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深圳市宝安中学2012-2013高一期末考试数学试题


2012—2013 年高一上学期宝安中学期末考试 数学试题
本试卷共 20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔在答题卡指定位置填写自己的班级、姓名和考生号。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂的, 答案无效。 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案 无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错 涂、多涂的答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.设全集 U ??x?N * | x ? 6? ,集合 A ??1,3? ,集合 B ??3,5? ,则 ?U ( AUB) ? A.{1, 4} 2. sin 3000 = A. 1
2
4

2013.01

B.{1, 5}

C.{2, 4}

D.{2, 5}

B. ? 1

2

C. 3
2

D. ? 3
2

3. 函数 y ? x 3 的大致图像是
y y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A
2

4.函数 y ? log 1 x ? 2 x ? 3 的单调递增区间是
2

?

?

B

C

D

A. [?1,??)

B. ?? ?,?1?

C. ?1,?? ?

D. (??,?3)

? 5. .函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ) 的图象的一部分 2
1 O
?1

y
? 3
7? 12
1

x

如图所示,则 ? 、 ? 的值分别为 A.1,
? 3

B.2,

? 3

C.1, ?

?
3
2

D.2, ?

?
3

6. 函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2 对 1 ? x ? 4 恒有 f ( x) ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. a ? ?

1 2

B. a ? ?

1 2

C. ?

1 1 ?a? 2 2

D. a ?

1 2

7. 已知 f ( x) ? ( x ? m)( x ? n) ? 2 ,且 α、β 是方程 f(x)=0 的两根,则下列不等式可能成立的 是 A ? ? m ? n ?? 8. 方程 ( A 0 B

m ?? ? n ? ?

C

? ? m ? ? ? n D n ?? ? ? ? m

3 x 5 11 ) ? ( ) x ? ( ) x ? 2 x ?1 实根的个数是 19 19 19
B 1 C 2 D 无穷多

二、填空题(每题 5 分,共 30 分)
9..若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 10. 当 a>0 且 a≠1 时,函数 f (x)=ax-2-3 必过定点 .

11. 已知向量 a =( 3, 1),b =(0, -1),c =(k, 3). 若 a -2 b 与 c 共线, 则 k=________. 1 1 12. 设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b 13. 若两个向量 a与b 的夹角为 ? ,则称向量“ a× b ”为“向量积”,其长度 a× b ? a b sin ? , 若已知 a ? 1, b ? 5, a ? b ? ?4,

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ? 则 a?b ?
.

14. 实数 x,y 满足 ?

2013 ? ?( x ? 2) ? 2013( x ? 2) ? 1 ? 0 ,则 x ? y ? 2013 ( y ? 2) ? 2013( y ? 2) ? 1 ? 0 ? ?

三、解答题(6 小题,共 80 分)
15(12 分)已知 f ( x ) ? log 2 x ? 2 log 2 x ? 4, x ? ? 2,8 ?
2

?

?

(1)设 t ? log 2 , x ? ? 2,8 ? ,求 t 的最大值与最小值;
x

?

?

(2)求 f ( x) 的最大值与最小值;

2

16(12 分)已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα). (1)若| AC |=| BC |,α∈( ? , 3? ).求角 α 的值;
2

????

2

BC ? ?1 ,求 sin ? ? sin ? cos ? 的值. (2)若 AC · 1 ? tan ?
2

17(14 分) (1)已知 a =(2x-y+1,x+y-2), b =(2,-2), ①当 x、y 为何值时, a 与 b 共线? ②是否存在实数 x、y,使得 a ⊥ b ,且| a |=| b |?若存在,求出 xy 的值;若不存在, 说明理由. (2)设 i 和

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j 是两个单位向量, a ? i ? 2 j , b ? ?3i ? j , a b ? )? a ( k b ? ) , 其夹角是 90° , 若 (k

求实数 k 的值.

π 18(14 分)已知函数 f(x)= 2asin(x+ )+a+b . 4 ⑴当 a=1 时,求 f(x)的单调递增区间; ⑵当 x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求 a、b 的值.

3

? ?? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ? 的一系列对应值如 19. (14 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? B ? 2 2? ?
下表:

x
y

?

?
6

? 3
1

5? 6

4? 3

11? 6

7? 3

17? 6

?1

3

1

?1

1

3

(1)根据表格提供的数据求函数 f ? x ? 的一个解析式;(要求写出过程) (2) 根据 (1) 的结果, 若函数 y ? f ? kx ?? k ? 0 ? 周期为 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围;

2? , 当 x ? ?0, ? ? 时, 方程 f ? kx ? ? m ? 3 ? 3? ?

20(14 分)设 f ( x) ?

ax 2 ? bx .
x

(1)当 a ? ?1, b ? 4 时,求函数 f (e ) ( e 是自然对数的底数.)的定义域和值域; (2)求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正实数 b ,使函数 f ( x) 的定义域和值域相 同.

4

宝安中学 2012——2013 年高一上学期期末考试 数学答案及评分标准
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) CDAD BDAB 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. 0 10. (2,-3) 11. 1 12. 10 13.3 14. 4

三、解答题(6 小题,共 80 分)
x 15 (12 分)解: (1) t ? log 2 在 x ? ? 2,8 ? 是单调增函数

?

?

?

tmax ? log 2 8 ? 3 ,……………………………………………………………………3 分

tmin ? log 2 2 ?

1 ……………………………………………………………………………5 分 2
?1 ? ? ?

x (2)令 t ? log 2 , x ? ? 2,8 ? ,? t ? ? ,3? ? ? 2

原式变为: f ( x) ? t ? 2t ? 4 ,
2

? f ( x) ? (t ? 1) 2 ? 3 ,……………………………………………………………………7 分

?1 ? ? t ? ? ,3? ,?当 t ? 1 时,此时 x ? 2 , f ( x) min ? 3 , …………………………10 分 ?2 ?
当 t ? 3 时,此时 x ? 8 , f ( x) max ? 7 .……………………………………………………12 分 16(12 分)解:(1)∵ AC =(cosα-3,sinα), BC =(cosα,sinα-3), ∴| AC |= (cos? ? 3) 2 ? sin 2 ? ? 10 ? 6 cos? , | BC |= cos2 ? ? (sin ? ? 3) 2 ? 10 ? 6 sin ? . 由| AC |=| BC |得 sinα=cosα.………………………………………………………………4 分

5? ? 3? , ),∴α= .………………………………………………………………6 分 4 2 2 2 (2)由 AC · BC =-1 得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα= . 3 4 5 两边平方得 1+2sinαcosα= ,∴2sinαcosα= ? .…………………………………………8 分 9 9
又∵α∈( 又

sin 2 ? ? sin ? cos ? sin ? (sin ? ? cos ? ) =sinαcosα. ? sin ? 1 ? tan ? 1? cos ?
5

sin 2 ? ? sin ? cos ? 5 ? ? ………………………………………………………………12 分 1 ? tan ? 18 ? ? 17(14 分)解:(1)①∵ a 与 b 共线, ? ? ∴存在非零实数 λ 使得 a =λ b ,


? ?2x-y+1=2λ ?x= , ? ∴? 解得,? 3 ?x+y-2=-2λ ? ? ?y∈R.

1

………………………………………………3 分

②由 a ⊥ b 得,(2x-y+1)× 2+(x+y-2)× (-2)=0 所以 x-2y+3=0.(1) 由| a |=| b |得,(2x-y+1)2+(x+y-2)2=8.(2)
?x=-1, ? 解(1)(2)得? 或 ? ?y=1,

?

?

?

?

?x=3, ? 7 ?y=3.

5

35 ∴xy=-1 或 xy= .……………………………………………………………………7 分 9 (2) | a |? a ? (i ? 2 j )2 ? 5 ,①

?

?2

?

?

? ?2 ? ? | b |? b ? (?3i ? j )2 ? 10 ,② ? ? ? ? ? ? a ? b ? (i ? 2 j )(?3i ? j ) ? ?1 ③…………………………………………………………10 分
? ? ? ? ? ? ? ? ? (ka ? b ) ? (a ? kb ),? (ka ? b ) ? (a ? kb ) ? 0 ,
得, k | a | ?k | b | ?(k ? 1)a ? b ? 0
2 2 2

?

?

? ?

将①②③代入得: k ? 5k ? 1 ? 0 ,……………………………………………………12 分
2

解得 k ?

?5 ? 29 …………………………………………………………………………14 分 2

π 18(14 分)解:⑴∵a=1,∴f(x)= 2sin(x+ )+1+b 。 4 π π ∵y=sinx 的单调递增区间为[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z), 2 2 π π π ∴当 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ ,………………………………………………………………4 分 2 4 2 3π π 即 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z)时,f(x)是增函数, 4 4

6

3π π 故 f(x)的单调递增区间是[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) ………………………………………6 分 4 4 π ⑵由⑴得 f(x)= 2asin(x+ )+a+b . 4 π π 5π 2 π ∵x∈[0,π],∴ ≤x+ ≤ ,∴- ≤sin(x+ )≤1.……………………………………8 分 4 4 4 2 4 显然 a ? 0 i)当 a ? 0 时, ?a ?

2a sin( x ? ) ? 2a,? b ? f ( x) ? ( 2 ? 1)a ? b , 4

?

而 f(x)的值域是[3,4],故? b ? 3,( 2 ? 1) a ? b ? 4 , 解得: a ?

2 ? 1, b ? 3 ;…………………………………………………………11 分

π ii)a<0, 2a≤ 2asin(x+ )≤-a,∴ 2a+a+b≤f(x)≤b,而 f(x)的值域是[3,4], 4 ∴ 2a+a+b=3 且 b=4,解得 a=1- 2,b=4。 综上所述, a ?

2 ? 1, b ? 3 ;或 a=1- 2,b=4。…………………………14 分

19. (14 分) 解: (1)设 f ? x ? 的最小正周期为 T , 得T ?

11? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 6 ? 6?

……………………………………………………………… 2 分

由T ?

2?

?

得? ?1 …………………………………………………… 4 分

B? A?3 A?2 又? ,解得 ? ? ? B ? A ? ? 1 ?B ?1 ?

令? ?

5? ? 5? ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ,解得 ? ? ? 3 6 2 6 2
??
? ? ?1 3?
…………………………………………………………6 分

∴ f ? x ? ? 2sin ? ?x?

(2)∵函数 y ? f ? kx ? ? 2sin ? kx ? 又k ? 0∴k ? 3 令 t ? 3x ?

? ?

??

2? ? ? 1 的周期为 3? 3

?

? ? ? 2? ? ………………………………………9 分 ,∵ x ? ?0, ? ∴ t ? ? , ? ? ? 3 ? 3 3 ? ? ? 3?

? 3 ? ? 2? ? 上有两个不同的解的条件是 如图 sin t ? s 在 ? ? , s ? ,1 ? ? ? ? ? 3 3 ? ? ? 2 ? ……………11 分

7

∴方程 f ? kx ? ? m 在 x ? ?0, ? ? 时恰好有两个不同的解的条件是 m ? ? 3 ? 1, 3 , ? ? ? 3? ? 即实数 m 的取值范围是 ? 3 ? 1,3

?

?

?

………………………………………………14 分

20(14 分)解: (1) f (e ) ?
x

?e 2 x ? 4e x ,

由 ?e

2x

? 4e x ? 0 解得 0 ? e x ? 4,? x ? ln 4 ,
x

所以函数 f (e ) 的定义域是 (??,ln 4] .………………………………………………2 分
x 设 e ? t ? 0 ,则 f (e ) ?
x

?t 2 ? 4t ,

记 g (t ) ? ?t ? 4t (t ? 0) ,? g (t ) ?[0, 4] ,
2

? f (e x ) ? [0, 2] ,即 f (e x ) 的值域是 [0, 2] …………………………………………4 分
(2)①若 a ? 0 ,则对于每个正数 b , f ( x) ? 故 a ? 0 满足条件;

bx 的定义域和值域都是 [0,??)

……………………………………………………6 分

②若 a ? 0 ,则对于正数 b , f ( x) ?

ax 2 ? bx 的定义域为

b? ? D ? x ax 2 ? bx ? 0 ? ? ? ?,? ? ? ?0,?? ? , a? ?
但 f ( x) 的值域 A ? ?0,?? ? , 故 D ? A ,即 a ? 0 不合条件; ③若 a ? 0 ,则对正数 b , f ( x) ? 由于此时 ( f ( x)) max ? f (? ……………………………………9 分

?

?

b ax 2 ? bx 的定义域 D ? [0,? ] a

b b b ,故 f ( x) 的值域为 [0, )? ] 2a 2 ?a 2 ?a

则?

?a ? 0 b b ?? ? a ? ?4 ? a 2 ?a ?2 ? a ? ? a
………………………………………………14 分

综上所述: a 的值为 0 或 ? 4

8


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