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量子理论的诞生和发展——从量子论到量子力学


量子理论的诞生和发展— — —从量子论到量子力学 !
彭 桓 武
(中国科学院理论物理研究所 北京 !"""#")





简要叙述, 从普朗克 !$"" 年首次对电磁波提出量子假设到狄拉克 !$%# 年对电子提出相对论性方程这段

时间内, 量子理论特别是量子力学诞生和发展的演化过程 & 内容分黑体辐射和量子假设; 老量子论的兴与衰; 第一条 通向量子力学的路— — —对应原理, 包括矩阵力学, 狄拉克的 ’ ( 数; 第二条通向量子力学的路— — —波粒二象性, 波动力 学; 以及量子力学初步成长 (指 !$%) 年的表象理论、 不确定关系、 氦原子及氢分子和 !$%# 年的狄拉克相对性电子理 论) 五个部分 & 关键词 量子论, 量子力学, 矩阵力学, 波动力学

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磁波时的多普勒效应, 推导出腔辐射的能量密度对

! 黑体辐射和量子假设
量子概念和量子假设首先是在对黑体辐射的谱 分析的精细实验基础上作理论研究形成, 由普朗克 于 !$"" 年 !% 月 !O 日提出的 & 黑体是这 样 一 个 物 体, 它对于从各方向射来的各种频率的辐射都百分 之百地吸收 & 这个理想物体可由壁周围皆处于同一 温度下的腔体内部来实现 & !#K$ 年, 基尔霍夫发现, 在壁周围皆处于同一温度下的腔体内部建立的热辐 射只与温度有关而与壁材料无关 & 这称为腔辐射或 黑体辐射 & !##O 年, 玻尔兹曼根据光和辐射都是电 磁波, 推出辐射压力为辐射能量密度的三分之一, 再 利用热力学, 推出辐射能量密度与绝对温度四次方 成正比的斯特藩 ( 玻尔兹曼定律, 因为 !#)$ 年斯特 藩已从实验上发现了这条定律 & !#$P 年, 维恩进一 步考虑一个收缩的球形腔, 并利用运动界面反射电
P" 卷(%""! 年)K 期

辐射频率的分布函数为频率的立方乘一个只依赖于 频率与温度之商的函数 & 这结果包含了维恩位移定 律, 也包含了斯特藩 ( 玻尔兹曼定律 & 但他不能从理 论上定出这函数的具体形式, 转而从事实验 & 他与陆 末 !#$K 年发明了在腔壁上开一小孔, 这对腔内辐射 状态影响不大, 但对不同频率的腔辐射强度可作定 量的测量 & 根据实验结果, 维恩于 !#$N 年提出半经 验公式, 将上述函数取为指数衰减型, 称为维恩公 式 & 但这只能与实验的高频部分数据弥合得好, 到 陆末和普林斯海姆的实验与维恩公式在稍 !#$$ 年, 低一些的频率处偏差已很显著 & !$"" 年, 瑞利根据 辐射为电磁振动, 将一立方腔电磁场作模分解后, 利 用经典理论的能量均分定理, 每个振动模具有玻尔 兹曼常数乘其绝对温度的平均能量, 这样得到腔辐
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射的能量密度对辐射频率的理论分布函数, 称为瑞 利公式 ! 瑞利公式与当时鲁本斯和库尔鲍姆的实验 在低频部分符合得很好, 但在高频肯定不能用, 因它 在对频率积分时发散 ! 普朗克得知这新实验结果验 证了瑞利公式在低频的正确, 又早知维恩公式在高 频的与实验弥合很好, 便赶紧做瑞利公式和维恩公 式的插值公式 ! 他分别从瑞利公式和维恩公式求出 其能量涨落, 将二者相加作为插值公式的能量涨落, 这样求出插值公式, 称为普朗克公式 ! 这插值公式在 低频和高频两极限情况下分别退化为瑞利公式和维 恩公式, 在中间的频率处它与实验数据也符合得很 好 !"#$$ 年 "$ 月 "# 日普朗克在德国物理学会上就 此作了报告 ! 为给这有牢固的实验基础的普朗克公式一个理 论说明, 普朗克同瑞利一样用模分解, 但不得不放弃 能量均分定理而引入一个崭新的能量量子 (简称量 子) 的概念, 假设辐射能量在吸收或发射时是以不可 分割的整个能量量子进行 ! 量子的能量为该模的振 动频率乘以一个固定的常量, 现称为普朗克常量 ! 采 用这个量子假设, 普朗克便能根据统计热力学推导 出一个振动模 (以后简称振子) 的平均能量的量子公 式, 这样恰好导出他前面凑出的普朗克公式 ! 普朗克 于 "#$$ 年 "% 月 "& 日在德国物理学会上报告了这 个理论推导, 以及从辐射实验定出的普朗克常量和 玻尔兹曼常量的具体数值 ! 这日便成为量子理论 (一 般为含有普朗克常量的理论的通称) 的生日 !

年从辐射振子的能量, 据普朗克假设, 只能取整数个 量子出发, 用玻尔兹曼因子作权重直接导出振子的 平均能量的量子公式, 给普朗克公式添一个简单证 明 ! 他在 "#"% 年对固体中振动模的分布作简单近似 (通称德拜近似) 后, 用这公式解释了固体的低温热 容行为, 发展了低温热容的量子理论 ! 但量子论的更系统的运用和发展则是与分子和 原子光谱的实验紧密联系的 ! 光谱是复杂的, 包含很 多条频率不同的谱线 ! 康维 "#$( 年想象不同频率的 谱线是由大量不同原子或分子产生的, 每次吸收或 发射只牵涉到某一条一定频率的谱线和一定状态的 原子或分子 ! 里兹 "#$* 年整理谱线频率, 发现其中 有如下的组合规则, 即某些谱线的频率为另外两条 谱线频率之和, 因而谱线频率皆可表示为两个光谱 项之差 ! 反过来看, 并不是任意两个光谱项之差都是 谱线, 有所谓选择规则需要满足 ! "#"% 年, +,-../0 将 量子概念用到氯化氢和溴化氢气体的红外吸收带 时, 错误地将分子的转动模— — —简称转子— — —的能 量量子取为普朗克常量乘转动频率 ! 埃伦菲斯特于 取转子的能量子为普朗克常 "#"1 年对此作了改进, 不像振 量乘转动频率的一半 ! 理由是转子只有动能, 子还有位能 ! 他发现转子的量子化条件为角动量须 为普朗克常量除以圆周弧度的整数倍 ! 弗兰克和赫 兹于 "#"1 年用电子撞击气体原子, 发现能量转移是 依不同原子按一定的分立的数量间断地进行, 表明 原子的确有分立的能级, 但不是等间隔的 ! "#"1 年, 玻尔将量子概念用以解释氢原子光谱时, 就是利用 卢瑟福根据其!粒子散射实验 ("#"") 而建立的核原 子模型, 用经典力学处理电子绕原子核的圆周轨道, 加上角动量等于普朗克常量除以圆周弧度的整数倍 的量子化条件, 这样定出氢原子的能级, 计算结果与 氢原子光谱项符合一致 ! 原子从能量高的能级跃迁 到低的能级时, 从能量守恒得知发射的光量子频率 为能级间能量差除以普朗克常量, 这称为普朗克 ) 玻尔关系 ! 原子从低能级跃迁到高能级时吸收光量 子的频率也由普朗克 ) 玻尔关系决定 ! 量子理论用 能级间的跃迁解释光谱, 能量转移以整个能量子进 行, 与按经典电动力学预计的电子应连续地辐射能 量而缩小轨道半径的行为迥然不同 ! 玻尔关于氢原 子能级的工作, 显示了量子理论的巨大威力, 使原子 的稳定和光谱可以理解, 成为后来称为老量子论的 典范 ! 斯塔克发现外加电场时引起氢原子光 "#"1 年, 谱线的分裂, 而外加磁场时引起原子光谱线的分裂
物理

% 老量子论的兴与衰
对黑体辐射这个简单体系的精确而深入的研 究, 不意却给物理学带来革新 ! 普朗克的量子假设突 破了经典理论中能量转移的连续进行方式, 先是不 怎么引人注意, 直到 "#$’ 年爱因斯坦才将量子假设 用来解释光电效应 ! 根据能量守恒, 爱因斯坦写下光 量子能量等于光电子动能加逸出功, 便很好地解释 了勒纳在 "#$% 年从实验得到的两条结论, 即: (") 产 生光电子需要起码的频率, 而更高频率的光使光电 子的动能增加; ( %) 光强对光电子的动能无影响, 只 影响光电子的数目 ! "#$( 年, 爱因斯坦又用振子的 平均能量的量子公式解释了金钢石、 石墨、 硼和硅的 室温摩尔热容比从经典理论的能量均分定理导出的 杜隆 ) 珀蒂 ("*"#) 定律所给者偏低, 但随温度升高 有所改善的老问题 ! 这些工作解释了经典理论不能 解释的实验现象, 使量子论为大家注意 ! 德拜 "#"$ ? %22 ?

早在 !"#$ 年已被塞曼发现; 能级分裂这样的小变动 可用微扰法处理, 但这时玻尔的只考虑圆周轨道便 显得过于简单化 % !#!&—!#!$ 年, 索末菲与威耳逊独 立地对多自由度体系的量子化条件给出较为一般的 表达, 即取每个正则坐标和正则动量的作用量积分 分别为普朗克常量的整数倍 % 对一个可用分离变量 法处理的多自由度体系, 上述表达从埃伦菲斯特的 寝渐不变量原理得到支持 % 寝渐不变量是指那些在 非常缓慢的外界扰动下保持其值不变的量, 所以是 适宜取作量子化的量 % 比如一个单摆在往复摆动而 绳长非常缓慢地缩短时, 容易用经典力学证明单摆 的振动总能除以频率是个寝渐不变量, 而这正是普 朗克假设所选用的 % 对周期运动而言, 用经典力学可 以证明每个自由度的作用量积分都是一个寝渐不变 量 % 埃伦菲斯特的关于角动量的量子化条件, 如将等 式两侧均乘以圆周弧度后, 即是转动的作用量积分, 所以也符合索末菲或威耳逊的一般表达 % 索末菲就 是用这样的量子化条件认真地考虑了氢原子中电子 的三维运动, 引入了三个量子数, 包含了一些椭圆轨 道, 得到的能级与玻尔所得的相同, 但多数能级是由 量子数的不同组合而简并即能级重合在一起 % 索末 菲甚至还考虑到电子的相对论性运动, 这样使简并 有所分裂, 所得的更细致的能级, 说来也巧, 与氢原 子光谱的精细结构符合得很好 % 不久, 史瓦西和依普 斯坦 !#!$ 年在有外加电场的情况下, 用类似的方法 引入三个量子数, 得到能级在电场中分裂, 解释了氢 原子的斯塔克效应 % 尽管老量子论的这些发展对原子能级和光谱有 重大推进作用, 但考虑到碱金属原子光谱的双重结 构, 索末菲于 !#’( 年发现需要引进第四个量子数, 以描述后来到 !#’& 年乌伦贝克和古德斯密特才正 确理解是电子的一个新自由度, 名为自旋, 它具有半 个单位的角动量却具有一整个单位的磁矩, 不能用 经典力学描述 % 用四个量子数描述电子的运动, 不仅 解释了碱金属原子光谱的双重结构和碱土金属原子 光谱的三重结构, 还按角动量平方的一定修正规则, 解释了所谓反常塞曼效应 (指原子光谱的双重或三 重结构在外加磁场较弱时引起的能级分裂) 中从实 验数据总结出的朗德分裂因子 % 并且, 泡利 !#’& 年 据此提出不相容原理, 即原子内不可能有两个电子 具有完全相同的四个量子数, 从而解释了元素周期 表的壳层电子结构 % 这预示量子理论在化学方面的 光明前景, 同时也指出老量子论的不足之处; 量子理 论必须改革, 才能继续发展 %
)( 卷(’((! 年)& 期

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第一条通向量子力学的路— — —对应原理
我们注意: 先用经典力学求出普遍的运动状态,

后加量子化条件以抛弃其绝大部分而只选留少数满 足量子化条件的所谓量子态, 将得到的公式通过一 定的修正后再与物理实际联系, 是老量子论的特点 % 具体 与 光 谱 线 联 系 则 是 按 如 下 的 玻 尔 对 应 原 理 (!#!") 进行 % 玻尔注意到, 当量子数大时按普朗克 * 玻尔关系所给的跃迁频率与轨道的经典频率的倍频 相当; 所以, 他进一步假设, 不受量子数大的限制, 量 子态间跃迁所发射的光谱线的强度及其极化方向, 也与轨道的经典振幅的傅里叶展开中的倍频系数相 关 % 克拉默斯 (!#!#) 与科塞尔和索末菲 ( !#!#) 分别 就谱线强度与选择规则 (即谱线强度为零或否) 给这 对应原理许多验证 % 利用玻尔对应原理, 克拉默斯 (!#’+) 与克拉默斯和海森伯 (!#’&) 将拉登堡 (!#’!) 的关于色散电子数的结果修正而给出表达原子的极 化率, 即原子的感生电偶极矩与外辐射电场之比的 量子公式 (克拉默斯 * 海森伯色散公式) % !#’+ 年, 玻恩给出了振动系统受微扰的普遍处理, 包括上述 色散问题在内 % 玻恩指出, 对于任何物理量, 经典的 与量子的量有普遍的对应关系, 即经典力学中对作 用量的微商对应于量子理论中对作用量的差商, 亦 即对量子数的差商再除以普朗克常量 % 玻恩并第一 次用量子力学作此文标题, 这是由于玻恩那时认为 严格表述玻尔对应原理即能导致量子力学 % 果然, 一 年内量子力学沿这条路以两个数学形式出现 % (!) 矩阵力学 % 先说矩阵力学这个形式 % 首先提 出用方阵式的数学来表达物理量的人是 ’+ 岁的海 森伯 % 他 ’’ 岁在索末菲那儿拿到博士学位后, 去哥 本哈根玻尔处, 参与克拉默斯 * 海森伯色散公式的 研究 % 他不满先用经典力学而后加量子化条件的做 法, 而信念物理学中只应引入可观测量, 如光谱线的 频率和强度或振幅, 振幅的平方给出其强度 % 因为谱 线依赖于高低两个能级, 海森伯直接引入振幅方阵, 含有频率乘时间的相因子 % 海森伯考虑恢复力带有 振幅的平方项的非简谐振子, 为使时间因子得以一 致, 他建议对振幅方阵的平方用行乘列的乘法, 但他 那时还不知道这是数学中矩阵的乘法规则 % 他在度 假中开始了这个大胆尝试, 将运动方程连同量子化 条件一道来求解 % 量子化条件是用索末菲的作用积 分按玻恩的严格表述对应原理用振幅方阵写出 % 他 得到一些初步结果, 写成他一人署名的文章 (!#’&) % ? ’$, ?

这时海森伯在玻恩教授系里工作 ! 他请玻恩看他的 文章并请假去剑桥被邀请作一个月演讲 ! 玻恩学过 矩阵的数学课, 看出海森伯从里兹组合规则凑出的 乘法规则恰是矩阵的乘法规则 ! 玻恩考虑一维的保 守系, 用正则坐标和动量与哈密顿正则运动方程, 但 物理量皆用矩阵表示 ! 对保守系有能量守恒, 因此哈 密顿量必须是对角矩阵 ! 玻恩知道, 矩阵的乘法一般 是不满足交换律的 ! 从索末菲的作用积分的量子化 条件玻恩对应出正则动量与正则坐标的对易矩阵 (即颠倒秩序的两个乘积之差) 的对角元均相等, 为 虚数, 并含有普朗克常量除以圆周弧度 ! 他先猜想这 对易矩阵的非对角元全为零 ! 他请助手约当参加合 作, 约当几日内便从正则运动方程证明出这个对易 矩阵对时间的导数为零, 所以是个对角矩阵, 如玻恩 所猜想 ! 这样, 矩阵力学有了自己的量子化条件, 简 称为对易关系 ! 以玻恩和约当二人署名的这篇文章 给出简谐振子的矩阵力学处理和对电磁场的量子化 处理, 再次证明了关于黑体辐射的普朗克公式 ! 在 玻恩应邀去 ’() 讲课之前, 玻恩与 "#$% 年 "& 月底, 约当紧张合作, 并于这时在哥本哈根的海森伯通讯, 完成了以玻恩、 海森伯和约当三人署名的文章 ! 在这 篇文章中, 对应经典力学中原则上可用正则变换求 解, 给出矩阵力学中原则上可用相似变换求哈密顿 矩阵的对角化; 发展了矩阵力学中逐步近似的微扰 理论, 包括直接导出克拉默斯 * 海森伯色散公式; 把 对易关系推广到多个自由度 ! 这三篇文章奠定了矩 阵力学 ! 三人署名的第三篇, 印出时间为 "#$+ 年 ! 注 意, 由于对易关系的出现, 海森伯的矩阵不可能是有 限的行或列, 这表明体系有无穷多个能级 ! 对无穷行 列的矩阵, 乘法不一定满足结合律 ! 但如每行只有有 限个元不等于零时, 则可证明结合律成立 ! ($) 狄拉克的 , * 数 ! 海森伯 "#$% 年夏在剑桥演 讲时, 比他小一岁的研究生狄拉克在座 ! 狄拉克注意 到海森伯方阵的乘法不满足交换律, 乃抽象地引入 乘法不满足交换律的数, 他称为 , * 数, 以与满足乘 法交换律的他称为 - * 数的数相区别 ! 在经典力学 中, 运动方程和正则变量都可以用泊松符号形式表 达, 所以他首先寻求两个 , * 数的泊松符号该如何 表达 ! 从泊松符号的代数性质出发, 他发现两个 , * 数的泊松符号与其对易子 (即颠倒秩序的两个乘积 之差) 成正比, 比例系数可从经典力学正则坐标和正 则动量的泊松符号的特殊值来定 ! 这样, 对多个自由 度的体系, 他得到相应的对易关系, 结果与矩阵力学 的第三篇文章所得的一样, 只是 , * 数比矩阵更抽 ? $+2 ?

象 ! 从数学上讲, 人们可以把海森伯、 玻恩和约当的 矩阵看作是狄拉克的 , * 数即非对易代数的一种实 现, 或把后者看作前者的符号化, 则这两种表达形式 便统一了 ! 运动方程用 , * 数表达, 其形式非常简 单: 对时间的导数即正比于与哈密顿量的对易子 ! 这 对于正则坐标或正则动量或它们的任意组合都适 狄 用, 还可推广到任何非经典的自由度去 ! "#$+ 年, 拉克用 , * 数与泡利用矩阵处理氢原子能级, 差不 多同时都得到成功 ! 泡利还用矩阵处理了史塔克效 应 ! 同年海森伯和约当用矩阵处理带自旋的电子的 塞曼效应, 直接得到朗德的 . * 因子公式, 而狄拉克 用 , * 数处理康普顿效应 (参见下节) , 得到与实验 符合的反冲电子的角分布和散射的 / 射线 ! 狄拉克 还发展了含时间的微扰论, 用到光谱跃迁, 解决了自 发跃迁概率的计算, 验证了爱因斯坦关于辐射跃迁 的比例系数间的关系式 (也参见下节) !

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第 二 条 通 向 量 子 力 学 的 路— — —波 粒 二 象性

爱因斯坦于 "#"+—"#"1 年从分子与辐射间的 动平衡角度给普朗克公式一个新的证明 ! 这证明想 象丰富, 富于启发 ! 考虑分子高低两个能级和其间的 相应跃迁频率的辐射 ! 爱因斯坦引入如下三种跃迁 机制: 即自发辐射, 吸收和诱发辐射, 并假设在后两 种机制中, 其单位时间的跃迁几率与辐射能量密度 注意处于两 对频率的分布函数成正比 ! 在热平衡时, 能级的原子数分别与相应的玻尔兹曼因子成正比, 则从能量转移的细致平衡容易导出普朗克公式和上 述三种跃迁的比例系数间两个关系式 (这关系式在 量子力学建立后都得到特别是狄拉克的理论验证) ! 根据狭义相对论, 爱因斯坦还想象辐射量子不仅具 有能量, 而且具有单方向的动量, 分子在吸收或发射 辐射时, 虽然总动量守恒, 但辐射与分子间有动量转 利用他在布朗运动中处理随 移 ! 根据上述三种跃迁, 机过程和在电磁理论中运用参考系变换的优势, 他 计算了 (只需准确到分子速度的一次方) 包括上述三 种跃迁的总平均阻力使分子速度的涨落减少的效应 和由于上述三种跃迁都是随机过程而使分子速度的 涨落增加的效应, 在分子的玻尔兹曼分布与辐射的 普朗克分布间的热平衡时, 它们恰好抵消, 而维持分 子速度的麦克斯韦分布不变 ! 这个具有能量和单方向动量的量子的想象, 后 来被康普顿引用来解释 / 射线散射实验中的康普
物理

顿效应, 并赐名为光子 ! 康普顿效应指 "#$$ 年康普 顿所发现的随散射角增大而散射的 % 射线的波长 也稍有增大的现象, 康普顿便是用具有能量和单方 向动量的光子, 与散射体中的自由电子间的弹性碰 撞 (满足能量守恒与动量守恒) 来解释的 ! 玻色 "#$& 年认为辐射是全同的光子的集合, 又一次从统计热 力学推导出普朗克公式, 这工作直接启发了玻色 ’ 爱因 斯 坦 统 计 ! 后 来, 更 直 观 的 实 验, 博特和盖革 ("#$&—"#$() 或康普顿和西蒙 ("#$() 用符合计数或 用云雾室显示反冲电子和散射的 % 射线, 确凿地证 实了电磁波 ’ 光子的这种量子的波粒二象性 ! 理论上受电磁波 ’ 光子的波粒二象性的启发, 德布罗意于 "#$)—"#$& 年反向思维而推广到包括 电子在内的任何粒子, 都设想具有与其能量和动量 相应的波的性质, 称为德布罗意波 ! 粒子的速度为德 布罗意波的群速, 德布罗意波的相速与群速的乘积 为光速的平方, 光子的德布罗意波即是电磁波 ! 他注 意到几何光学中的费马原理与动力学中的最小作用 原理相似之处, 他指出玻尔对氢原子中电子圆周轨 道的量子化条件可以理解为轨道周长须为电子的德 布罗意波长的整数倍 ! 但到 "#$* 年, 他仍只停留在 相对论性的自由粒子的情况下, 写出克莱因 ’ 戈尔 登方程 ! 实验证实电子的德布罗意波则是 "#$* 年薛 定 谔 发 现 波 动 力 学 以 后 的 事, 即戴维孙和革末 ("#$+) 与 ,! -! 汤姆孙 ( "#$+) 分别独立做的电子衍 射实验 ! 即是沿波粒二象性的 "#$* 年波动力学的发现, 另一端达到的 ! 据说德拜在例行的讨论会上建议薛 定谔去弄清楚德布罗意的一系列文章, 作个报告, 特 别提到是波就要满足波动方程 ! 薛定谔先也得到和 德布罗意一样的相对论性波动方程, 觉得与玻尔的 氢原子能级不相符后, 却进一步作非相对论近似, 写 出了薛定谔方程 ! 薛定谔认为电子本质是波, 应该用 波动力学描述电子的运动; 经典力学应为波动力学 的近似, 有如几何光学是波动光学的近似一样, 而量 子效应即相当于干涉效应 ! 怀着这种信念, 对自由电 子的德布罗意波, 按波动光学惯例用相位的指数函 数表示其波函数时, 容易发现电子的动量和非相对 性能量, 可用对空间和时间坐标的偏微分算符乘以 普朗克常量除以圆周弧度和适当虚数表示, 即用微 分算符作用到德布罗意波函数时, 将得到相应的物 理量的值乘上该波函数 ! 据此薛定谔推广到由普遍 的哈密顿量描述的情况, 维持微分算符表达形式不 变; 因为这样, 如果这时忽略普朗克常量, 波函数的
)7 卷($77" 年)( 期

相位便满足熟知的哈密顿 ’ 雅可比方程, 达到经典 力学近似 ! 对于像氢原子中电子的三维运动保守系, 哈密顿量不显含时间而有能量守恒 ! 薛定谔方程简 化为定态的波动方程, 不含时间变量而出现能量参 量 ! 定态的波动方程是个齐次方程, 由于物理原因波 函数必须满足一些条件, 如处处单值有限, 和 (特别 对于束缚态而言) 波函数在无穷远趋于零等 ! 要求定 态的波动方程有不恒等于零的满足上述物理条件的 解, 这样就定出能量参量的本征值 ! 对于电子的三维 运动, 由于出现拉普拉斯动能算符, 用分离变数法将 偏微分方程化为常微分方程时要引入分离常数, 这 些常数也由波函数满足的条件定出其本征值 ! 一连 四篇文章, 薛定谔以本征值量子化为题, 处理了氢原 子能级问题, 得到与玻尔和索末菲相同的结果, 也发 展了微扰理论处理史塔克效应, 和含时间的微扰理 论得到克拉默斯 ’ 海森伯色散公式 ! 在另外一篇文章中, 薛定谔出乎他初始意料之 外地证明了波动力学与矩阵力学在数学上的等价 ! 在波动力学中, 正则动量是用微分算符表示的, 正则 坐标则用乘法算符表示, 其间恰好满足矩阵力学的 对易关系 ! 薛定谔指出并证明, 某物理量的海森伯矩 阵是相应算符夹在两个带能量相位因子定态波函数 间的积分, 算符左边的波函数连同相位因子须取复 数共轭, 而哈密顿算符的相应积分即是海森伯能量 对角矩阵 ! 反过来, 创建矩阵力学的玻恩给波函数以 概率解 释 ! 当 玻 恩 去 美 国 讲 学 时, 遇 到 数 学 家 .! 便与之合作探讨能量的连续谱情况, 意欲处 /01213, 理非周期性运动 ! 他们不像狄拉克敢创造不正规函 数, 感到用矩阵有困难, 需要用算符, 但没想到像薛 定谔的微分算符那么简单 ! 在波动力学问世后, 玻恩 当即采用波动力学以处理碰撞问题, 如用 !粒子轰 击原子核的卢瑟福散射实验 ! 从薛定谔方程容易导 出一个密度和流密度间的连续方程, 玻恩解释为概 率守恒 ! 薛定谔波函数的绝对值平方为粒子那时在 该处出现的概率, 或相对概率, 如果波函数没有规一 化的话 ! 对能量为连续谱中某值的定态方程, 玻恩利 用他对电磁光学的优势, 取波函数为入射波与散射 波函数之和这样的解 ! 在两篇文章中玻恩发展了碰 撞理论和计算微分散射截面的近似方法, 现称为玻 恩近似 ! /124516 ( "#$*) 用玻恩近似公式计算了屏蔽 库仑场的散射, 结果与经典理论公式一样, 与卢瑟福 实验一致, 支持了玻恩的统计解释 ! 后来狄拉克用他 擅长的数学表达方式也给出在动量表象中的玻恩近 似公式 ! ? $*# ?

起发表一系列文章, 详见泡令和威耳逊合著的量子

! 量子力学初步成长
量子力学在 "#$!—"#$% 年先后以不同数学表 达形式诞生, 已如上述 & 都与光谱实验比较, 彼此结 果一致 & 下面简略介绍 "#$’—"#$( 年间几项能标志 量子力学成长为自成系统的工作以作补充 & (") 表象理论 & "#$’ 年, 约当和狄拉克分别达到 关于表象理论的更深刻的认识, 用狄拉克的讲法是, 可取一全套互相对易的动力学变量同时对角化, 用 它们的本征值作表象的行列标志, 不同表象间满足 一定的变换关系 & 以氢原子为例, 矩阵力学常取能 量、 角动量矢量平方和某外加磁场方向的角动量分 量为三个互相对易的动力学量同时对角化, 而波动 力学则常取三个互相对易的直角坐标同时对角化 & 薛定谔波函数就其整体而言, 便构成这两个表象间 的变换的整体 & 当然也可不用坐标而改用动量的三 个互相对易的分量, 这叫动量表象 & 这样, 不管是矩 阵、 算符, 都统一为线性算符, 描写动力学变 ) * 数、 量; 不管是被矩阵或 ) * 数向右乘的列矢、 还是被微 分算符向右作用的波函数, 都描写动力系的运动状 态, 可以统一叫态函数 & 矩阵力学和波动力学都是量 子力学, 只是表象不同罢了 & ($) 不确定度关系 (亦译为测不准关系) & 海森伯 "#$’ 年从坐标和动量的对易关系推导出不确定度 关系, 表明量子力学中粒子的位置和速度两概念不 能同时严格描述, 位置的不确定度与动量的不确定 度的乘积与普朗克常量有关, 有个最低的下限, 并考 虑了许多实际的和想象的实验情况, 如 !显微镜, 都 不能超脱这个限制 & 这从根上铲除了按经典理论理 解的原子内的电子轨道 & (+) 氦原子与氢分子 & 老量子论的更明显的破 产, 则是在量子力学处理两电子问题时, 如氦原子和 氢分子 & 电子是全同粒子, 总哈密顿量算符对交换任 意两个电子的全套坐标 (全套包括 + 个空间和 " 个 自旋坐标) 时不变 & 因此可以引入一个交换算符与哈 密顿量算符互易, 所以交换算符是守恒量, 它的本征 值对电子是 * " & 这是泡利不相容原理的普遍表述 & 两个角动量为 ",$ 的自旋组合出总自旋为 - 的单重 态和总自旋为 " 的三重态, 前者对两个电子自旋交 换反对称, 所以对两个电子空间坐标交换是对称的, 而后者恰恰相反 & 这就解释了氦原子光谱分为两个 分离的谱系, 考虑到泡利原理的能级计算与光谱项 符合 (海森伯 "#$%, 和 452267880 "#$( 年 ./0123 "#$’, ? $’- ?

力学) 海特勒和 9& 伦敦对氢分子的 & 同样, "#$’ 年, 近似计算表明总自旋为 - 的单重态使两原子吸引形 成共价键, 计算的键长和键能与实验值大致符合, 而 总自旋为 " 的三重态则使两原子排斥 & 9& 伦敦 "#$( 年在这基础上考虑两个共价键间的化学反应, 描述 位能曲面, 估计反应轨道和活化能的大小 & 这是量子 力学应用到化学的开端")& (:) 相对论性狄拉克方程 & 我们注意薛定谔方程 是线性的, 方程的不同解叠加后仍是方程的解, 方程 中包含对时间的微分算符只到一次, 且可推出概率 守恒的连续方程 & 这几点都似乎是波动力学的核心 & 狄拉克特别注意保留这些特点而按狭义相对论的要 求改造之, 于 "#$( 年提出狄拉克方程, 计算出氢原 子的精细结构与光谱实验符合得很好 & 在狄拉克方 程中出现两个二值的自由度, 一个代表具有半个角 动量却有一整个磁矩的自旋, 另外一个二值的自由 度则代表是粒子还是反粒子 (电子的反粒子叫正电 子, "#+$ 年安德森实验上予以证实) & 如果将狄拉克 方程用分量明显写出为联立的微分方程式组, 可以 与电磁场分量的麦克斯韦方程组媲美 & 虽然分量有 实数或复数的差异, 在洛伦兹变换时有不同的变换 规律, 我们还是可以将电子及正电子看为狄拉克场 的量子, 如同光子是麦克斯韦场的量子一样, 只是因 为自旋是半整数而非整数, 场分量间需满足反对易 关系而非对易关系 & 无论波场 (麦克斯韦场或狄拉克 场) 和粒子 (光子或正负电子) 都具有波粒二象性, 都 是量子的 & 后记 此文中有些内容系根据玻恩在爱丁堡应

<=>??8@67 要求而讲的量子力学课和作者在都柏林与 薛定谔夫妇及海特勒的谈话 & 参 考 文 献
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量子力学在生物学方面的应用则开端于薛定谔关于生物遗传的持 ") 久性来源于基因是非周期性晶体的猜测 ("#:+ 年夏演讲, "#:: 年 出书) 而晶体的量子能级间较大的能 & 非周期性中存在大量信息, 量差, 使信息好保存, 免为热运动破坏, 这样来解释遗传与突变 & 对 生物大分子的 ; 射线衍射成功后, 这猜测为分子生物学具体化

物理


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