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第1讲函数与方程思想


专题八 数学思想方法

第 1讲

函数与方程思想
思想方法概述

热点分类突破
真题与押题

思想方法概述
1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究 数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立 函数关系或构造函数,运用函数的图

象和性质去分析

问题、转化问题,从而使问题获得解决.经常利用的性
质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图

象变换等.

(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,

建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程
组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获 得解决 . 方程的教学是对方程概念的本质认识,用于指 导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题 .方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.

2.和函数与方程思想密切关联的知识点

(1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y>0
时,就化为不等式 f(x)>0 ,借助于函数的图象和性质 可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2) 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用函数的观点去处理数列问题十分重要.

(3) 在三角函数求值中,把所求的量看作未知量, 其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式, 那么问题就能化为未知量的方程来解.

(4) 解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线
的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决 .这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

(5) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算, 经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以

解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的
关系更加密切.

热点分类突破
? 热点一 ? 热点二 函数与方程思想在不等式中的应用 函数与方程思想在数列中的应用

? 热点三

函数与方程思想在几何中的应用

热点一

函数与方程思想在不等式中的应用

例1
解析

(1)f(x) = ax3 - 3x + 1 对 于 x∈[ - 1,1] 总 有

f(x)≥0成立,则a=________. 若 x= 0,则不论 a取何值, f(x)≥0显然成立;

当x>0即x∈(0,1]时,
3 1 f(x)=ax -3x+1≥0 可化为 a≥ 2- 3. x x 3?1-2x? 3 1 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= , 4 x x x
3

所以

? ?1 ? 1? ? ? ? ? g(x)在区间?0, ?上单调递增, 在区间? ,1?上单调 2? ? ?2 ?

递减,

因此

?1? ? ? g(x)max=g? ?=4,从而 ?2?

a≥ 4;

当x<0即x∈[-1,0)时,
3 1 f(x)=ax -3x+1≥0 可化为 a≤ 2- 3, x x
3

3 1 设 g(x)= 2- 3,且 g(x)在区间[-1,0)上单调递增, x x

因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上a=4.

答案 4

(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,

当 x<0 时, f′(x)g(x) + f(x)g′(x)>0 ,且 g( - 3) = 0 ,
则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________.

解析 设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),
g(x)分别是定义在R上的奇函数和

偶函数, 得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),
即F(x)在R上为奇函数.

又当x<0时,F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,
所以x<0时,F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同,

所以x>0时,F(x)也是增函数.
因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).

所 以 , 由 图 可 知 F(x)<0 的 解 集 是 ( - ∞ , -
3)∪(0,3).

(1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法

就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解
思 决问题; (2) 函数 f(x)>0 或 f(x)<0 恒成立,一般可 维 转化为 f ( x ) >0 或 f ( x ) <0 ;已知恒成立求参数 min max 升 华 范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.

变式训练1

(1)若2x+5y≤2-y+5-x,则有( B ) A.x+y≥0 B.x+y≤0

C.x-y≤0

D.x-y≥0

解析 把不等式变形为2x-5-x≤2-y-5y,

构造函数y=2x-5-x,其为R上的增函数,
所以有x≤-y.

1 4 (2)已知函数 f(x)= x -2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 2 恒成立,则实数 m 的取值范围是( 3 A.m≥ 2
解析

) 3 D.m< 2

3 B.m> 2

3 C.m≤ 2

1 4 因为函数 f(x)= x -2x3+3m. 2

所以f′(x)=2x3-6x2,

令 f′(x) = 0 得 x = 0 或 x = 3 ,经检验知 x = 3 是函数的 一个最小值点,
27 所以函数的最小值为 f(3)=3m- , 不等式 f(x)+9≥0 2 恒成立,

即f(x)≥-9恒成立, 27 3 所以 3m- ≥-9,解得 m≥ ,故选 A. 2 2 答案 A

热点二

函数与方程思想在数列中的应用

例2 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.

(1)若 a1= 2,且 a2, a3, a4+ 1成等比数列,求数列 {an}
的通项公式an;
2 解 因为a1=2,a3 =a2· (a4+1),

又因为{an}是正项等差数列,故d≥0, 所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d), 得d=2或d=-1(舍去), 所以数列{an}的通项公式an=2n.

(2)在(1)的条件下,数列{an}的前 n 项和为 Sn,设 bn= Sn+1 1 1 + +?+ ,若对任意的 n∈N*,不等式 bn≤k 恒成 S2n Sn+2 立,求实数 k 的最小值.

1

解 因为Sn=n(n+1),
1 bn= + +?+ S2n Sn+1 Sn+2 1 1 1 = + +?+ ? n+1??n+2? ? n+2??n+3? 2n? 2n+1? 1 1

1 1 1 1 1 1 = - + - +?+ - 2n 2n+1 n+1 n+2 n+2 n+3 1 1 n 1 = - = = , 1 n+1 2n+1 2n2+3n+1 2n+ +3 n 1 令 f(x)=2x+ (x≥1), x 1 则 f′(x)=2- 2,当 x≥1 时,f′(x)>0 恒成立, x

所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,

故当x=1时,[f(x)]min=f(1)=3,

1 即当 n=1 时,(bn)max= , 6
要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立,

1 则须使 k≥(bn)max= , 6 1 所以实数 k 的最小值为 . 6

(1)等差(比)数列中各有5个基本量,建立方程组
可“知三求二”; (2) 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子
思 集的函数 ,数列的通项公式即为相应的解析式, 维 升 因此在解决数列问题时,应注意利用函数的思 华

想求解.

变式训练2

(1)(2014· 江苏 ) 在各项均为正数的等比数列 {an} 中,若
4 a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________.

解析 因为a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,
所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2, 得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0, 解得q2=2,a6=a2q4=1×22=4.

1x (2)已知函数 f(x)=( ) ,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n) 3 -c,则 an 的最小值为( A.-1 B.1 2 C. 3 ) 2 D.- 3

1 解析 由题设,得 a1=f(1)-c= -c; 3 2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- ; 9 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- . 27

又数列{an}是等比数列,
22 1 2 ∴(- ) =( -c)×(- ),∴c=1. 9 3 27 a3 1 又∵公比 q= = , a2 3 2 1 n-1 1n ∴an=- ( ) =-2( ) ,n∈N*. 33 3
2 ∴n=1 时,an 有最小值 a1=- . 3

且数列 {an}是递增数列, 答案 D

热点三

函数与方程思想在几何中的应用

例 3

x2 y2 已知 椭圆 C : 2+ 2 = 1(a>b>0) 的一个顶点 为 a b

2 A(2,0),离心率为 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同 2 的两点 M,N.

(1)求椭圆C的方程;
?a=2, ? ?c 2 由题意得? = , 2 ?a ? a2=b2+c2, ?



解得 b= 2.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

10 (2)当△AMN 的面积为 时,求 k 的值. 3



?y=k?x-1?, ? 2 由 ?x y 2 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. + =1 ? ?4 2

设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 2 k -4 4k 则 x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k 2

所以|MN|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2? [?x1+x2?2-4x1x2]

2 ?1+k2??4+6k2? = . 2 1+2k

|k | 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 2, 1+k
|k| 4+6k2 1 所以△AMN 的面积为 S= |MN|· d= 2 . 2 1+2k
|k| 4+6k2 10 由 ,解得 k=± 1. 2 = 3 1+2k

所以,k的值为1或-1.

几何最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问

题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在
思 深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系 , 维 升 将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然 华

后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

变式训练3
2 y (1)(2014· 安徽)设 F1, F2 分别是椭圆 E: x2+ 2=1(0<b<1) b

的左,右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点. 若 |AF1| = 3|F1B| , AF2⊥x 轴 , 则 椭 圆 E 的 方 程 为 __________.

解析 设点B的坐标为(x0,y0),
2 y ∵x2+ 2=1,且 0<b<1, b

∴F1(- 1-b2,0),F2( 1-b2,0).
∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2).
→ → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B,
∴(-2 1-b2,-b2)=3(x0+ 1-b2,y0).

2 5 b ∴x0=- 1-b2,y0=- . 3 3 2? ? 5 b ? ? 2 ∴点 B 的坐标为?- 1-b ,- ?. ? 3 3?

将点

? 5 ? B?- ? 3

2? b? 2 1-b ,- ?代入 3?
2

y 2 2 x + 2=1,得 b = . 3 b
2

2

3 2 ∴椭圆 E 的方程为 x + y =1. 2 3 2 2 答案 x + y =1 2

x y (2)若 a>1,则双曲线 2- 2= 1 的离心率 e 的取值 a ?a+1? 范围是( B ) A.(1, 2) C.[ 2, 5] B.( 2, 5) D.( 3, 5)

2

2

2 2 a + ? a + 1 ? c2 12 2 解析 e =( ) = =1+(1+ ) , 2 a a a 1 因为当 a>1 时,0< <1,所以 2<e2<5,即 2<e< 5. a

本讲规律总结
1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,

这些公式和定理本身就是一个方程,如等差数列的
通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等,当 题目与这些问题有关时,就需要根据这些公式或者 定理列方程或方程组求解需要的量.

2.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变
化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题 的答案,这就需要使用函数思想.

3.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解
(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题,

二是在问题的研究中,可以通过建立函数关系式或
构造中间函数来求解.

4.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这 些参变量中必有一个处于突出的主导地位,把这个参变

量称为主元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于
回避多元的困扰,解方程的实质就是分离参变量.

真题与押题

? 真题感悟 ? 押题精练

1

2

3

4 真题感悟

1.(2014· 辽宁)已知 a=2 A.a>b>c C.c>a>b
? 1 3

?

1 3

1 1 ,b=log2 ,c= log 1 ,则( C ) 3 2 3 B.a>c>b D.c>b>a

1 解析 0<a= 2 <2 =1,b=log2 <log21=0, 3 1 1 c=log 1 > log 1 2 =1,
0
2

3

2

即0<a<1,b<0,c>1,所以c>a>b.

1

2

3

4 真题感悟

2 x 2.(2014· 福建)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 10

+y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是( A.5 2 C.7+ 2 B. 46+ 2 D.6 2

)

1

2

3

4 真题感悟

解析 如图所示,设以(0,6)为圆心,以
r为半径的圆的方程为x2+(y-6)2=r2(r> x2 2 0),与椭圆方程 +y =1联立得方程组, 10 消掉x2得9y2+12y+r2-46=0.

令Δ=122-4×9(r2-46)=0,
解得r2=50,

1

2

3

4 真题感悟

即 r=5 2.

由题意易知 P, Q 两点间的最大距离为 r+ 2=6 2,

故选D.
答案 D

1

2

3

4 真题感悟

3.(2014· 江苏 )在平面直角坐标系 xOy中,若曲线 y= ax2 + b (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的 x -3 切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是______. b 2 b 解析 y=ax + 的导数为 y′=2ax- 2, x x 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2 ? ?4a+b=-5, ? ? 2 ?a=-1, 由题意得? 解得? 则 a+b=-3. ? b 7 ? ?b=-2, ? ?4a-4=-2,

1

2

3

4 真题感悟

4.(2014· 福建)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖

长方体容器 .已知该容器的底面造价是每平方米 20元,
侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是

________.(单位:元)
4 解析 设该长方体容器的长为 x m,则宽为 m. x 又设该容器的造价为y元, 4 则 y=20×4+2(x+ )×10, x

1

2

3

4 真题感悟

4 即 y=80+20(x+ )(x>0). x
4 因为 x+ ≥2 x “=”), 4 4 x·=4(当且仅当 x= , 即 x=2 时取 x x

所以ymin=80+20×4=160(元).
答案 160

1

2

3

4

5

6

押题精练

1. 函数 f(x) 的定义域为 R , f( - 1) = 2 ,对任意 x∈R ,

f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(
A.(-1,1) C.(-∞,-1) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)

)

1

2

3

4

5

6

押题精练

解析

f′(x)>2转化为f′(x)-2>0,

构造函数F(x)=f(x)-2x,

得F(x)在R上是增函数.
又F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4,

即F(x)>4=F(-1),所以x>-1.
答案 B

1

2

3

4

5

6

押题精练

2.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分 别交于点 M、 N, 则当|MN|达到最小时 t 的值为( A.1 1 B. 2 5 C. 2 2 D. 2 )

解析 可知|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x.
2 2 x -1 1 2 令 F(x)=x -ln x,F′(x)=2x- = , x x

1

2

3

4

5

6

押题精练

2 所以当 0<x< 时,F′(x)<0,F(x)单调递减; 2
2 当 x> 时,F′(x)>0,F(x)单调递增, 2
2 故当 x=t= 时,F(x)有最小值,即|MN|达到最小. 2

答案 D

1

2

3

4

5

6

押题精练

3.(2014· 辽宁)当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3 ≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[-5,-3] C.[-6,-2] 9 B.[-6,- ] 8 D.[-4,-3] )

1

2

3

4

5

6

押题精练

解析

当 x = 0 时, ax3 - x2 + 4x + 3≥0 变为 3≥0 恒

成立,即a∈R.
2 x -4x-3 3 2 当 x∈(0,1]时,ax ≥x -4x-3,a≥ , x3

所以

?x2- 4x- 3? ? ? a≥ ? ?max. 3 x ? ?

x2-4x-3 设 φ(x)= , 3 x

1

2

3

4

5

6

押题精练

?2x-4?x3-?x2-4x-3?3x2 所以 φ′(x)= x6 x2-8x-9 ?x-9??x+1? =- =- >0, 4 4 x x

所以φ(x)在(0,1]上递增,φ(x)max=φ(1)=-6.
所以a≥-6.
? 2 ? x2-4x-3 x - 4 x - 3 ? 当 x∈[-2,0)时, a≤ , 所以 a≤? 3 ? 3 ?min. x x ? ?

1

2

3

4

5

6

押题精练

x2-4x-3 ?x-9??x+1? 仍设 φ(x)= ,φ′(x)=- . x3 x4

当 x∈[ - 2 ,- 1) 时, φ′(x)<0 , φ(x) 在 [ - 2 ,- 1) 上 单调递减, 当x∈(-1,0)时,φ′(x)>0,φ(x)在(-1,0)上单调递增. 所以当x=-1时,φ(x)有极小值,即为最小值.

1

2

3

4

5

6

押题精练

1+4-3 而 φ(x)min=φ(-1)= =-2,所以 a≤-2. -1

综上知-6≤a≤-2.

答案 C

1

2

3

4

5

6

押题精练

4.若关于x的方程 (2-2-|x- 2|)2=2+a有实根,则实 [-1,2) 数a的取值范围是________.
解析 令 f(x)= (2- 2- |x- 2|)2.要使 f(x)= 2+ a有实根,

只需2+a是f(x)的值域内的值.
∵f(x)的值域为[1,4), ∴1≤a+2<4,∴-1≤a<2.

1

2

3

4

5

6

押题精练

5. 已知函数 f(x) = ax2 + ax 和 g(x) = x - a ,其中 a∈R , 且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、 B,O为坐标原点,试求△OAB的面积S的最大值.

解 依题意,f(x)=g(x),即ax2+ax=x-a,
整理得ax2+(a-1)x+a=0, ①

∵ a≠ 0,
函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B,

1

2

3

4

5

6

押题精练

∴Δ>0,即Δ=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1 =(3a-1)· (-a-1)>0, 1 ∴-1<a< 且 a≠0. 3 设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2, a- 1 由①得 x1x2=1>0,x1+x2=- . a

|-a| 设点 O 到直线 g(x)=x-a 的距离为 d,则 d = , 2

1

2

3

4

5

6

押题精练

|-a| 1 1 2 ∴S= 1+1 |x1-x2|· = -3a2-2a+1 2 2 2
1 = 2
? 1? 4 ? ?2 -3?a+ ? + . 3? 3 ?

1 1 3 ∵-1<a< 且 a≠0, ∴当 a=- 时, S 取得最大值 . 3 3 3
3 即△OAB 的面积 S 的最大值为 . 3

1

2

3

4

5

6

押题精练

x2 y2 6.如图,已知椭圆 G: 2+ 2 =1(a>1), a a -1 ⊙M:(x+1) +y =1,P 为椭圆 G 上一点,
2 2

过 P 作⊙M 的两条切线 PE、PF,E、F 分 别为切点.

1

2

3

4

5

6

押题精练

→ (1)求 t=|PM|的取值范围;
2? ? x2 y2 x 0 0 0 ? ? 2 解 设 P(x0, y0), 则 2+ 2 =1(a>1), ∴y2 = ( a - 1) 1 - , 2 0 ? a a -1 ? a? ?

? x0? → 2 ? ? 2 2 2 2 2 ∴t =|PM| =(x0+1) +y0=(x0+1) +(a -1)?1- 2? ? a? ?1 ? ?1 ? ? ?2 ? ? =? x0+a? ,∴t=? x0+a?. ?a ? ?a ?

2

∵-a≤x0≤a,∴a-1≤t≤a+1(a>1).

1

2

3

4

5

6

押题精练

→ → (2)把PE· PF表示成 t 的函数 f(t), 并求出 f(t)的最大值、 最小值.
解 → → → → ∵PE· PF=|PE||PF|cos∠EPF

→2 2 =|PE| (2cos ∠EPM-1)
? → 2 ? → ? ? 1? =(|PM|2-1)?2?|PM| - -1? 2 ? |PM| ?

1

2

3

4

5

6

押题精练

?2?t2- 1? ? 2 ? ? 2 2 =(t -1)? -1?=t + 2-3, 2 t t ? ?

2 ∴f(t)=t + 2-3(a-1≤t≤a+1). t 4 2 2 对于函数 f(t)=t + 2-3(t>0), 显然在 t∈(0, 2]时, t
2

f(t)单调递减,在 t∈[ 2,+∞)时,f(t)单调递增.

4

1
2

2

3

4

5

6

押题精练

2 ∴对于函数 f(t)=t + 2-3(a-1≤t≤a+1), t 4 4 当 a> 2+1,即 a-1> 2时,
2 [f(t)]max=f(a+1)=a +2a-2+ 2, ?a+1?
2

2 [f(t)]min=f(a-1)=a -2a-2+ ; ?a-1?2
2

1

2

3

4

5

6

押题精练

当 1+ 2≤a≤ 2+1 时,
2

4

2 [f(t)]max=f(a+1)=a +2a-2+ 2, ?a+1? 4 [f(t)]min=f( 2)=2 2-3;
当 1<a< 1+ 2时,
2

2 [f(t)]max=f(a-1)=a -2a-2+ 2, ?a-1? 4 [f(t)]min=f( 2)=2 2-3.


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