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黄冈市2016年高三年级3月份质量检测数学文科


黄冈市 2016 年高三年级 3 月份质量检测 数学试题(文科)
黄冈市教育科学研究院命制 2016 年 3 月 14 日下午 3:00~5:00
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1·若复数 z 满足

z ? i 2015 ? i2016 i 为虚数

单位) ,则复数 z= 1? i

A.1 B.2 C .i D.2i 2.设集合 A={x| x>-l},B={x| |x|≥1},则“x∈A 且 x ? B”成立的充要条件是 A. -l<x≤l B. x≤1 C x> -1 D.-1< x<l 3.下列命题中假命题的是 A. ? x0∈R,lnx0 <0 B. ? x∈(-∞,0),ex>x+1 x x C. ? x>0,5 >3 D. ? x0∈(0,+∞) ,x0<sinx0

1 x2 y 2 4.已知双曲线 2 ? 2 =1 的渐近线方程为 y= ? x ,则此双曲线的离心率为 3 a b
A.

2 2 3

B.

10 3

C.3

.D. 10

5.已知函数 y=f(x-l)+x2 是定义在 R 上的奇函数,若 f(-2) =1,则 f(0)= A.-3 B. -2 C.-1 D.0 6.已知正项数列{an}中,a1=l,a2=2, 2an?1 ? an?1 ? an?1 (n≥2)则 a6=
2 2 2

A.16

B.4

C. 2 2

D.45

7.设 P 是△ABC 所在平面内一点,且满足 | 3AP ? AB ? AC |? 0 .则△ABP 与△ABC 面积 之比为 A.

uu u r uu u r uuu r

3 4

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

8.如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的 T 是

A.1 B.2 C.3 9.已知 f(x) =Asin( ? x ? ? )(A>0, ? >0,0< ? < ? ),函数 f(x)的图象如图所示,则 f(2016 ? )的值为 A.

D .4

2

B. - 2 D.- 3

C. 3

10.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表

面积为 A. 87 ? C.32 ?

B.16 ? D.64 ?

?3 x ? 4 y ? 10 ? 0 ? , 表示区域 D,过区域 D 中任意一点 11.已知不等式组 ? x ? 4 ?y ? 3 ?
P 作圆 x2+ y2 =1 的两条切线且切点分别为 A,B,当∠PAB 最小时, cos∠PAB=

1 1 3 3 B. C.一 D一 2 2 2 2 ur u u r u u r u u r 12.将向量 a1 =(x1,y1), a2 =(x2,y2),? an =(xn,yn)组成的系列称为向量列{ an },并定义向
A. 量列{ an }的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an .如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项 的差都等于同一个向量,那么称这样的向量列为等差向量列。若向量列{ an }是等差向量 列,那么下述四个向量中,与 S 21 一定平行的向量是 A. a10

u u r

uu r

u r

u u r

u u r

u u r

uu r

uu r

B. a11

uu r

C. a20

uu r

D. a 21

uu r

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.两位女生和两位男生站成一排照相,则两位男生不相邻的概率是 。 x 14.函数 f(x)=e cosx 在点(0,f(0))处的切线方程为 。 2 15. 已知抛物线 y = 2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 且倾斜角为 60°的直线与抛物线交于 A、 B 两点(A 点位于 x 轴上方) ,若△AOF 的面积为 3 3 ,则 p= .

16.x∈R 时,如果函数 f(x)>g(x)恒成立,那么称函数 f(x)是函数 g(x)的“优越函 数” .若函数 f(x)=2x2+x+2-|2x-1|是函数 g(x)=|x-m|的“优越函数” ,则实数 m 的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2cos(2 ? x +

? )一 2cos2 ? x +1( ? >0)的最小正周期为亿 3

(I)求 f(x)的对称中心; (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A.B、C 的对边长分别为 a、b、c,若△ABC 为锐角三角形且 f(A)=0,求

b 的取值范围. c

18. (本小题满分 12 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质 m 的严重问题,为了了解强度 D(单 位:分贝)与声音能量 I(单位: W/cm2)之间的关系,将测量得到的声音强度 Di 和声音能 量 Ii(i=1.2.?,10)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(I)根据表中数据,求声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程 D=a+blgI; (Ⅱ)当声音强度大于 60 分贝时属于噪音,会产生噪声污染,城市中某点 P 共受到两个 声源的影响,这两个声源的声音能量分别是 I1 和 I2,且

1 1 ? ? 1010 .已知点 P 的声音 I1 I 2

能量等于声音能量 Il 与 I2 之和.请根据(I)中的回归方程,判断 P 点是否受到噪声污染的干 扰,并说明理由. 附:对于一组数据(μ l,ν 1) , (μ 2,ν 2) ,??(μ n,ν n) ,其回归直线ν =α +β μ 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为:

19.(本小题满分 12 分) 已知四棱台 ABCD- A1B1C1D1 的上下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形,AA1=4 且 AA1⊥底面 ABCD,点 P 为 DD1 的中点. (I)求证:AB1⊥面 PBC; (Ⅱ)在 BC 边上找一点 Q,使 PQ∥面 A1ABB1,并求三 棱锥 Q-PBB1 的体积。

20.(本小题满分 1 2 分) 已知函数 f(x) =lnx-mx+m. (I)求函数 f(x)的单调区间; (JJ)若 f(x)≤0 在 x∈(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. 21.(本小题满分 1 2 分) 已知椭圆 C:

3 3 x2 y 2 ,点 A(1, )在椭圆 C 上. ? 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 2 a b 2 2

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满 足此圆与 l 相交于两点 P1,P2(两点均不在坐标轴上) ,且使得直线 OP1,OP2 的斜率之 积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:平面几何选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证:(I)∠DFA=∠DFA; (Ⅱ)AB2= BE·BD-AE·AC

23.(本小题满分 10 分)选修 4--4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为

??

sin ? cos 2 ?

(I)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)作斜率为 l 直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求

1 1 ? 的值. | PA | | PB |

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a. (I)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x); (Ⅱ)若存在 x=∈R,使得 f(x)≥g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

2016 年高三 3 月模拟考试数学参考答案(文科)
一、选择题 1 B 2 D 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 9 A 10 C 11 B 12 B

二、填空题

1 13. 2

14. x ? y ? 1 ? 0

15. 2 3

1 ( ? ,1) 16. 2 解析:
题 设 条 件 等 价 于

2 x2 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? x ? m 对 x ? R 恒 成 立 。 分 别 作 出 函 数

F ( x) ? 2x2 ? x ? 2 ? 2x ?1 和 G( x) ? x ? m 。

G( x) ? x ?1

1 ? ? m ?1 由数形结合知, 2
考察知识点如下: 重在考察数形结合,等价转换,函数与方程的能力,图中一条直线与两段抛物线同时相切的设计 是非常巧妙的。

三、解答题 17.(本小题满分 12 分)

f ( x) ? 2 cos( 2 x ?
解: (1)由条件得

?
3

) ? 2 cos 2 x ? 1

? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? ?2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1
…………3 分

2x ?


?
6

? k? (k ? Z )

x??
解得

?
12

?

k? 2

(?
故所求对称中心为

?
12

?

k? ,1) (k ? Z ) …………6 分 2

f ( A) ? ?2 sin( 2 A ?
(2)由

?
6

) ?1 ? 0
解得

A?

?
3,

B?C ?

2? 3

b sin B ? ? 所以 c sin C

sin(

2? ? C) 3 1 3 ? ? sin C 2 tanC 2

?
又 ?ABC 为锐角三角形,故 6

?C?

?
2

b 1 1 b 3 1 ( ,2) ? ? ? ?2 所以 2 c 2 tanC 2 ,即 c 的取值范围是 2 ………………12 分
18. 解: (Ⅰ)根据散点图, D ? a ? b lg I 适合作为声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程 令 wi ? lg I i ,先建立 D 关于 I 的线性回归方程,由于

?? b

? (w
i ?1

10

i

? w )(Di ? D )
i

? (w
i ?1

10

?

? w)2

5.1 ? 10 0.51
????????3 分



?w ? 160.7 ? ? D ?b a
??5 分 ??6 分

? ? 10w ? 160.7 ∴D 关于 w 的线性回归方程是: D

? .7 ∴D 关于 I 的线性回归方程是: D ? 10lg I ? 160
1 4 ? ? 1010 I I 2 (Ⅱ)点 P 的声音能量 I ? I1 ? I 2 ,∵ 1
? I ? I1 ? I 2 ? 10?10 (

I 4I 1 4 ? )( I1 ? I 2 ) ? 10?10 (5 ? 2 ? 1 ) ? 9 ?10?10 I1 I 2 I1 I 2
,??10 分

根据(Ⅰ)中的回归方程,点 P 的声音强度 D 的预报值:

? ? 10lg(9 ?10?10 ) ? 160.7 ? 10lg 9 ? 60.7 ? 60 D ,
∴点 P 会受到噪声污染的干扰. ??12 分

19.解(1)∵ AA1 ⊥面 ABCD,BC ? 面 ABCD ∴ AA1 ⊥BC
1 B1 B ∵ABCD 是正方形,∴AB⊥BC ∴BC⊥面 AA 1 B1 B ∴ AB 1 ⊥BC ∵ AB1 ? 面 AA

………………2 分

取 AA1 中点 M 连结 BM,PM ∴PM∥AD,∴PM∥BC ∴PMBC 四点共面 由△ABM≌△ A1 B1 A ,可证得 AB1 ⊥BM??????4 分 ∵BM∩BC=B,∴ AB1 ⊥面 PBC????????6 分
1 ABB 1 (2)在 BC 边上取一点 Q,使 PQ//BM,则 PQ//面 A

1 ( A1 D1 ? AD ) ? 3 ∵PQBM 为平行四边形,∴BQ=PM= 2 ????8 分
∵PM∥平面 BB1C1C ∴

V三棱锥Q?PBB1 ? V三棱锥P?QBB1 ? V三棱锥M ?QBB1 ? V三棱锥Q?MBB1
1 ? S ?MBB1 ? | BQ |? 6 3 ????12 分
f ' ( x) ?
'

?

20. 解: (Ⅰ)

1 1 ? mx ?m ? ( x ? (0, ??)) x x ,

当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 此时函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间;

当 m ? 0 时,由

f ' ( x) ?

1 1 1 ? mx x ? (0, ) ?m ? ?0 m , x x ,得

]



f ' ( x) ?

1 1 1 ? mx x ? ( , ?? ) ?m ? ?0 m x x ,得 , x ? (0, 1 1 ) ( , ?? ) m ,单调递减区间为 m …………… 5 分

此时 f ( x) 的单调递增区 间为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当 m≤ 0 时,f(x)在 (0, ??) 上递增,f(1)=0,显然不成立;

1 1 f ( x) max ? f ( ) ? ln ? 1 ? m ? m ? ln m ? 1 m m 当 m>0 时,

只需 m ? ln m ? 1 ? 0 即可, 令 g ( x) ? x ? ln x ? 1 ,



g ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x , x ? (0, ??)

得函数 g ( x) 在(0,1)上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0

g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,也就是 m ? ln m ? 1 ? 0 对 m ? (0, ??) 恒成立,
∴ m ? ln m ? 1 ? 0 ,解 m ? 1 , ∴若 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,则 m ? 1 21.(Ⅰ)解:由题意,得
c 3 , a 2 ? b2 ? c 2 , ? a 2

……………12 分

又因为点 A(1, 3 ) 在椭圆 C 上,

2

1 3 ? 2 ?1 2 所以 a 4b , 解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 ,

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

????5 分 证明如下:

2 2 (Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为 x ? y ? 5 .

2 2 2 假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 x ? y ? r (r ? 0) .

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1, 由方程组 ? 4

2 2 2 得 (4k ? 1) x ? 8kmx? 4m ? 4 ? 0 ,

因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,
2 2 2 2 2 所以 ?1 ? (8km) ? 4(4k ? 1)(4 m ? 4) ? 0 ,即 m ? 4k ? 1 .

??7 分

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由方程组 ? x ? y ? r ,

2 2 2 2 得 (k ? 1) x ? 2kmx ? m ? r ? 0 ,

2 2 2 2 则 ?2 ? (2km) ? 4(k ? 1)(m ? r ) ? 0 .

1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 设P

x1 ? x2 ?

?2km m2 ? r 2 x ? x ? 1 2 k2 ?1 , k2 ?1 ,

设直线 OP 2 的斜率分别为 k1 , k 2 , 1 , OP

所以

k1k2 ?

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

k2 ?

m2 ? r 2 ?2km ? km ? 2 ? m2 m2 ? r 2 k 2 k2 ?1 k ?1 ? 2 2 m ?r m2 ? r 2 k2 ?1 ,
k1 ? k2 ? (4 ? r 2 )k 2 ? 1 4k 2 ? (1 ? r 2 ) .??10 分

2 2 将 m ? 4k ? 1 代入上式,得

4 ? r2 1 ? 2 k k 1 ? r 2 ,即 r ? 5 ,验证符合题意. 要使得 1 2 为定值,则 4

1 . 所以当圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 时,圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足 k1 k 2 为定值 ? 4
当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 ,
1 . 此时,圆 x2 ? y 2 ? 5 与 l 的交点 P 1, P 2 也满足 k1k2 ? ? 4

1 .??12 分 综上,当圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 时圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足斜率之积 k1 k 2 为定值 ? 4
22.证明:(1)连结 AD,因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠EFA=90°, 则 A、D、E、F 四点共圆,∴∠DEA=∠DFA;……5 分 (2)由(1)知,BD·BE=BA·BF, 又△ABC∽△AEF,



,即 AB·AF=AE·AC,

∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF)=AB2。……10 分 23.(1)令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 代入得 y ? x
2

??5 分

? 2 t ?x ? ? 2 ? ?y ? 2? 2 t 2 ? 2 ,代入 y ? x 得 (2)设 A,B 两点对应参数为 t1,t2,直线 l 方程 ?

t 2 ? 2t ? 4 ? 0, t1t2 ? ?4, t1 ? t2 ? 2 ,
(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 3 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? PA PB t1 t2 t1t2 4

??10 分

1 2 2 24.(1)由题意,得|x+1|≥2|x|.故 x +2x+1≥4x ,∴- ≤x≤1. 3 1 ∴不等式 f(x)≥g(x)的解集为[- ,1].??5 分 3 (2)若存在 x∈R, 使得|x+1|≥2|x|+a 成立, 即存在 x∈R, 使得|x+1|-2|x|≥a 成立. 令 φ (x) =|x+1|-2|x|,则 a≤φ (x)max. 1-x,x≥0, ? ? 又 φ (x)=?3x+1,-1≤x<0, ? ?x-1,x<-1, 当 x≥0 时,φ (x)≤1;当-1≤x<0 时,-2≤φ (x)<1; 当 x<-1 时,φ (x)<-2.综上可得:φ (x)≤1, ∴a≤1,即实数 a 的取值范围为(-∞,1].??10 分


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