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二项式定理中展开式系数的六种常见类型


二项式定理中展开式系数的六种常见类型
求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例,对二项式定理 试题中求展开式系数的问题加以归类与解析,供读者参考。 一 、 (a ? b)
n

(n ? N ? ) 型


例 1. ( x ? 2 y)10 的展开式中 x6 y 4 项的系数是( (A)840

(B)-840 (C)210

(D)-210

解析:在通项公式 Tr ?1 ?

r C10 (? 2 y)r x10?r 中令 r =4,即得 ( x ? 2 y)10 的展

4 开式中 x6 y 4 项的系数为 C10 (? 2)4 =840,故选 A。

例 2. ( x ?

1 x

) 8 展开式中 x 5 的系数为


3 8? r 2

解析: 通项公式 Tr ?1 ? C x
r 8

8? r

(?

1 x

) ? (?1) C x
r r r 8

, 由题意得 8 ?

3 r ? 5, 2

则 r ? 2 ,故所求 x 5 的系数为 (?1) 2 C82 ? 28 。 评注:常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数,由待定 系数法确定 r 的值。 二 、 (a ? b)
n

? (c ? d ) m (n, m ? N ? ) 型

2 1 例 3. ( x 3 ? ) 4 ? ( x ? ) 8 的展开式中整理后的常数项等于 . x x 2 2 ? r r r1 ?2 4 r x 4 ) ? C 解 析 ; ( x 3 ? ) 4 的 通 项 公 式 为 Tr ?1 ? Cr4(? ) r (3 ,令 4? ( 2 )x x x 2 3 3 12 ? 4r ? 0 , 则 r ? 3 , 这 时 得 ( x 3 ? ) 4 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 ?C4 2 = - 32, x

1 k 1 k 8? k k 8? 2k ( ) x ? C8 x ( x ? )8 的通项公式为 Tk ?1 ? C8 , 令 8 ? 2k ? 0 ,则 k ? 4 ,这时得 x x
1 2 1 ( x ? )8 的展开式中的常数项为 C84 =70,故 ( x 3 ? ) 4 ? ( x ? ) 8 的展开式中常数项 x x x

等于 ? 32 ? 70 ? 38 。 例 4.在 (1 ? x) 5 ? (1 ? x) 6 的展开式中,含 x 3 的项的系数是( (A) ?5 (B) 5 (C) ? 10
1/5



(D) 10

3 解 析 : (1 ? x) 5 中 x 3 的 系 数 ?C5 ? ?10 , ? (1 ? x) 6 中 x 3 的 系 数 为 3 ?C6 ? (?1)3 ? 20 ,故 (1 ? x) 5 ? (1 ? x) 6 的展开式中 x 3 的系数为 10 ,故选 D 。

评注:求型如 (a ? b) n ? (c ? d ) m (n, m ? N ? ) 的展开式中某一项的系数,可分 别展开两个二项式,由多项式加减法求得所求项的系数。 三 、 (a ? b)
n

(c ? d ) m (n, m ? N ? ) 型


2 7 例 5. ( x ? 1)(x ? 2) 的展开式中 x 3 项的系数是

1 3 解 析: ( x ? 2) 7 的展开式中 x 、 x 3 的系数分别为 C7 (?2) 6 和 C7 (?2) 4 ,故 1 3 ( x 2 ? 1)(x ? 2) 7 的展开式中 x 3 项的系数为 C7 (?2) 6 + C7 (?2) 4 =1008。

例 6. ? x ? 1?? x ? 1? 的展开式中 x5 的系数是(
8

) ( C ) ?28

( A ) ?14 (D) 28

( B ) 14

5 略解: ( x ? 1) 8 的展开式中 x 4 、 x 5 的系数分别为 C84 和 C8 ,故 ? x ? 1?? x ? 1? 展
8

4 5 开式中 x 5 的系数为 C8 ? C8 ? 14 ,故选 B。

评注:求型如 (a ? b) n (c ? d ) m (n, m ? N ? ) 的展开式中某一项的系数,可分别 展开两个二项式,由多项式乘法求得所求项的系数。 四 、 (a ? b ? c)
n

(n ? N ? ) 型
.

x 1 例 7. ( ? ? 2 ) 5 的展开式中整理后的常数项为 2 x
5

k x 1 x 1 ? x 1 ? 解 法一: ( ? ? 2 ) 5 = ?( ? ) ? 2 ? ,通项公式 Tk ?1 ? C5k 2 2 ( ? )5?k , 2 x 2 x ? 2 x ?

x 1 r ? r 5?k ?r ? (5?k ?r ) r 5?2r ?k k ?r ?5 ( ? )5? k 的 通 项 公 式 为 Tr ?1 ? C5 , 令 2 ? C5 2 ?k x x ?k x 2 x
5 ? 2r ? k ? 0 ,则 k ? 2r ? 5 ,可得 k ? 1, r ? 2 或 k ? 3, r ? 1或 k ? 5, r ? 0 。

当 k ? 1, r ? 2 时,得展开式中项为 C C 2 2?2 ?
1 5 2 4

1 2

15 2 ; 2

3 1 当 k ? 3, r ? 1时,,得展开式中项为 C5 C2 2 2 ? 2?1 ? 20 2 ;

2/5

5 当 k ? 5, r ? 0 时,得展开式中项为 C5 4 2 ?4 2。

15 2 63 2 x 1 综上, ( ? ? 2 ) 5 的展开式中整理后的常数项为 。 ? 20 2 ? 4 2 ? 2 x 2 2
x 1 x 2 ? 2 2x ? 2 5 ( x ? 2 ) 2 解法二: ( ? ? 2 ) 5 = ( ) = 2 x (2 x) 5 2x

?

? = (x ?
5

2 )10 ,对于二 ( 2 x) 5

r 10?r 项式 ( x ? 2 )10 中,Tr ?1 ? C10 x ( 2 ) r ,要得到常数项需 10 ? r ? 5 ,即 r ? 5 。所
5 C10 ? ( 2 ) 5 63 2 以,常数项为 。 ? 2 25

x 1 x 1 解法三: ( ? ? 2 ) 5 是 5 个三项式 ( ? ? 2) 相乘。常数项的产生有三 2 x 2 x x 1 x 种情况:在 5 个相乘的三项式 ( ? ? 2) 中,从其中一个取 ,从另外 4 个三 2 x 2 1 项式中选一个取 ,从剩余的 3 个三项式中取常数项相乘,可得 x 1 x 1 1 1 3 C5 ? ? C4 ? C3 ? ( 2)3 ? 20 2 ; 从其中两个取 , 从另外 3 个三项式中选两个取 , 2 2 x 1 15 2 ;从 5 个相 从剩余的 1 个三项式中取常数项相乘,可得 C52 ? ( ) 2 ? C32 ? 2 ? 2 2 x 1 5 乘的三项式 ( ? ? 2) 中取常数项相乘,可得 C5 ? ( 2)5 = 4 2 。 2 x x 1 综 上 , ( ? ? 2 )5 的 展 开 式 中 整 理 后 的 常 数 项 为 2 x

20 2 ?

15 2 63 2 ?4 2 ? 。 2 2

评注:解法一、解法二的共同特点是:利用转化思想,把三项式转化为二项 式来解决。 解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题,本质上是利用加法 原理和乘法原理,这种方法可以直接求展开式中的某特定项。 五 、 (a ? b) ? (a ? b)
m m?1

?

? (a ? b)n (m, n ? N ? ,1 ? m ? n) 型


例 8.在 (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ? ? (1 ? x) 6 的展开式中, x 2 项的系数是 (用数字作答)
2 2 2 2 2 解析:由题意得 x 2 项的系数为 C2 ? C3 ? C4 ? C5 ? C6 ? 35。

例 9.在(1-x) +(1-x) +(1-x) +(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数是
3/5

5

6

7

8

3

(

) (A) 74 解 析 : (B) 121 (1 - x)
5

(C) -74 + (1 - x)
6

(D) -121 (1 - x)
7



+ (1



8 x) =

(1 ? x)5 [1 ? (1 ? x)4 ] (1 ? x)5 ? (1 ? x)9 ? 1 ? (1 ? x) x

(1 ? x) 5 中 x 4 的系数为 C54 ? 5 , ? (1 ? x) 9 中 x 4 的系数为- C94 ? ?126 ,-126+5= -
121,故选 D。 评注:例 8 的解法是先求出各展开式中 x 2 项的系数,然后再相加;例 9 则 从整体出发,把原式看作首相为(1-x) 5 ,公比为(1-x)的等比数列的前 4 项和, 用等比数列求和公式减少项数,简化了运算。例 8 和例 9 的解答方法是求

(a ? b)m ? (a ? b)m?1 ?
两种常规方法。

? (a ? b)n (m, n ? N ? ,1 ? m ? n) 的展开式中某特定项系数的

六 、求展开式中若干项系数的和或差 例 10.若 (1 ? 2x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a2004 x 2004 ( x ? R) , 则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? ? (a0 ? a2004 ) ? _______ 。(用数字作答) 解析:在 (1 ? 2x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a2004 x 2004 中,令 x ? 0 ,则 a0 ? 1 , 令 x ? 1 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2004 ? (?1) 2004 ? 1 故 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? ? (a0 ? a2004 ) =2003 a0 + a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2004 ? 2004。 例 11. (2 x ? 3) 4 ? a0 ? a1x ? a 2x 2 ?a 3x 3 ?a 4 x 的值为( (A) 1 ) (B) -1 (C) 0 (D) 2
4

,则 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2

解析:在 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 中, 令 x ? 1 ,可得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (2 ? 3) 4 , 令 x ? ?1 ,可得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (2 ? 3) 4
4/5

所以, (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 = (a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 )(a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 ) = (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) = (2 ? 3) 4 (2 ? 3) 4 =1, 故 选 A。 评注:求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式 (或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题 的目的,它普遍适用于恒等式,是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的 是从一般到特殊的转化思想, 在高考题中屡见不鲜,特别是在二项式定理中的应 用尤为明显,巧赋特值可减少运算量。

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