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《三角函数模型的简单应用》教学设计交流


苏教版 (必修 4) 1.3.2 三角函数的应用(第一课时) 教材分析 本节选择了 2 个例题和 2 个探究案例,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用, 素材的选择上注意了广泛性,新颖性,同时又关注到三角函数的性质的应用。 教学目标 1、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程;体会三角函数是描述周期变化现象的重 要函数模型. 2、让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建 模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. 3、通过切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,从而激发学 生的学习兴趣;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 教学重难点 教学重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。 教学难点: 分析、 整理、 利用信息, 从实际问题中抽取基本的三角函数关系来建立数学模型, 并运用相关学科的知识来解决问题. 教法分析 1、数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科,因此,在教学中,不仅要使学生 “知其然”而且要使学生“知其所以然” ,所以要充分呈现获取知识和方法的思维过程。本 节课的特点是三角函数的应用,所以应让学生多参与,让其自主探究分析问题,然后老师启 发、总结、提炼、升华为分析解决问题的能力。 2、多媒体辅助教学:通过几何画板、动画等技术制作多媒体课件,直观反映生活中的三角 函数例子,并用多媒体反映图形的变化过程。 预习发现、合作交流、讲解点拨、演练提升相结合. 教学设计 思路 :我们已经学习了三角函数的概念,图象以及性质,研究了三角函数的周期性,在现 实生活中如果某种变化着的现象具有周期性, 那么是否可以借助三角函数来描述呢?对于一 个实际问题, 如何恰当选择一个数学模型来刻画它呢?由数学理论巧妙引入到生活中实际问 题更易理解接受。 教学过程及设计意图如下: 教 学 过 程 设 计 意 图 基础知识点回顾 1.函数的图象的对称中心为 ,对称轴方程为 . 2.把函数的图象向右平移个单位后是偶函数,则的最小正值是 . (一)课题引入 情景展示,引入课题(多媒体显示) 同学们看过海宁潮吗???. 今天我就带大家去看一看天下奇观——海宁潮. 在潮起潮落中 也蕴含着数学知识. 又如大家熟悉的 “物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系” 、 “交流电的电流与时间的关 系” 、 “声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。

这样的例子还有很多,比如: 二.提出问题 例 1.如图,点 O 处为简谐运动的物体的平衡位置,取向右方向为物体位移的正方向 ,若 已知振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处 B 时开始计时。 (1)求物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系; (2)求该物体在 t=4s 时的位置。

总结: 其实我们接触到的三角函数模型的应用有两类: 一类是已知模型将其具体化, 如例 1 ; 另一类是模型未知,需要你根据题目情况选择合适的数学模型加以解决,如例 2。当然第二 类难度更大。因此为了更好地突破难点,在做了简单归纳总结后,进行以下变式练习。 变式:函数是偶函数,且其图像上相邻的一个最高点与最低点之间的距离为. (1)求 f(x)的解析式; (2)若,求的值. 说明: 这道题重在培养学生的数形结合解题的能力, 应用三角函数与其它类函数的图像相结 合通过图象寻找问题突破口,教师简单点拨,由学生讨论,交流,板演完成,教师点评,紧 接总结此类问题的规律和突破点。 。 【问题的反思】 : ①一般地, 所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况, 因此应当特别注 意自变量的变化范围; ②与学生一起探索的各种求法; (这是本题的关键!也是难点! ) (用最大小值点代入不容易 出现错误) ③如何根据图像求解析式中的待定参数 ④探究其他解法:或 等 ⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。

三、练习反馈 1.函数的一部分图象如图所示,则函数的解析式为 2.函数在区间恰好有两个最大值,则实数 t 的范围是 3.画出函数的图象并观察其周期. 分析与简解:如何画图? 法 1:去绝对值,化为分段函数(体现转化与化归! ) ; 法 2:图象变换——对称变换,可类比的作法.

. .

从图中可以看出,函数是以为周期的波浪形曲线. 反思与质疑: 利用图象的直观性, 通过观察图象而获得对函数性质的认识, 是研究数学问题的常用方法; 本题也可用代数方法即周期性定义验证: ∴的周期是. (体现数形结合思想! ) 四、总结提炼 (1)请总结本节课所学主要知识点有哪些?这些内容可以用来解决哪些类型的问题,所运用 的数学思想又是什么呢?(2)你还有什么收获?

设计意图:这三个问题是对前面学习的 图象的简单应用,利用图像解决问题的进一步拓展,由易到难,由已知到未知,逐渐引入,由学 生独立完成,考察学生对图像变换知识的理解运用程度。

设计意图:通过录象让学生在熟悉的问题情景中进入课题,能充分激发学生的学习热情和兴 趣。

设计意图:①从大家比较熟悉的“物理中单摆、弹簧振子对平衡位置的位移与时间的关系” 引入,说明在现实世界中存在着不少周而复始,循环不息的现象,而这些具有周期性变化的 现象在数学上有时就可以借助三角函数来描述。 。 ②切入本节课的课题,让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入新课,创 设情境,激发思维,让学生带着问题,有目的地参与下列教学活动。

设计意图: 提出问题, 由学生动脑分析, 自主探究。 通过代多个点出现问题从而体会点 (10, 20)在增区间上点区别于减取间上的平衡点,培养数形结合的数学思考习惯。 通过总结归纳总结这种方法解题的思路方法,培养概括的能力。

设计意图: 养成学生多角度考虑问题的习惯, 培养学生的发散思维。 一题多解激发活跃思路, 培养学生学习的兴趣。 升华为思想方法 通过画函数的图象来研究性质。 由已知函数模型来研究函数, 培养学生应用已知函数解决问 题方法。

变式练习,开阔思路,启迪思维,培养能力。 数行结合求周期。

利用三角函数解决生活中的实际问题,培养解决实际问题的能力。

运用信息技术直观展示问题的实质。

设计意图: 优化学生的知识结构, 使之系统化、 条理化, 加强知识间内在联系的理解和认识。 知识性、 方法性内容的小结, 可把课堂所学知识尽快化为学生的素质; 数学思想方法的小结, 可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用, 并且逐渐培养学生的良好的个 性品质。

教学设计说明 《标准》 把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教学中不仅要突出知识 的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间 , 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数 学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力, 发展学 生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数 学模式作出思考和判断. 通过已知三角函数图象求三角函数解析式,构建三角函数模型解 决实际问题. 在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、 数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自 身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学 探究的切身体验和能力. 增进了他们对数学的理解和应用数学的信心.


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