可知 FAE=∠ BAE=75°,AB=AF,易证△ FAE≌BAE,即 EF=EB. △ ( 2 ) 连 接 EC , 由 于 △ ADF 为 等 边 三 角 形 , 可 知 ∠ EFA=∠ EFD=30 度 . 由 △ FAE≌BAE 知 ∠ △ EBA=∠ EFA=30 度.∠ BEA=∠ BAE=∠ FEA=75°,BE=BA=6.可知∠ GEB=30°,由于∠ ABC=60°,∠ GBE=30°,GE=GB. 因为点 G 是 BC 的中点,所以 EG=CG,即△ CEG 为等边三角形,故∠ CEG=60°,∠ CEB=∠ CEG+∠ GEB=90°根据勾股定理可 求出 CE、BC 的长. 解答: (1)证明:∵ADF 为等边三角形, △ ∴ AF=AD,∠ FAD=60°(1 分) ∵DAB=90°,∠ ∠ EAD=15°,AD=AB(2 分) ∴FAE=∠ ∠ BAE=75°,AB=AF, 分) (3 ∵ 为公共边 AE ∴FAE≌BAE(4 分) △ △ ∴ EF=EB(5 分) (2)解:如图,连接 EC. 分) (6 ∵ 在等边三角形△ ADF 中,

∴ FD=FA, ∵EAD=∠ ∠ EDA=15°, ∴ ED=EA, ∴ 是 AD 的垂直平分线,则∠ EF EFA=∠ EFD=30°. 分) (7 由(1)△ FAE≌BAE 知∠ △ EBA=∠ EFA=30°. ∵FAE=∠ ∠ BAE=75°, ∴BEA=∠ ∠ BAE=∠ FEA=75°, ∴ BE=BA=6. ∵FEA+∠ ∠ BEA+∠ GEB=180°, ∴GEB=30°, ∠ ∵ABC=60°, ∠ ∴GBE=30° ∠ ∴ GE=GB. 分) (8 ∵ G 是 BC 的中点, 点 ∴ EG=CG ∵CGE=∠ ∠ GEB+∠ GBE=60°,

∴CEG 为等边三角形, △ ∴CEG=60°, ∠ ∴CEB=∠ ∠ CEG+∠ GEB=90°(9 分) ∴ Rt△ 在 CEB 中,BC=2CE,BC =CE +BE ∴ CE= , ∴ BC= (10 分) ; 解法二:过 C 作 CQ⊥ 于 Q, AB ∵ CQ=AB=AD=6, ∵ABC=60°, ∠ ∴ BC=6÷ =4 .
2 2 2

点评:本题比较复杂,考查面较广,涉及到等腰三角形,等边三角形,勾股定理需同学们熟练掌握.

12、 如图, 在梯形 ABCD 中, BC, AD∥ AB=DC=AD,C=60°, BD 于点 E, 是 CD 的中点, ∠ AE⊥ F DG 是梯形 ABCD 的高. (1)求证:AE=GF; (2)设 AE=1,求四边形 DEGF 的面积. 考点:等腰梯形的性质;三角形的面积。 专题:计算题;证明题。 分析: (1)由等腰三角形的性质(三线合一) ,可得 BE=DE,又由 F 是 CD 的中点,可得 EF 是△ DBC 的中位线,易得 四边形 AEFD 是平行四边形,即可证得 AE=DF=CF; (2)由(1)可知:EF⊥ DG,所以四边形 DEGF 的面积= EF?DG;根据直角三角形的性质,即可求得 EF 与 DG 的长, 即可求得四边形的面积. 解答: (1)证明:∵ AB=DC, ∴ 梯形 ABCD 为等腰梯形. ∵C=60°, ∠ ∴BAD=∠ ∠ ADC=120°, 又∵ AB=AD, ∴ABD=∠ ∠ ADB=30°. ∴DBC=∠ ∠ ADB=30°. ∴BDC=90°. 分) ∠ (1 由已知 AE⊥ BD, ∴ DC. 分) AE∥ (2 又∵ 为等腰三角形 ABD 的高, AE ∴ 是 BD 的中点, E ∵ 是 DC 的中点, F ∴ BC. EF∥ ∴ AD. EF∥ ∴ 四边形 AEFD 是平行四边形. 分) (3 ∴ AE=DF(4 分) ∵ 是 DC 的中点,DG 是梯形 ABCD 的高, F ∴ GF=DF, 分) (5 ∴ AE=GF. 分) (6

(2)解:在 Rt△ AED 中,∠ ADB=30°, ∵ AE=1, ∴ AD=2. 在 Rt△ DGC 中∠ C=60°, 并且 DC=AD=2, ∴ DG= . 分) (8 由(1)知:在平行四边形 AEFD 中 EF=AD=2, 又∵ BC, DG⊥ ∴ EF, DG⊥ ∴ 四边形 DEGF 的面积= EF?DG= . (10 分)

点评: (1)考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质.此题比较复杂,解题时要注意仔细识图; (2)此题考查了直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半,解题时要注意对角线互相垂直的四边形面积的 求法:对角线积的一半. 13、已知,如图在直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=90°,DE⊥ 于点 F,交 BC 于点 G,交 AB 的延长线于点 E,且 AC

AE=AC,连 AG. (1)求证:FC=BE; (2)若 AD=DC=2,求 AG 的长. 考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质。 专题:几何综合题。 分析: (1)由直角梯形 ABCD 中,∠ ABC=90°,DE⊥ AC,AE=AC,根据 AAS 易证得△ ABC≌AFE,根据全等三角形的对应 △ 边相等,即可得 AB=AF,继而可得 FC=BE; (2)利用等腰三角形的三线合一定理可得 AF= AC= AE,进而求得一些角是 30°,主要利用 AD 长,直角三角形勾 股定理来求解即可求得答案. 解答: (1)证明:∵ABC=90°,DE⊥ 于点 F, ∠ AC ∴ABC=∠ ∠ AFE. ∵ AC=AE,∠ EAF=∠ CAB, ∴ABC≌AFE, △ △ ∴ AB=AF. ∴ AE﹣AB=AC﹣AF, 即 FC=BE; (2)解:∵ AD=DC=2,DF⊥ AC, ∴ AF= AC= AE. ∴ AG=CG, ∴E=30°. ∠ ∵EAD=90°, ∠ ∴ADE=60°, ∠ ∴FAD=∠ ∠ E=30°, ∴ FC= , ∵ BC, AD∥

∴ACG=∠ ∠ FAD=30°, ∴ CG=2, ∴ AG=2. 点评:本题考查直角梯形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定.此题知识点多,综合性强.突破此题的 关键在于第一问证得△ ABC≌AFE,第二问利用等腰△ △ ADC 的性质得 AF= AC= AE.从而得出∠ E=30°,注意数形结合思 想的应用. 14、如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=90°,点 E 是 AB 边上一点,AE=BC,DE⊥ EC,取 DC 的中点 F,连接 AF、 BF. (1)求证:AD=BE; (2)试判断△ ABF 的形状,并说明理由.

考点:直角梯形;平行线的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;等腰 直角三角形。 专题:证明题。 分析: (1)根据平行线的性质和三角形的内角和定理推出∠ BEC=∠ ADE,根据 AAS 证出△ EAD≌EBC 即可; △ (2)延长 AF 交 BC 的延长线于 M,证△ ADF≌MFC,推出 AF=FM,根据等腰三角形性质推出 AF⊥ △ BF,根据直角三角 形斜边上中线性质推出 AF=BF 即可. 解答: (1)证明:∵ BC, AD∥ ∴BAD+∠ ∠ ABC=180°, ∵ABC=90°, ∠ ∴BAD=∠ ∠ ABC=90°, ∵ EC, DE⊥ ∴AED+∠ ∠ BEC=90° ∵AED+∠ ∠ ADE=90°, ∴BEC=∠ ∠ ADE, ∵DAE=∠ ∠ EBC,AE=BC, ∴EAD≌EBC, △ △ ∴ AD=BE. (2)答:△ ABF 是等腰直角三角形.

理由是:延长 AF 交 BC 的延长线于 M, ∵ BM, AD∥ ∴DAF=∠ ∠ M, ∵AFD=∠ ∠ CFM,DF=FC,

∴ADF≌MFC, △ △ ∴ AD=CM, ∵ AD=BE, ∴ BE=CM, ∵ AE=BC, ∴ AB=BM, ∴ABM 是等腰直角三角形, △ ∵ADF≌MFC, △ △ ∴ AF=FM, ∴ABC=90°, ∠ ∴ AM,BF= AM=AF, BF⊥ ∴AFB 是等腰直角三角形. △ 点评:本题主要考查对直角梯形,直角三角形斜边上的中线,等腰直角三角形,等腰三角形的性质,全等三角形的 性质和判定,平行线的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键. 15、 (2011?潼南县)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD⊥ DC,AB=BC,且 AE⊥ BC. (1)求证:AD=AE; (2)若 AD=8,DC=4,求 AB 的长.

考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理。 专题:综合题。 分析: (1)连接 AC,证明△ ADC 与△ AEC 全等即可; (2)设 AB=x,然后用 x 表示出 BE,利用勾股定理得到有关 x 的方程,解得即可. 解答: (1)证明:连接 AC, ∵ CD, AB∥ ∴ACD=∠ ∠ BAC, ∵ AB=BC, ∴ACB=∠ ∠ BAC, ∴ACD=∠ ∠ ACB, ∵ DC,AE⊥ AD⊥ BC, ∴D=∠ ∠ AEC=90°, ∵ AC=AC, ∴ ,

∴ADC≌AEC, △ △ (AAS) ∴ AD=AE; (2)解:由(1)知:AD=AE,DC=EC, 设 AB=x,则 BE=x﹣4,AE=8, 在 Rt△ ABE 中∠ AEB=90°, 2 2 2 由勾股定理得:8 +(x﹣4) =x ,

解得:x=10, ∴ AB=10. 说明:依据此评分标准,其它方法如:过点 C 作 CF⊥ 用来证明和计算均可得分. AB

点评:本题考查梯形,矩形、直角三角形的相关知识.解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯形分割为矩形 和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解. 16、如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥ CB,E,F 分别是 BD,AC 的中点,BD 平分∠ ABC. (1)求证:AE⊥ BD; (2)若 AD=4,BC=14,求 EF 的长.

考点:三角形中位线定理;等腰三角形的判定与性质;梯形。 专题:几何综合题。 分析: (1)先由已知 AD∥ CB,得∠ ADB=∠ CBD,再由,BD 平分∠ 得∠ ABC ABD=∠ CBD,由此推出∠ ADB=∠ ADB,即△ ABD 为 等腰三角形,已知 E,F 分别是 BD,AC 的中点,所以推出 AE⊥ BD. (2) 延长 AE 交 BC 于 G, 能推出△ ABE≌GBE, △ 所以得 AE=GE, BG=AB, (1) AB=AD, BG=AD, CG=BC﹣BG=BC 由 得 则 ? ﹣AD,再由证明和已知得 EF= CG,从而求出 EF 的长. 解答: (1)证明:∵ CB, AD∥ ∴ADB=∠ ∠ CBD, 又 BD 平分∠ ABC, ∴ABD=∠ ∠ CBD, ∴ADB=∠ ∠ ABD, ∴ AB=AD,∴ABD 是等腰三角形, △ 已知 E 是 BD 的中点, ∴ BD. AE⊥

(2)解:延长 AE 交 BC 于 G, ∵ 平分∠ BD ABC, ∴ABE=∠ ∠ GBE, 又∵ BD(已证) AE⊥ , ∴AEB=∠ ∠ GEB, BE=BE, ∴ABE≌GBE, △ △

∴ AE=GE,BG=AB=AD, 又 F 是 AC 的中点(已知) , 所以由三角形中位线定理得: EF= CG= (BC﹣BG)= (BC﹣AD) = ×(14﹣4)=5. 答:EF 的长为 5. 点评:此题考查的知识点是三角形中位线定理的应用和等腰三角形的判定和性质,其关键是(1)证△ ABD 是等腰三 角形. (2)延长 AE 交 BC 于 G,推出 E 是 AG 的中点和 BG=AD.

17、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ D=90°,BE⊥ AC,E 为垂足,AC=BC. (1)求证:CD=BE; (2)若 AD=3,DC=4,求 AE. 考点:梯形;全等三角形的判定与性质。 专题:计算题;证明题。 分析: (1)根据平行线的性质可以得到∠ DAC=∠ BCE,再根据已知就可以证明△ BCE≌CAD,然后根据其对应边相等就 △ 可以得到; (2)首先根据勾股定理的 AC 的长,再根据(1)的结论就可以求出 AE. 解答: (1)证明:∵ BC, AD∥ ∴DAC=∠ ∠ BCE,而 BE⊥ AC, ∴D=∠ ∠ BEC=90°,AC=BC, ∴BCE≌CAD. △ △ ∴ CD=BE. (2)解:在 Rt△ ADC 中,根据勾股定理得 AC=

=5,

∵BCE≌CAD, △ △ ∴ CE=AD=3. ∴ AE=AC﹣CE=2. 点评:此题把全等三角形放在梯形中,利用梯形的性质证明三角形全等,然后利用全等三角形的性质和勾股定理解 题. 18、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB⊥ AC,∠ B=45°,AD=1,BC=4,求 DC 的长.

考点:梯形。 分析:要求 DC 的长,根据已知条件可将它转化为直角三角形的边,由勾股定理即可求得. 解答:解:如图,过点 D 作 DF∥ AB,分别交 AC,BC 于点 E,F. 分) (1 ∵ AC, AB⊥ ∴AED=∠ ∠ BAC=90 度. ∵ BC, AD∥ ∴DAE=180°﹣∠ ∠ B﹣∠ BAC=45 度.

在 Rt△ ABC 中,∠ BAC=90°,∠ B=45°,BC=4,∴ AC=BC?sin45°=4× 在 Rt△ ADE 中,∠ AED=90°,∠ DAE=45°,AD=1,∴ DE=AE= 在 Rt△ DEC 中,∠ CED=90°,∴ DC= =

=2

(2 分) . 分) (4

.∴ CE=AC﹣AE=

. 分) (5

点评:本题考查了梯形的性质,正确地作出辅助线是解决本题的关键. 19、已知梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=BC=DC,点 E、F 分别在 AD、AB 上,且 (1)求证:BF=EF﹣ED; (2)连接 AC,若∠ B=80°,∠ DEC=70°,求∠ 的度数. ACF .

考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;旋转的性质。 专题:计算题;证明题。 分析: (1)旋转△ BCF 使 BC 与 CD 重合,从而根据 SAS 证得△ FCE≌F′ △ CE,从而可证得结论. (2) 根据等腰三角形的性质可得出∠ BAC=∠ BCA=50°, DEC=∠ ∠ FEC=∠ ECB=70°, 从而可得出∠ 的度数, DCE 也就得出了∠ BCF 的度数,再结合∠ BCA=50°即可得出答案. 解答: (1)证明:∵ FC=F′ C,EC=EC,∠ ECF'=∠ BCF+∠ DCE=∠ ECF, ∴FCE≌F′ △ △ CE, ∴ =EF=DF′ EF′ +ED, ∴ BF=EF﹣ED;

(2)解:∵ AB=BC,∠ B=80°, ∴ACB=50°, ∠ 由(1)得∠ FEC=∠ DEC=70°, ∴ECB=70°, ∠ 而∠ BCD=80°, B=∠ ∴DCE=10°, ∠ ∴BCF=30°, ∠ ∴ACF=∠ ∠ BCA﹣∠ BCF=20°.

点评:本题考查旋转的性质等腰梯形的性质及全等三角形的判定及性质,综合性较强,解答本题的关键将△ BCF 旋转 使 BC 与 CD 重合,这是本题的突破口. 20、如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,点 E 在 BC 上,AE=BE,且 AF⊥ AB,连接 EF. (1)若 EF⊥ AF,AF=4,AB=6,求 AE 的长. (2)若点 F 是 CD 的中点,求证:CE=BE﹣AD.

考点:梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质。 专题:证明题。 分析: (1)作辅助线 EM⊥ AB,交 AB 于点 M.由已知条件“AE=BE,EM⊥ AB”知,EM 是等腰三角形 AEB 底边 AB 上的 高线,所以 AM=3,然后根据矩形的判定定理判定四边形 AMEF 是矩形,再由勾股定理在 Rt△ AFE 中求得 AE=5; (2) 延长 AE、 交于点 N. BC 根据△ ADF≌NCF △ (AAS) 的对应边相等知 AD=CN; B+∠ 又∠ N=90°, BAE+∠ ∠ AEN=90°, AE=BE, ∠ BAE,所以 AE=EN,所以知 BE=EN=EC+CN=EC+AD,即 CE=BE﹣AD. B=∠ 解答:解: (1)作 EM⊥ AB,交 AB 于点 M.∵ AE=BE,EM⊥ AB, ∴ AM=BM= ×6=3; ∵AME=∠ ∠ MAF=∠ AFE=90°, ∴ 四边形 AMEF 是矩形, ∴ EF=AM=3; 在 Rt△ AFE 中,AE= =5;

(2)延长 AF、BC 交于点 N. ∵ EN, AD∥ ∴DAF=∠ ∠ N; ∵AFD=∠ ∠ NFC,DF=FC, ∴ADF≌NCF(AAS) △ △ , ∴ AD=CN; ∵B+∠ ∠ N=90°,∠ BAE+∠ EAN=90°, 又 AE=BE,∠ BAE, B=∠ ∴N=∠ ∠ EAN,AE=EN, ∴ BE=EN=EC+CN=EC+AD, ∴ CE=BE﹣AD.

点评:本题综合考查了梯形、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理.本题主要是通过作辅助线 来构建矩形与全等三角形的. 21、如图,四边形 ABCD 为等腰梯形,AD∥ BC,AB=CD,对角线 AC、BD 交于点 O,且 AC⊥ BD,DH⊥ BC. (1)求证:DH= (AD+BC) ; (2)若 AC=6,求梯形 ABCD 的面积.

考点:等腰梯形的性质;平行四边形的判定与性质。 专题:计算题;证明题。 分析: (1)本题要靠辅助线的帮助.过 D 作 DE∥ 交 BC 延长线于 E.由四边形 ABCD 为等腰梯形推出 DE⊥ AC BD,然 后证明 DH⊥ 即可求解. BC (2)此题的重点是求得 S?ABCD 与△ DBE 面积相等.即求出△ DBE 的面积即可. 解答:解: (1)证明:过 D 作 DE∥ 交 BC 延长线于 E, 分) AC (1 ∵ BC, AD∥ ∴ 四边形 ACED 为平行四边形. 分) (2 ∴ CE=AD,DE=AC. ∵ 四边形 ABCD 为等腰梯形, ∴ BD=AC=DE. ∵ BD, AC⊥ ∴ BD. DE⊥ ∴DBE 为等腰直角三角形. 分) △ (4 ∵ BC, DH⊥ ∴ DH= BE= (CE+BC)= (AD+BC)(5 分) .

(2)∵ AD=CE, ∴ ∵DBE 为等腰直角三角形 BD=DE=6, △ ∴ . . 分) (7

∴ 梯形 ABCD 的面积为 18. 分) (8 注:此题解题方法并不唯一.

点评:本题考查的是等腰梯形,等边三角形的性质以及等腰直角三角形的有关知识点. 22、已知, 如图,△ ABC 是等边三角形, 过 AC 边上的 点 D 作 DG∥ BC, 交 AB 于 点 G, 在 GD 的延长 线

上取点 E,使 DE=DC,连接 AE,BD. (1)求证:△ AGE≌DAB; △ (2)过点 E 作 EF∥ DB,交 BC 于点 F,连 AF,求∠ 的度数. AFE 考点:全等三角形的判定;等边三角形的性质。 专题:几何综合题。 分析: (1)根据 SAS 判定△ AGE 和△ DAB 全等; (2)证明四边形 DEFB 是平行四边形,三角形 AEF 是个等边三角形. 解答: (1)证明:∵ABC 是等边三角形,DG∥ △ BC, ∴AGD=∠ ∠ ABC=60°,∠ ADG=∠ ACB=60°,且∠ BAC=60°, ∴AGD 是等边三角形, △ AG=GD=AD,∠ AGD=60°. ∵ DE=DC,∴ GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB, ∵AGD=∠ ∠ BAD,AG=AD, ∴AGE≌DAB; △ △ (2)解:由(1)知 AE=BD,∠ ABD=∠ AEG. ∵ DB,DG∥ EF∥ BC, ∴ 四边形 BFED 是平行四边形. ∴ EF=BD, ∴ EF=AE. ∵DBC=∠ ∠ DEF, ∴ABD+∠ ∠ DBC=∠ AEG+∠ DEF,即∠ AEF=∠ ABC=60°. ∴AFE 是等边三角形,∠ △ AFE=60°. 点评:本题考查了全等三角形的判定和性质,本题中利用全等三角形实现线段的相等和角的转换是解题的关键. 23、如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,DE=EC,EF∥ 交 BC 于点 F,EF=EC,连接 DF. AB (1)试说明梯形 ABCD 是等腰梯形; (2)若 AD=1,BC=3,DC= ,试判断△ DCF 的形状; (3)在条件(2)下,射线 BC 上是否存在一点 P,使△ PCD 是等腰三角形,若存在,请直接写出 PB 的长;若不存 在,请说明理由.

考点:等腰梯形的判定;等腰三角形的判定。 分析: (1)根据在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形进行判断; (2)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形, (3)分四种情况,分别计算. 解答:解: (1)证明:∵ EF=EC, ∴EFC=∠ ∠ ECF, ∵ AB, EF∥ ∴B=∠ ∠ EFC, ∴B=∠ ∠ ECF,∴ 梯形 ABCD 是等腰梯形; (2)△ DCF 是等腰直角三角形, 证明:∵ DE=EC,EF=EC,∴ EF= CD, ∴CDF 是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形) △ , ∵ 梯形 ABCD 是等腰梯形, ∴ CF= (BC﹣AD)=1, ∵ DC= ,

∴ 由勾股定理得:DF=1, ∴DCF 是等腰直角三角形; △ (3)共四种情况: ∵ BC, DF⊥ ∴ PF=CF 时,△ 当 PCD 是等腰三角形, 即 PF=1, ∴ PB=1; 当 P 与 F 重合时,△ PCD 是等腰三角形, ∴ PB=2; 当 PC=CD= (P 在点 C 的左侧)时,△ PCD 是等腰三角形, ∴ PB=3﹣ ; 当 PC=CD= (P 在点 C 的右侧)时,△ PCD 是等腰三角形, ∴ PB=3+ . 故共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3﹣ ,PB=3+ . (每个 1 分) 点评:考查等腰梯形的判定,直角三角形的判定以及等腰三角形的判定.

24、 如图, 在梯形 ABCD 中, BC, ABC=∠ AD∥ ∠ BCD=60°, AD=DC, F 分别在 AD、 的 E、 DC 延长线上,且 DE=CF.AF 交 BE 于 P. (1)证明:△ ABE≌DAF; △ (2)求∠ 的度数. BPF 考点:梯形;全等三角形的判定与性质。

分析: (1)由题意可得 AB=CD,AE=DF,∠ BAE=∠ ADF=120°,然后根据 SAS 判定△ BAE≌ADF; △ (2)由△ BAE≌ADF 得出∠ △ ABE=∠ DAF,进而得到∠ BPF=∠ BAE,再根据 AD 与 BC 平行,得出∠ 的度数. BPF 解答: (1)证明:∵ 在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=∠ BCD=60°, ∴ AB=CD, ∵ AD=DC, ∴ BA=AD,∠ BAE=∠ ADF=120°, ∵ DE=CF, ∴ AE=DF, 在△ BAE 和△ ADF 中, , ∴ABE≌DAF(SAS) △ △ . (2)解:∵ 由(1)△ BAE≌ADF, △ ∴ABE=∠ ∠ DAF. ∴BPF=∠ ∠ ABE+∠ BAP=∠ BAE. 而 AD∥ BC,∠ ABC=60°, C=∠ ∴BPF=120°. ∠ 点评:本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结 合思想的应用. 25、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=AD=DC,BD⊥ DC,将 BC 延长至点 F,使 CF=CD. (1)求∠ 的度数; ABC (2)如果 BC=8,求△ DBF 的面积?

考点:梯形;解直角三角形。 专题:综合题。 分析: (1)根据题意可得出∠ ABC=∠ DCB=2∠ DBC,然后利用三角形的内角和定理可得出答案. (2)过点 D 作 DH⊥ BC,垂足为 H,根据角度的关系可求出 DH 的长度,然后利用梯形的性质求出线段 BF 的长,然 后运用三角形的面积公式即可求解. 解答:解: (1)∵ BC, AD∥ ∴ADB=∠ ∠ DBC, ∵ AB=AD, ∴ADB=∠ ∠ ABD, ∴DBC=∠ ∠ ABD, ∵ 在梯形 ABCD 中 AB=DC, ∴ABC=∠ ∠ DCB=2∠ DBC, ∵ DC, BD⊥ ∴DBC+2∠ ∠ DBC=90° ∴DBC=30° ∠ ∴ABC=60° ∠ (2)过点 D 作 DH⊥ BC,垂足为 H,

∵DBC=30°,BC=8, ∠ ∴ DC=4, ∵ CF=CD∴ CF=4, ∴ BF=12, ∵F+∠ ∠ FDC=∠ DCB=60°,∠ FDC F=∠ ∴F=30°, ∠ ∵DBC=30°, ∠ ∴F=∠ ∠ DBC, ∴ DB=DF, ∴ , ,

在直角三角形 DBH 中 ∴ ∴ ∴ , ,



即△ DBF 的面积为 . 点评:本题考查了梯形及解直角三角形的知识,属于综合题目,解答本题时关键还是熟练掌握一些性质的运用. 26、如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=DC=10cm,AC 交 BD 于 G,且∠ AGD=60°,E、F 分别为 CG、AB 的中点. (1)求证:△ AGD 为正三角形; (2)求 EF 的长度.

考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;三角形中位线定理。 分析: (1)连接 BE,根据等腰三角形的性质可证△ BCG 为等腰三角形,又∠ BGC=∠ AGD=60°,可证△ AGD 等边三角形; (2)已知 BE 为中线,故也是 CG 边上的高,由此可得△ ABE 为直角三角形,而 EF 是斜边 AB 上的中线,根据直角三 角形的性质可知 EF 为 AB 的一半. 解答: (1)证明:连接 BE, ∵ 梯形 ABCD 中,AB=DC, ∴ AC=BD,可证△ ABC≌DCB, △ ∴GCB=∠ ∠ GBC, 又∵BGC=∠ ∠ AGD=60° ∴AGD 为等边三角形, △ (2)解:∵ 为△ BE BCG 的中线, ∴ AC, BE⊥ 在 Rt△ ABE 中,EF 为斜边 AB 上的中线,

∴ EF= AB=5cm.

点评:本题考查了等边三角形、直角三角形的判定与性质,体现了梯形问题转化为三角形问题的解题思想. 27、已知,如图,AD∥ BC,∠ ABC=90°,AB=BC,点 E 是 AB 上的点,∠ ECD=45°,连接 ED,过 D 作 DF⊥ 于 F. BC (1)若∠ BEC=75°,FC=3,求梯形 ABCD 的周长. (2)求证:ED=BE+FC.

考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理。 专题:计算题;证明题。 分析: (1)求出∠ ECB=15°,∠ DCF=60°,求出 DF=3 ,DC=6,推出 AB=DF=3 ,BC=3 ,求出 AD=DF=3 ﹣3 即 可; (2)过点 C 作 CM 垂直 AD 的延长线于 M,再延长 DM 到 N,使 MN=BE 后证明△ DEC≌DNC,得到 ED=EN,即可推 △ 出答案. 解答:解: (1)∵BEC=75°,∠ ∠ ABC=90°, ∴ECB=15°, ∠ ∵ECD=45°, ∠ ∴DCF=60°, ∠ 在 Rt△ DFC 中:∠ DCF=60°,FC=3, ∴ DF=3 ,DC=6, 由题得,四边形 ABFD 是矩形, ∴ AB=DF=3 , ∵ AB=BC, ∴ BC=3 , ∴ BF=BC﹣FC=3 ﹣3, ∴ AD=DF=3 ﹣3, ∴ 梯形 ABCD=3 ×2+6+3 ﹣3=9 +3, C 答:梯形 ABCD 的周长是 9 +3.

(2)过点 C 作 CM 垂直 AD 的延长线于 M,再延长 DM 到 N,使 MN=BE, ∴ CN=CE, 可证∠ NCD=∠ DCE,∵ CD=CD, ∴DEC≌DNC, △ △ ∴ ED=EN, ∴ ED=BE+FC. 点评:本题主要考查对直角梯形的性质,全等三角形的性质和判定,含 30 度角的直角三角形的性质,勾股定理等 知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键. 28、 (2005?镇江)已知:如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,E 是 AB 的中点,直线 CE 交 DA 的延长线于点 F. (1)求证:△ BCE≌AFE; △ (2)若 AB⊥ 且 BC=4,AB=6,求 EF 的长. BC

考点:直角梯形;全等三角形的判定。 专题:几何综合题。 分析: (1)直接根据 AE=BE,∠ EAF,∠ B=∠ BCE=∠ F(AAS)可判定△ BCE≌AFE; △ (2)根据直角梯形的性质,结合(1)中的证明△ BCE≌AFE 得到 AF=BC=4,利用勾股定理可求出 EF=5. △ 解答: (1)证明:∵ BC,E 是 AB 的中点, AD∥ ∴ AE=BE,∠ EAF,∠ B=∠ BCE=∠ F. ∴BCE≌AFE(AAS) △ △ . (2)解:∵ BC, AD∥ ∴DAB=∠ ∠ ABC=90°. ∵ AE=BE,∠ AEF=∠ BEC, ∴BCE≌AFE. △ △ ∴ AF=BC=4. ∵ =AF +AE =9+16=25, EF ∴ EF=5. 点评:主要考查了全等三角形的判定和梯形的性质.要会利用全等的性质得到相等的关系和直角梯形的性质.掌握 其判定及其性质并会灵活运用. 29 、 已 知 : 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , AD∥ , BC=DC , CF 平 分 ∠ , DF∥ , BF 的 延 长 线 交 DC 于 点 BC BCD AB
2 2 2

E.

求证: (1)△ BFC≌DFC; △ (2)AD=DE; (3)若△ DEF 的周长为 6,AD=2,BC=5,求梯形 ABCD 的面积. 考点:梯形;全等三角形的判定;勾股定理。 专题:计算题;证明题。 分析: (1)根据 CF 平分∠ BCD,可知:∠ 2,又 DC=BC,CF=CF,可证:△ 1=∠ DCF≌BCF; △ (2)作辅助线,延长 DF 交 BC 于 G,由 AD∥ BG,AB∥ DG,可知:四边形 ABGD 为平行四边形,AD=BG,故证 AD=DE 只需证明 BG=DE,由(1)可知:∠ EDF=∠ GBF,DF=BF,对顶角∠ 4,可证:△ 3=∠ DFE≌BFG,BG=DE,从而可证:AD=DE; △ (3)由(1) (2)可知:EF=GF,DF=BF,可得:BE=DG,根据 C△DFE=6,可得:EB+DE=AB+AD=6,已知 AD 的长,可 求出 AB,又 AD=BG,BC=DC=5,可得 CG=3,根据勾股定理逆定理可得:△ DGC 为直角三角形,即 DG 为梯形的高, 代入梯形面积公式:S= (AD+BC)?DG 计算即可. 解答:证明: (1)∵ DC=BC,∠ 2,CF=CF, 1=∠ ∴DCF≌BCF. △ △

(2)延长 DF 交 BC 于 G, ∵ BG,AB∥ AD∥ DG, ∴ 四边形 ABGD 为平行四边形. ∴ AD=BG. ∵DFC≌BFC, △ △ ∴EDF=∠ ∠ GBF,DF=BF. 又∵3=∠ ∠ 4, ∴DFE≌BFG. △ △ ∴ DE=BG,EF=GF. ∴ AD=DE. (3)∵ EF=GF,DF=BF, ∴ EF+BF=GF+DF,即:BE=DG. ∵ DG=AB, ∴ BE=AB. ∵ △DFE=DF+FE+DE=6, C ∴ BF+FE+DE=6,即:EB+DE=6. ∴ AB+AD=6. 又∵ AD=2, ∴ AB=4. ∴ DG=AB=4. ∵ BG=AD=2, ∴ GC=BC﹣BG=5﹣2=3. 又∵ DC=BC=5, 2 2 2 在△ DGC 中∵ +3 =5 4 2 2 2 ∴ +GC =DC DG

∴DGC=90°. ∠ ∴ 梯形 ABCD= (AD+BC)?DG S = (2+5)×4 =14. 点评:本题主要考查梯形性质的应用,求梯形的面积时关键是证明△ DGC 为直角三角形. 30、如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC.∠ C=90°,且 AB=AD.连接 BD,过 A 点作 BD 的垂线,交 BC 于 E. (1)求证:四边形 ABED 是菱形; (2)如果 EC=3cm,CD=4cm,求梯形 ABCD 的面积.

考点:梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的判定与性质。 专题:证明题。 分析: (1)根据 AD∥ 得出∠ BC OAD=∠ OEB,然后结合题意可证明△ ADO≌EBO,从而可得 AD=EB,这样结合 AB=AD 即 △ 可判断出四边形 ABED 是菱形. (2)根据四边形 ABCD 是菱形,得出 AD=DE=BE,在 RT△ CDE 中,由勾股定理得 DE,然后利用梯形的面积公式即可 求解. 解答:解: (1)证明:∵ BC, AD∥ ∴OAD=∠ ∠ OEB, 又∵ AB=AD,AO⊥ BD, ∴ OB=OD, 又∵AOD=∠ ∠ EOB, ∴ADO≌EBO(AAS) △ △ , ∴ AD=EB, 又∵ BE, AD∥ ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, 又∵ AB=AD ∴ 四边形 ABCD 是菱形. (2)∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=DE=BE, 在 RT△ CDE 中,由勾股定理得 DE =CD +CE =4 +3 =25, ∴ DE=5, ∴ AD=BE=5, ∴ 梯形 ABCD= S .
2 2 2 2 2

点评:本题考查了梯形、勾股定理及菱形判定的知识,属于综合性题目,有一定难度,对于此类题目,一定要熟记 ① 梯形的上底平行于下底,② 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

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