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【步步高】2014高考数学二轮专题突破(文科)专题三 第2讲


专题三 第2讲

第2讲

数列求和及数列的综合应用

【高考考情解读】
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高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题: 1.以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式,考查学 生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属 中档题. 2.通过分组、错位相减

等转化为等差或等比数列的求和问 题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应 用,属中档题.

主干知识梳理

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1.数列求和的方法技巧
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(1)分组转化法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列 通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的 数列,即先分别求和,然后再合并. (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{an},{bn}分 别是等差数列和等比数列.

主干知识梳理
(3)倒序相加法

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这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法,也就是将 一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公式可 提, 并且剩余项的和易于求得, 则这样的数列可用倒序相加法
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求和. (4)裂项相消法 利用通项变形,将通项分裂成两项或 n 项的差,通过相加过 程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.这种方法,适用于 1 求通项为 的数列的前 n 项和,其中{an}若为等差数列, anan+1 1 ? 1 1? ?1 则 =d?a -a ? ?. + anan+1 n n 1? ?

主干知识梳理
常见的拆项公式: 1 1 1 ① = - ; n?n+1? n n+1 1 11 1 ② = ( - ); n?n+k? k n n+k 1 1 1 1 ③ = ( - ); ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 1 1 ④ =k( n+k- n). n+ n+k 2.数列应用题的模型

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(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该 模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.

主干知识梳理

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(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. (3)混合模型:在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的
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模型. (4)生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增 加(或减少),同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时,我 们称该模型为生长模型.如分期付款问题,树木的生长与砍 伐问题等. (5)递推模型:如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项 an-1(或前n项)间的递推关系式,我们可以用递推数列的知识 来解决问题.

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考点一 例1
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分组转化求和法

等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行

中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同 一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 2 4 8 10 14 18

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(1)求数列{an}的通项公式;

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(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前n项 和Sn.

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(1)当a1=3时,不合题意;

当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意; 当a1=10时,不合题意. 因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3. 故an=2· 3n-1 (n∈N*). (2)因为bn=an+(-1)nln an =2· 3n-1+(-1)nln(2· 3n-1)
=2· 3n 1+(-1)n[ ln 2+(n-1)ln 3]


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=2· 3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,

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所以Sn=2(1+3+?+3n-1)+[ -1+1-1+…+(-1)n] · (ln 2- ln 3)+[ -1+2-3+…+(-1)nn] ln 3.
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1-3n n 当n为偶数时,Sn=2× + ln 3 1-3 2 n n =3 + ln 3-1; 2 ?n-1 ? 1-3n ? ? 当n为奇数时,Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? -n?ln 3 1-3 ? 2 ? n-1 n =3 - ln 3-ln 2-1. 2 ? n n n为偶数, ?3 +2ln 3-1, 综上所述,Sn=? ?3n-n-1ln 3-ln 2-1, n为奇数. 2 ?

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在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思 想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,
本 哪些项构成等比数 讲 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列, 栏 目 列,清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时,由于数列的 开 关 各项是正负交替的,所以一般需要对项数 n 进行讨论,最后

再验证是否可以合并为一个公式.

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(2013· 安徽)设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对 任意 n∈N*, 函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x ?π? 满足 f′?2 ?=0. ? ? (1)求数列{an}的通项公式; 本 ? 1 ? ?,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 讲 (2)若 bn=2?an+ 2an? ? 栏

目 解 (1)由题设可得 f′(x)=(a -a +a )-a sin x- n n+1 n+2 n+1 开 关 a cos x, n+2



?π? f′?2?=0,则 an+an+2-2an+1=0, ? ?

即 2an+1=an+an+2, 因此数列{an}为等差数列,设等差数列{an}的公差为 d,

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? ?a1=2 由已知条件? ? ?2a1+4d=8

? ?a1=2, ,解得? ? ?d=1,

an=a1+(n-1)d=n+1.
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? 1 ? 1 ? ? (2)bn=2?n+1+2n+1?=2(n+1)+2n, ? ?

1 Sn=b1+b2+?+bn=(n+3)n+1-2n 1 =n +3n+1-2n.
2

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考点二 例2 错位相减求和法

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(2013· 山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2,

a2n=2an+1.
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(1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列 {bn}满足 + +?+ a = 1 - n, n∈N* ,求 {bn} a1 a2 2 n 的前 n 项和 Tn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,

? ?S4=4S2, 由? ? ?a2n=2an+1

得 a1=1,d=2,

所以 an=2n-1(n∈N*).

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b1 b2 bn 1 (2)由已知 + +?+a =1- n,n∈N*, a1 a2 2 n
bn-1 b1 b2 1 当 n≥2 时,a +a +?+ =1- n-1, a 2 - 1 2 n 1
bn 1 ①-②得: = n, 本 an 2

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讲 b1 1 栏 目 又当 n=1 时,a =2也符合上式, 1 开 关 2n-1 bn 1 *

所以a =2n(n∈N ),所以 bn= 2n (n∈N*). n

所以 Tn=b1+b2+b3+?+bn 2n-1 1 3 5 =2+22+23+?+ 2n .

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2n-3 2n-1 1 1 3 T = + +?+ n + n+1 . 2 n 22 23 2 2
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2 ? 2n-1 1 1 ?2 2 两式相减得: Tn= +?22+23+?+2n?- n+1 2 2 ? 2 ?
2n-1 3 1 =2- n-1- n+1 . 2 2 2n+3 所以 Tn=3- 2n .

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错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法.在
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应用这种方法时, 一定要抓住数列的特征, 即数列的项可以看 作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的 求和问题.

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设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22 n 1 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
本 解 (1)由已知,得当 n≥1 时, 讲 栏 a + =[(a + -a )+(a -a - )+…+(a -a )] +a n 1 n 1 n n n 1 2 1 1 目 开 关 =3(22n-1+22n-3+?+2)+2=22(n+1)-1.

而a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1.

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(2)由 bn=nan=n· 22n-1 知 Sn=1· 2+2· 23+3· 25+?+n· 22n-1.
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从而 22· Sn=1· 23+2· 25+3· 27+?+n· 22n+1. ①-②得(1-22)Sn=2+23+25+?+22n-1-n· 22n+1, 1 + 即 Sn= [(3n-1)22n 1+2] . 9



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考点三 例3 裂项相消求和法

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(2013· 广东)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,

2 *, 满足 4Sn=an 且 a2,a5,a14 构成等比数列. +1-4n-1,n∈N

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(1)证明:a2= 4a1+5; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1a2 a2a3 anan+1 2
(1)证明
2 当 n=1 时,4a1=a2 - 5 , a 2 2=4a1+5,

又 an>0,∴a2= 4a1+5.

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(2)解 当 n≥2 时,4Sn-1=a2 n-4(n-1)-1,

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2 ∴4an=4Sn-4Sn-1=a2 - a n+1 n-4, 2 2 即 a2 n+1=an+4an+4=(an+2) ,

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又 an>0,∴an+1=an+2, ∴当 n≥2 时,{an}是公差为 2 的等差数列. 又 a2,a5,a14 成等比数列. ∴a2 a14,即(a2+6)2=a2· (a2+24),解得 a2=3. 5=a2· 由(1)知 a1=1. 又 a2-a1=3-1=2,

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∴数列{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列. ∴an=2n-1.
(3)证明
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1 1 1 + +?+ a1a2 a2a3 anan+1

1 1 1 1 = + + +?+ 1×3 3×5 5×7 ?2n-1??2n+1?
? 1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ?? ? ? = ??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? 2?? ? ? ? ? ??

1 ? 1? ? ? 1 1 - = ? < . 2n+1? 2? ? 2

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数列求和的方法:(1)一般地,数列求和应从通项 入手,若无通项,就先求通项,然后通过对通项变形,转化
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为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式,从而选 择合适的方法求和得解.(2)已知数列前n项和Sn或者前n项和 Sn与通项公式an的关系式,求通项通常利用an= ? ?S1?n=1? ? .已知数列递推式求通项,主要掌握“先猜 ? ?Sn-Sn-1?n≥2? 后证法”“化归法”“累加(乘)法”等.

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f?x? 已知 x , , 3 (x≥0)成等差数列.又数列 2 {an}(an>0)中,a1=3,此数列的前n项和为Sn,对于所有大于1 的正整数n都有Sn=f(Sn-1).
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(1)求数列{an}的第n+1项; 1 1 (2)若 bn 是 , 的等比中项,且Tn为{bn}的前n项和,求 an+1 an Tn.

f?x? 解 (1)因为 x, 2 , 3(x≥0)成等差数列, f?x? 所以 2× 2 = x+ 3,整理,得 f(x)=( x+ 3)2. 因为 Sn=f(Sn-1)(n≥2),所以 Sn=( Sn-1+ 3)2,

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所以 Sn= Sn-1+ 3,即 Sn- Sn-1= 3, 所以{ Sn}是以 3为公差的等差数列. 因为 a1=3,所以 S1=a1=3,
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所以 Sn= S1+(n-1) 3= 3+ 3n- 3= 3n. 所以 Sn=3n2(n∈N*).
所以an+1=Sn+1-Sn=3(n+1)2-3n2=6n+3. 1 (2)因为 bn是 与 的等比中项, an+1 an 1 1 所以( bn) = ·, an+1 an
2

1

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1 1 所以 bn= ·= an+1 an 3?2n+1?×3?2n-1?
1 ? 1 ? ? 1 =18×?2n-1-2n+1? ?, 本 ? ?
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1

Tn=b1+b2+?+bn
? 1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ?? ? ? =18??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ? ?? ? ??

1 ? 1? n ? ? 1 - =18? ?=18n+9. 2 n + 1 ? ?

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考点四 例4
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数列的实际应用

(2012· 湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生

产.该企业第一年年初有资金 2 000 万元,将其投入生产, 到当年年底资金增长了 50%,预计以后每年资金年增长率 与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始, 每年年底上 缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万 元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).

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(1)由第 n 年和第(n+1)年的资金变化情况得出 an 与 an+1 的递推关系; (2)由 an+1 与 an 之间的关系,可求通项公式,问题便可求解.
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(1)由题意得 a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,

3 5 a2=a1(1+50%)-d=2a1-d=4 500-2d. 3 an+1=an(1+50%)-d=2an-d.
? 3 3?3 (2)由(1)得 an=2an-1-d=2?2an-2-d?-d ? ? ?3? 3 2 =?2? an-2-2d-d=? ? ?

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? ?3? - ? ?3? - 3 ?3?2 ? n 1 =?2? a1-d?1+ +?2? +?+?2? n 2? . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

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整理得
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?3? - an=?2?n 1(3 ? ?

??3? - ? n 1 000-d)-2d??2? -1? ?? ? ?

?3? - =?2?n 1(3 ? ?

000-3d)+2d.

由题意,知 am=4 000,
?3? - 即?2?m 1(3 ? ?

000-3d)+2d=4 000,
000 1 000?3m-2m 1? = . 3m-2m


解得

??3? ? m ?? ? -2?×1 ??2? ? d= ?3? ? ?m-1 ?2?

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1 000?3m-2m+1? 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时, 3m-2m
经过 m(m≥3)年企业的剩余资金为 4 000 万元.
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用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数 学模型——数列模型,弄清所构造的数列的首项是什么,项数 是多少,然后转化为解数列问题.求解时,要明确目标,即搞 清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应 的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进 行合理推算,得出实际问题的结果.

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某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提 下,可卖出 b 千克.若做广告宣传,广告费为 n(n∈N*)千元 b 时比广告费为(n-1)千元时多卖出 n千克. 2
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(1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 S; (2)试写出销售量 S 与 n 的函数关系式; (3)当 a=50,b=200 时,要使厂家获利最大,销售量 S 和广 告费 n 分别应为多少?
解 b 3b (1)当广告费为 1 千元时,销售量 S=b+2= 2 .

b b 7b 当广告费为 2 千元时,销售量 S=b+ + 2= . 2 2 4

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(2)设 Sn(n∈N)表示广告费为 n 千元时的销售量, b 由题意得 S1-S0=2, b S2-S1=22, 本 ?? 讲 b 栏 Sn-Sn-1= n. 2

目 b b b b 开 关 以上 n 个等式相加得,Sn-S0=2+22+23+?+2n,

1 n+1 b[1-?2? ] b b b b 即 S=Sn=b+2+22+23+?+2n= 1 1- 2 1 =b(2-2n).

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(3)当 a=50,b=200 时,设获利为 Tn,则有 1 Tn=Sa-1 000n=10 000×(2-2n)-1 000n 10 =1 000×(20- 2n -n), 10 设 bn=20- 2n -n, 10 10 5 则 bn+1-bn=20- n+1-n-1-20+ n +n= n-1, 2 2 2 当 n≤2 时,bn+1-bn>0;当 n≥3 时,bn+1-bn<0.
所以当 n=3 时,bn 取得最大值,即 Tn 取得最大值, 此时 S=375,

即该厂家获利最大时,销售量和广告费分别为 375 千克和 3 千元.

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1.数列综合问题一般先求数列的通项公式,这是做好该类题
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的关键. 若是等差数列或等比数列, 则直接运用公式求解, 否则常用下列方法求解: ? ?S1?n=1? (1)an=? . ? ?Sn-Sn-1?n≥2? (2)递推关系形如 an+1-an=f(n),常用累加法求通项. an+1 (3)递推关系形如 a =f(n),常用累乘法求通项. n

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(4)递推关系形如“an+1=pan+q(p、 q 是常数, 且 p≠1, q≠0)” 的数列求通项,此类通项问题,常用待定系数法.可设 an+1
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+λ=p(an+λ),经过比较,求得 λ,则数列{an+λ}是一个等比 数列. (5)递推关系形如“an+1=pan+qn(q, p 为常数, 且 p≠1, q≠0)” 的数列求通项,此类型可以将关系式两边同除以 qn 转化为类 型(4),或同除以 pn+1 转为用迭加法求解.

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2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型: (1) 错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题 求解.
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(2)并项求和时,将问题转化为等差数列求和. (3)分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位相减法或 裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解. 提醒:运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的 n +1 项中的前 n 项,哪些项构成等比数列,以及两边需除 以代数式时注意要讨论代数式是否为零.

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3 .数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能
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力.其中,建立数列模型是解决这类问题的核心,在试题 中主要有:一是,构造等差数列或等比数列模型,然后用 相应的通项公式与求和公式求解;二是,通过归纳得到结 论,再用数列知识求解.

押题精练

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1.在一个数列中,如果?n∈N*,都有 anan+1an+2=k(k 为常 数),那么称这个数列为等积数列,称 k 为这个数列的公
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积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,

28 则 a1+a2+a3+?+a12=________.
解析 依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1, a2=2,a3=4,

因此 a1+a2+a3+?+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4) =28.

押题精练

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2.秋末冬初,流感盛行,特别是甲型 H1N1 流感.某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an},已知 a1 =1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则该医院 30
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255 . 天入院治疗甲流的人数共有________
解析 由于 an+2-an=1+(-1)n,
所以 a1=a3=?=a29=1, a2,a4,?,a30 构成公差为 2 的等差数列, 所以 a1+a2+?+a29+a30 15×14 =15+15×2+ ×2=255. 2

押题精练

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3.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足: a2· a4=65,a1+a5=18. (1)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值;
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n (2)设 bn= ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1 ?2n+1?Sn +b2+?+bn<m 对于任意的正整数 n 均成立,若存在,求 出常数 m;若不存在,请说明理由.

解 (1){an}为等差数列,∵a1+a5=a2+a4=18, 又 a2· a4=65, ∴a2,a4 是方程 x2-18x+65=0 的两个根,

押题精练

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又公差 d>0,∴a2<a4,∴a2=5,a4=13.
? ?a1+d=5, ∴? ? ?a1+3d=13,

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∴a1=1,d=4.∴an=4n-3.
由于 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项, ∴a1· a21=a2 i, 即 1· 81=(4i-3)2,解得 i=3. n?n-1? (2)由(1)知,Sn=n· 1+ · 4=2n2-n, 2

押题精练
1 所以 bn= ?2n-1??2n+1? 1 ? 1? ? 1 =2?2n-1-2n+1? ?, ? ?
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b1+b2+?+bn
1 1 1 1 1 ? 1? n ? ? 1 - + - + ? + - =2? ?=2n+1, 3 3 5 2 n - 1 2 n + 1 ? ?
n 1 1 1 因为 = - < , 2n+1 2 2?2n+1? 2

1 所以存在 m= 使 b1+b2+?+bn<m 对于任意的正整数 n 均成 2 立.


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