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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练67


题组层级快练(六十七)
1.(2014· 新课标全国Ⅱ理)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 A. 4 63 C. 32 答案 D 解析 先求直线 AB 的方程,将其与抛物线的方程联立组成方程组化简,再利用根与系数的关系求解. 3 3 3 由已知得焦点坐标为

F( ,0),因此直线 AB 的方程为 y= (x- ),即 4x-4 3y-3=0. 4 3 4 方法一:联立抛物线方程化简,得 4y2-12 3y-9=0. 故|yA-yB|= ?yA+yB?2-4yAyB=6. 1 1 3 9 因此 S△OAB= |OF||yA-yB|= × ×6= . 2 2 4 4 21 9 方法二:联立方程,得 x2- x+ =0, 2 16 21 故 xA+xB= . 2 根据抛物线的定义有 |AB|=xA+xB+p= 21 3 + =12, 2 2 ) 9 3 B. 8 9 D. 4

原点到直线 AB 的距离为 h= 3 = . 4 +?-4 3? 8
2 2

|-3|

1 9 因此 S△OAB= |AB|· h= . 2 4 另解:|AB|= 2p 3 =12, 2 = sin θ 1 2 ? ? 2

1 13 1 9 S△ABO= · |OF|· |AB|· sinθ= ·· 12·= . 2 24 2 4 → → 2.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA· AF=-4,则点 A 的坐标 为( ) A.(2,± 2 2) C.(1,2) 答案 B → 解析 设 A(x0,y0),F(1,0),OA=(x0,y0), B.(1,± 2) D.(2,2 2)

→ → → AF=(1-x0,-y0),OA· AF=x0(1-x0)-y2 0=-4.
2 2 ∵y0 =4x0,∴x0-x2 2. 0-4x0+4=0?x0+3x0-4=0,x1=1,x2=-4(舍).∴x0=1,y0=±

→ → 3. 已知抛物线 C: y2=8x 与点 M(-2,2), 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点. 若MA· MB =0,则 k=( 1 A. 2 C. 2 答案 D 解析 由题意知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0),则直线 AB 的方程为 y=k(x-2),将其代入 y2=8x,得 k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4?k2+2? 则 x1+x2= ,x1x2=4.① k2
? ?y1=k?x1-2?, 由? ? ?y2=k?x2-2? ? ?y1+y2=k?x1+x2?-4k, ? ? 2 ?y1y2=k [x1x2-2?x1+x2?+4]. ?

) B. 2 2

D.2

② ③

→ → ∵MA· MB=0, ∴(x1+2,y1-2)· (x2+2,y2-2)=0. ∴(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0, 即 x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.④ 由①②③④式,解得 k=2.故选 D. 4.(2015· 河南豫东、豫北十所名校)如图所示,过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点,交其准线于点 C,若|BC|= 2|BF|,且|AF|=4+2 2,则 p 的值为( )

A.1 5 C. 2 答案 B

B .2 D.3

解析 过 B 作准线的垂线 BB′,则|BB′|=|BF|,由|BC|= 2|BF|,得直线 l 的倾斜角为 45° .设 A(x0, p 2 y0),由|AF|=4+2 2,得 x0- = |AF|=2+2 2.∴(2+2 2)+p=4+2 2,∴p=2. 2 2 5.(2015· 江西重点中学盟校联考)已知抛物线 C:y=x2-2,过原点的动直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两

点,P 是 AB 的中点,设动点 P(x,y),则 4x-y 的最大值是( A.2 C.4 答案 A B.-2 D.-4

)

解析 设直线 l 的方程为 y=kx,与抛物线 C 的方程 y=x2-2 联立,消去 y,得 x2-kx-2=0.设 A(x1, k k2 k2 1 y1),B(x2,y2),则 x1+x2=k,所以 x= ,y= ,所以 4x-y=2k- =- (k-2)2+2.故当 k=2 时,4x-y 2 2 2 2 取最大值 2. 6.(2015· 湖南益阳模拟)如图所示,已知直线 l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线 C:y2=4x 相交于 A,B 两点, 且 A,B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M,N,若|AM|=2|BN|,则 k 的值是( )

1 A. 3 2 2 C. 3 答案 C

B.

2 3

D.2 2

?y2=4x, ? 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组? 消去 x,得 ky2-4y+4k=0.① ? y = k ? x + 1 ? , ?

因为直线与抛物线相交,所以有 Δ=42-4×k×4k=16(1-k2)>0.(*) 4 ? ?y1+y2=k, y1,y2 是方程①的两个根,所以有? ? ?y1· y2=4. 又因为|AM|=2|BN|,所以 y1=2y2.④ 2 2 解由②③④组成的方程组,得 k= . 3 2 2 2 2 把 k= 代入(*)式检验,不等式成立.所以 k= ,故选 C. 3 3 → → → → → → 7.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC |=( ) A.9 C.4 答案 B 解析 焦点 F 坐标为(1,0),设 A,B,C 坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3). B .6 D.3 ② ③

→ → → ∴FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FC=(x3-1,y3). → → → ∵FA+FB+FC=0, ∴x1-1+x2-1+x3-1=0. ∴x1+x2+x3=3. → → → ∴|FA|+|FB|+|FC|
2 2 2 2 = ?x1-1?2+y2 1+ ?x2-1? +y2+ ?x3-1? +y3

= ?x1+1?2+ ?x2+1?2+ ?x3+1?2 =x1+1+x2+1+x3+1=6.
2 8.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y2 1+y2的最小值

是________. 答案 32 解析 设直线方程为 x=ky+4,与抛物线联立得 y2-4ky-16=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
2 2 2 ∴y1 +y2 2=(y1+y2) -2y1y2=16k +32.

故最小值为 32. 9.如图所示,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A.

(1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物 C 的准线相切的圆的方程. 答案 (1)-1 (2)(x-2)2+(y-1)2=4
? ?y=x+b, 解析 (1)由? 2 得 x2-4x-4b=0.(*) ?x =4y, ?

因为直线 l 与抛物线 C 相切, 所以 Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)为 x2-4x+4=0, 解得 x=2.将其代入 x2=4y,得 y=1.故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,即 r=|1-(-1)|=2.

所以圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 10.如图所示,斜率为 1 的直线过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,与抛物线交于 A,B 两点,M 为抛物 线弧 AB 上的动点.

(1)若|AB|=8,求抛物线的方程; (2)求 S△ABM 的最大值. 答案 (1)y2=4x (2) 2p2 p 1 解析 (1)由条件知 lAB:y=x- ,与 y2=2px 联立,消去 y,得 x2-3px+ p2=0,则 x1+x2=3p.由抛 2 4 物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p. 又因为|AB|=8,即 p=2,则抛物线的方程为 y2=4x. y2 p 0 | -y0- | 2 2p 2 p y0 (2)方法一:由(1)知|AB|=4p,且 lAB:y=x- ,设 M( ,y0),则 M 到 AB 的距离为 d= . 2 2p 2 y2 p 0 因为点 M 在直线 AB 的上方,所以 -y0- <0, 2p 2 y2 p y2 p 0 0 | -y0- | - +y0+ 2 2p 2 2p 2 -y2 -?y0-p?2+2p2 0+2py0+p 则 d= = = = . 2 2 2 2p 2 2p 当 y0=p 时,dmax= 2 p. 2

1 2 故 S△ABM 的最大值为 ×4p× p= 2p2. 2 2 p 方法二:由(1)知|AB|=4p,且 lAB:y=x- ,设与直线 AB 平行且于抛物线相切的直线方程为 y=x+m, 2 p 代入抛物线方程,得 x2+2(m-p)x+m2=0.由 Δ=4(m-p)2-4m2=0,得 m= .与直线 AB 平行且与抛物线 2 p p | + | 2 2 p 2 相切的直线方程为 y=x+ ,两直线间的距离为 d= = p, 2 2 2 1 2 故 S△ABM 的最大值为 ×4p× p= 2p2. 2 2 11.(2015· 广东百所高中联考)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 K(-1,0)为直线 l 与抛物线 C 准线的交点,直线 l 与抛的线 C 相交于 A,B 两点. (1)求抛物线 C 的方程; →→ 8 (2)设FA· FB= ,求直线 l 的方程. 9 答案 (1)y2=4x

(2)3x-4y+3=0 或 3x+4y+3=0 p 解析 (1)依题意知- =-1,解得 p=2. 2 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),且设直线 l 的方程为 x=my-1(m≠0). 将 x=my-1 代入 y2=4x,并整理,得 y2-4my+4=0. 由 Δ>0,得 m2>1,从而 y1+y2=4m,y1y2=4. 所以 x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2, x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1=1. → → 因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2), →→ FA· FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2, 8 4 故 8-4m2= ,解得 m=± 满足 m2>1. 9 3 4 所以直线 l 的方程为 x=± y-1. 3 即 3x-4y+3=0 或 3x+4y+3=0. 12. (2015· 山东莱芜期末)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点, 焦点 F(0, c)(c>0)到直线 y=2x 的距离是 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 y=kx+1(k≠0)与抛物线 C 交于 A,B 两点,设线段 AB 的中垂线与 y 轴交于点 P(0,b),求 实数 b 的取值范围. 答案 (1)x2=2y (2)b∈(2,+∞) 解析 (1)由题意, c 5 1 = ,故 c= . 2 5 10 5 . 10

所以抛物线 C 的方程为 x2=2y.
?y=kx+1, ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由? 2 得 x2-2kx-2=0.所以 Δ=4k2+8>0. ?x =2y, ?

所以 x1+x2=2k,所以线段 AB 的中点坐标为(k,k2+1). 1 线段 AB 的中垂线方程为 y=- (x-k)+k2+1, k 1 即 y=- x+k2+2. k 令 x=0,得 b=k2+2. 所以 b∈(2,+∞).

1.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=-1 的距离相等,若机器人接触 不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是________.

答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为 y2=4x,过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线 方程为 y=k(x+1),由题意知直线与抛物线无交点,联立消去 y,得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则 Δ=(2k2- 4)2-4k4<0,所以 k2>1,得 k>1 或 k<-1. 2.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( A. 2 2 ) B. 2 D.2 2

3 2 C. 2 答案 C

解析 由题意,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 l:x=-1,可得 A 点的横坐标为 2,不妨 1 设 A(2,2 2),则直线 AB 的方程为 y=2 2(x-1),与 y2=4x 联立得 2x2-5x+2=0,可得 B( ,- 2),所 2 1 3 2 以 S△AOB=S△AOF+S△BOF= ×1×|yA-yB|= . 2 2


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