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金山区2014年高三数学一模试卷(理科)


金山区 2013-2014 学年第一学期期末考试 高三数学试卷
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.计算:

1+ i = 3-i

( i 为虚数单位)。

2.若 α ∈ (

4 3π ,2π) , tan α = - ,则 sin α = 3 2



3.设集合

A ? 5, a ,集合 B = { a,b} 2},则 A∪B = ,若 A ∩B = {

?

?



4.不等式:

x+1 1 ≤ - 1 x 1 的解集是
x -1



5.若函数 y = f ( x) 的反函数为 y = 2

- 1 ,则 f ( x) =



6.若关于 x 的实系数一元二次方程 x + px + q = 0 有一个根为 3 - 4i ( i 是虚数单位),则实 数 p 与 q 的乘积 pq =
2

2


2

7.二项式 ( x - ) 的展开式中含 x 的项的系数是

1 x

7



8.在等差数列 an 中, a1 = 3 ,公差不等于零,且 a2、a4、a9 恰好是某一个等比数列的前三 项,那么该等比数列的公比的值等于 。

{ }

9.容器中有 10 个小球,除颜色外,其他“性状”完全相同,其中 4 个是红色球,6 个是蓝色 球,若从中任意选取 3 个,则所选的 3 个小球都是蓝色球的概率是 值表示)。 10.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量(单位:克)分别是:125,124,121,123,127,则 该堆苹果的总体标准差的点估计值是 (结果精确到 0.01)。
n→∞

(结果用数

11.设数列 an 是公比为 q 的等比数列,它的前 n 项和为 S n ,若 lim S n = 2 ,则此等比数列 的首项 a1 的取值范围是 。

{ }

0, 1]时, f ( x) = x , 12.已知偶函数 y = f ( x)( x ∈ R) 满足: f ( x + 2) = f ( x) ,并且当 x ∈[
函数 y = f ( x)( x ∈ R) 与函数 y = log 3 x 的交点个数是 。

1/9

13.如图,已知直线 l : 4 x - 3 y + 6 = 0 ,抛物线 C : y = 4 x 图像 上的一个动点 P 到直线 l 与 y 轴的距离之和的最小值 是 。

2

14. 如图,在三棱锥 P - ABC 中 PA、PB、PC 两两垂直,且

PA = 3 , PB = 2 , PC = 1 。设 M 是底面三角形 ABC 内一动
点,定义: f ( M ) = (m,n,p) ,其中 m、n、p 分别是三棱 锥 M - PAB 、三棱锥 M - PBC 、三棱锥 M - PAC 的体积。若

1 a 1 8 恒成立,则正实数 a 的最小 f (M ) = ( , 2 x,y ) ,且 + ≥ x y 2
值是 。

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。 15.设 x ∈ R ,则“ x - 1 > 1 ”是“ x > 3 ”的( )。

(A)充分且不必要条件 (B)必要且不充分条件 (C)充分且必要条件 (D)以上皆错

16. 如果执行如图所示的程序框图,那么输出的值是 ( )。 (B)2500 (D)2652

(A)2400 (C)2550

17.在 ΔABC 中,若 M 是线段 BC 的中点,点 P 在线段

AM 上 , 满 足 : AM = 1 , PA = -2 PM , 则
PA ? ( PB + PC ) 等于(
(A) )。

4 9

(B)

4 3

(C) -

4 3

(D) -

4 9

18.已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆

x2 x2 + y 2 = 1(m > 1) 和双曲线 - y 2 = 1(n > 0) , 点P是 m n
)。

它们的一个交点,则 ΔF1 PF2 面积的大小是(
2/9

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)1

(D)2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤。 19.(本题满分 12 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分。 如图,直三棱柱 ABC - A1 B1C1 中,∠BAC = 90 , AA1 = AB = AC = 1 。 (1)设 M 是棱 BB1 的中点,求异面直线 MC 与 AA1 所成的角的大小(用反三角函数值表 示); (2)若 M 是棱 BB1 上的任意一点,求四棱锥 C1 - MAA 1 B1 体积的取 值范围。
°

20.(本题满分 14 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 如图, D 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上的点, AB = AD ,记 ∠CAD =α , ∠ABC =β 。 (1)求证: sin α + cos 2 β = 0 ; (2)若 AC =

3DC ,求 β 的值。

21.(本题满分 14 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分。

an+1 = 1+ a1 = a , 已知数列 an 满足:

{ }

1 1 bn }满足: bn+1 = (n ∈ N *) b1 = -1 , , 又数列 { 。 an bn - 1

3/9

(1)当 a 为何值时, a4 = 0 ,并证明当 a 取数列 bn 中除 b1 以外的任意一项时,都可以得 到一个有穷数列 an ; (2)若

{}

{ }

3 < an < 2(n ≥ 4) ,求 a 的取值范围。 2

22.(本题满分 16 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分。 定义:对函数 y = f ( x) ,对于给定的正整数 k ,若在其定义域内存在实数 x0 ,使得
4/9

f ( x0 + k ) = f ( x0 ) + f (k ) ,则称函数为“ k 性质函数”。
(1)若函数 f ( x) = 2 为“1 性质函数”,求 x0 ;
x

1 是否是“ k 性质函数”?若是,请求出 k ,若不是,请说明理由; x a (3)若函数 f ( x) = lg 2 为“2 性质函数”,求实数 a 的取值范围。 x +1
(2)判断函数 f ( x) =

23.(本题满分 18 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分。 已知曲线 C1 :

x y + = 1(a > b > 0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,曲线 C1 的内切圆半 a b
5/9

径为

2 5 。记曲线 C 2 是以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆。设 AB 是过椭圆 C 2 中心 3

的任意弦, l 是线段 AB 的垂直平分线, M 是 l 上异于椭圆中心的点。 (1)求椭圆 C 2 的标准方程; (2)若 MO = m OA ( O 为坐标原点) , 当点 A 在椭圆 C 2 上运动时, 求点 M 的轨迹方程; (3)若 M 是 l 与椭圆 C 2 的交点,求 ΔABM 的面积的最小值。

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金山区 2013-2014 学年度第一学期高三期末考试 数学试题评分标准
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 6.–150 12.6 2. 7.35 13.1 3.{2,4,5} 4.[–1, 0] 8. 14. 6 –4 9. 5.log2(x+1)+1,x∈(–1,+?) 11.(0, 2)∪(2, 4)

10.2.24

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. B 16.C 17.D 18.C 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. (1)因为 AA1∥CC1,所以 ?MCC1 就是异面直线 MC 与 AA1 所成的角,记为 ???2 分 ?BAC=90?,BC= 在△MCC1 中,MC1= ,在 Rt△MBC 中,MC= ,CC1=1,所以 cos? = ,???????????3 分 ????????????5 分 ;?????????6 分

所以异面直线 MC 与 AA1 所成的角的大小是 arccos

(2)设 B1M=x (0<x≤1),A1C1⊥平面 MAA1B1, A1C1 是四棱锥 C1–MAA1B1 的高,?9 分 且 A1C1=1,梯形 MAA1B1 的面积 ,四棱锥 C1–MAA1B1 的体积

(0<x≤1)??????????10 分 即 ,故四棱锥 体积的取值范围是 .?????12 分

20.(本题满分 14 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1) 证明:由于 AB=AD,所以 ?BDA=?,所以 ?=?+?C,?????????2 分 因为∠BAC=90?,所以 ?C=90?–?,所以 ?=?+90?–?,即 2?=90?+?,????4 分 故 cos2?=cos(90?+?)= –sin?,即 sin?+cos2?=0;??????????6 分 (2) 在△ABC 中,由正弦定理得: ,即 ,

则 sin?=

sin?,????????????????????????8 分 cos2?=– (1–2sin2?),即:2 sin2?–sin?– =0,?11 分

由(1)可得:sin?= – 解得:sin?=

或 sin?=

(舍),所以 ?=60?.??????????14 分
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21.(本题满分 14 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. (1)解:由题意的 ,又 a4=0,所以 a3= –1, ,a=a1= – ; ?3 分

证明: 因为

, 所以 bn=1+

, 若 a 取数列{bn}中任意一个数 bn (n>1), 即 a=bn,

a2=1+

=1+

=bn–1,a3=1+

=1+

=bn–2,?,an=b1= –1,an+1=1+

=0,

所以数列{an}只能有 n+1 项,为有穷数列.??????????????8 分

(2)解:

?

(n≥5)?

?

11 分

所以

<an<2 (n≥4),等价于

<a4<2,等价于

<

<2,等价于 a>0.14 分

22.(本题满分 16 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 解:(1)由 f(x0+1)=f(x0)+f(1)得: (2)假设存在 x0 满足条件: ,得:x0=1;??????4 分 ,即 =0,?????7 分

因为Δ =k2–4k2=–3k2<0,所以方程无实数根,与假设矛盾, 所以函数 f(x)= (3)由条件得: 不是“k 性质函数”;???????????????10 分 ,????????????11 分



(a>0),整理得:

,?13 分

当 a=5 时,x0= –1,???????????????????????14 分 当 a≠5 时,由Δ ≥0 得:16a2–20(a–5)(a–1)≥0,即:a2–30a+25≤0, ≤a≤ 且 a≠5,所以 a∈[ , ].??16 分

23.(本题满分 18 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分.

解(1)C1 是以(–a,0)、(0,–b)、(a,0)、(0,b)为顶点的菱形,故

,?2 分

8/9

又 a>b>0,解得:a2=5,b2=4,因此所求的椭圆的标准方程为

;?4 分

(2)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为 y=kx(k≠0),A(xA,yA), 令 ,得 , ,|OA|2= ,???6 分

设 M(x,y),由题意得:|MO|2=m2|OA|2,(m>0),即:



因为 l 是 AB 的垂直平分线,所以直线 l 的方程为 ,又 x2+y2≠0,整理得: 当 k=0 或斜率不存在时,上式仍然成立, 综上所述,点 M 的轨迹方程为

,代入上式消去 k 得:

(m>0),??9 分

(m>0)???????10 分

(3) 当 k 存在且不为零时,由(2)得:



,|OA|2=





,得:



,|OM|2

??13 分

|AB|2=4|OA|2=

,故

=

??14 分



=

=

, 当且仅当 4+5k2=5+4k2 时, 即 k=?1

时,等号成立,此时△ABM 的面积的最小值为 当 k=0 时, = = >

.???????16 分 = = > ,

, 当 k 不存在时,

综上所述,△ABM 的面积的最小值为

.???????????18 分

9/9


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