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《3.4第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》 教案


第四节

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及 三角函数模型的简单应用

适用学科 适用区域 知 识 点

数学 新课标 三角函数模型的简单应用

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象 教学目标 变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 教学重点 教学难点 y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用 结合三角恒等变形,应用 y=Asin(ωx+φ)的性质解决三角函数的问题.

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教学过程
复习预习 1. 2. 3. 正弦函数的图像与性质 余弦函数的图像与性质 正切函数的图像与性质

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知识讲解 考点 1 y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x ∈[0,+∞)表示一个振动量时 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f=T=2π 相位 ωx+φ 初相 φ

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考点 2

用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图

用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) φ -ω 0 0 φ π -ω+2ω π 2 A π-φ ω π 0 3π φ 2ω-ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

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考点 3

函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤 法一 法二

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例题精析 【例题 1】 A 【题干】已知向量 m=(sin x,1),n= 3Acos x, 2 cos 2x(A>0),函数 f(x)=m· n 的最大值为 6. (1)求 A; π 1 (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2倍,纵坐标不变,得到函 5π? ? 数 y=g(x)的图象,求 g(x)在?0,24?上的值域. ? ?

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【解析】(1)f(x)=m· n π? A ? 3 ? 1 ? = 3Asin xcos x+ 2 cos 2x=A? sin 2x+ cos 2x?=Asin?2x+6?. ? ? 2 ?2 ? 因为 A>0,由题意知 A=6. π? π ? (2)由(1)知 f(x)=6sin?2x+6?.将函数 y=f(x)的图象向左平移12个单位后得到 ? ? π ? π? π? ? ? x+12?+ ?=6sin? 2x+3?的图象; ? y=6sin?2? ? 6? ? ? ? ? π? 1 ? 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的2倍,纵坐标不变,得到 y=6sin?4x+3?的图象. ? ? π? ? 因此 g(x)=6sin?4x+3?. ? ? 5π? π ?π 7π? ? 因为 x∈?0,24?,所以 4x+3∈?3, 6 ?, ? ? ? ? 5π? ? 故 g(x)在?0,24?上的值域为[-3,6]. ? ?

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【例题 2】 π π 【题干】设函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<2)的部分图象如图所示,直线 x=6是它的一条对称轴,则函数 f(x)的 解析式为( )

? π? A.f(x)=sin?x+3? ? ? π? ? C.f(x)=sin?4x+3? ? ?

π? ? B.f(x)=sin?2x-6? ? ? π? ? D.f(x)=sin?2x+6? ? ?

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【答案】选 D T 5π π π 【解析】∵由题意可知,4 =12-6=4, 2π π π ∴T=π= ω ,∴ω=2.再将 x=6代入 B,D 检验直线 x=6是否是对称轴,得 D 选项正确.

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【例题 3】 π π? ? 【题干】已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R?其中A>0,ω>0,-2<φ<2?,其部分图象如图所示. ? ?

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知横坐标分别为-1、1、5 的三点 M、N、P 都在函数 f(x)的图象上,求 sin∠MNP 的值.

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【解析】(1)由图可知, 2π π 最小正周期 T=4× 2=8,所以 T= ω =8,ω=4. π π ?π ? 又 f(1)=sin?4+φ?=1,且-2<φ<2, ? ? π π 3π π π π π 所以-4<4+φ< 4 ,所以4+φ=2,φ=4.所以 f(x)=sin4(x+1). π (2)因为 f(-1)=sin4(-1+1)=0, π π f(1)=sin4(1+1)=1,f(5)=sin4(5+1)=-1, 所以 M(-1,0),N(1,1),P(5,-1), 所以|MN|= 5,|MP|= 37,|PN|= 20, 从而 cos∠MNP= 5+20-37 2 5× 20 3 =-5, 4 1-cos2∠MNP= . 5
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由∠MNP∈(0,π),得 sin∠MNP=

课堂运用 【基础】 1.(2012· 浙江高考)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

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解析:选 A 变换后的三角函数为 y=cos(x+1),结合四个选项可得 A 选项正确.

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π 2.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+h(ω>0,0<φ<2)的图象如图所示,则 f(x)=( ? x π? A.4sin?2+4?+2 ? ? ? x π? B.-4sin?2-4?+2 ? ? ? x π? C.2sin?2+4?+4 ? ? ? x π? D.-2sin?2+4?+4 ? ?

)

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解析:选 C

6-2 π ? 1 ?π ? π?? -2??=4π,所以 ω= .点? ?2,6?相当 由题中的图象可知,A= 2 =2,h=4,函数 f(x)的周期为 4?2-? ? ?? 2 ? ? ?

1 π π π 于五点作图法的第二个点,所以2× + φ = ,所以 φ = 2 2 4,根据以上分析结合函数的图象特征可知函数 f(x)的解析式为 f(x) ? x π? =2sin?2+4?+4. ? ?

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π 3.(2013· 江西九校联考)已知 A,B,C,D 是函数 y=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<2一个周期内的图象上的四个点,如图 ? π ? 所示,A?-6,0?,B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称,CD ? ? π 在 x 轴上的投影为12,则 ω,φ 的值为( π A.ω=2,φ=3 1 π C.ω=2,φ=3 ) π B.ω=2,φ=6 1 π D.ω=2,φ=6

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π π T π π ? π ? 解析:选 A 由 CD 在 x 轴上的投影为12,知 OF=12,又 A?-6,0?,所以 AF=4 =2ω=4,所以 ω=2. ? ? φ φ π π 同时函数图象可以看做是由 y=sin x 的图象向左平移而来,故可知ω=2=6,即 φ=3

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【巩固】 π? π? ? ? 4.已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同.若 x∈?0,2?,则 f(x)的取 ? ? ? ? 值范围是________.

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π? ? 解析: ∵f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同, ∴f(x)与 g(x)的最小正周期相等. ∵ω>0, ∴ω=2, ∴f(x)=3sin?2x-6?. ? ? π π π 5π ∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 , π? π? 1 3 ? ? ? 3 ? ∴- ≤sin?2x-6?≤1,∴- ≤3sin?2x-6?≤3,即 f(x)的取值范围为?-2,3?. 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 答案:?-2,3? ? ?

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? ?π?? 5.(2013· 苏州模拟)设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤?f?6??对一切 x∈R 恒成立,则 ? ? ?? π 2π? ?11π? ? ?7π?? ? ?π?? ? ①f? 12 ?=0;②?f?10??<?f?5??;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; ④f(x)的单调递增区间是?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈ ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).

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解析: f(x)=asin 2x+bcos 2x=

b? ? ? ?π?? ?π ? a2+b2sin(2x+φ)?其中tan φ=a?, 因为对一切 x∈R, f(x)≤?f?6??恒成立, 所以 sin?3+φ? ? ? ? ? ?? ? ?

π? π ? ?11π? ? 11π π? ? ?7π?? =± 1,可得 φ=kπ+6(k∈Z),故 f(x)=± a2+b2sin?2x+6?.而 f? 12 ?=± a2+b2· sin?2×12 +6?=0,所以①正确;?f?10?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? =? ? a2+b2sin 47 ? ? π =? 30 ? ? ? a2+b2sin 17 ? ? ?π?? ? π ,?f? ??=? 30 ? ? ? ?5?? ? a2+b2sin 17 ? ? ?7π?? ? ?π?? π?,所以?f? ??=?f? ??,故②错误;③明显正确;④错 30 ? ? ?10?? ? ?5??

误;由函数 f(x)=

π? ? a2+b2sin?2x+6?和 f(x)=- ? ?

π? ? a2+b2sin?2x+6?的图象可知(图略),不存在经过点(a,b)的直线与函数 ? ?

f(x)的图象不相交,故⑤错. 答案:①③

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【拔高】 6.设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相;(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

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π? 2π ?1 ? 3 ? 解: (1)f(x) = sin ωx + 3cos ωx = 2 ? sin ωx+ cos ωx? = 2sin ?ωx+3? . 又 ∵ T = π , ∴ ω = π ,即 ω = 2. ∴ f(x) = ? ? 2 ?2 ? π? π ? 2sin?2x+3?,∴函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx 的振幅为 2,初相为3. ? ? (2)列出下表 π 2x+3 x π? ? y=2sin?2x+3? ? ? 0 π -6 0 π 2 π 12 2 π π 3 0 3 2π 7π 12 -2 2π 5 6π 0

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描点画出图象如图.

π ? π? ? π? (3)把 y=sin x 图象上所有的点向左平移3个单位,得到 y=sin?x+3?的图象,再把 y=sin?x+3?的图象上所有点的横 ? ? ? ? π? π? 1 ? ? 坐标缩短到原来的2(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+3?的图象,然后把 y=sin?2x+3?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来 ? ? ? ? π? ? 的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ?

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?x π? ? x π? 7.已知函数 f(x)=2 3· sin?2+4?cos?2+4?-sin(x+π). ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.

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? 3 ? 1 ? π? ? π? 解:(1)因为 f(x)= 3sin?x+2?+sin x= 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x?=2sin?x+3?, ? ? ? ? 2 ?2 ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π? π ?? π? π? ? π? x-6?+ ?=2sin? x+6?.∵x∈[0, ? (2)∵将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象,∴g(x)=f?x-6?=2sin?? ? 3? ? ? ? ? ?? π ?π 7π? π],∴x+6∈?6, 6 ?, ? ? π π π ∴当 x+6=2,即 x=3时, ? π? sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? π 7π 1 ? π? 当 x+6= 6 ,即 x=π 时,sin?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. ? ?

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课程小结
1.确定 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π)中的参数的方法: 在由图象求解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= φ 由特殊点确定. 2.由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的 |φ| 量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 ω (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针 对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是于 ωx 加减多少值. M-m M+m 2π , k = , ω 由周期 T 确定,即由 2 2 ω =T 求出,

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