当前位置:首页 >> 数学 >>

福建省“四地六校”2015--2016学年高二数学下学期第二次联考试题 理


“四地六校”联考 2015—2016 学年下学期第二次月考 高二数学(理)试题
(满分 150 分, 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要 求的.) 1.若复数 ?1+ai ? ? 2i ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a = (
2

) D. ± 1

A. 1

B. ?1

C. 0 ) C.(0,+∞)

2.函数 f ( x) ? x2 ? 2ln x 的 单调递减区间为 ( A.(0,1) B. (-1,1)

D. (1,+∞) )

3. 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 ( A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种

4. 如图,在正方形 OABC 内,阴影部分是由两曲线 y ?

x , y ? x2 (0 ? x ? 1) 围成,
) D.

在正方形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( A.

2 3

B.

1 2 1 2

C.

1 3


1 6

5.已知随机变量 X 服从二项分布 B(4, ) ,则 D(3 X ? 1) ? ( A. 3 B. 4 C. 9

D. 10 )
?2 ?1

y

6.已知在 R 上可导的函数 f ( x) 的图象如图所示,则不等式 f ( x) ? f ?( x) ? 0 的解集为( A. (?2, 0) C. (??, ?2) ? (0, ??) B. (??, ?2) ? (?1, 0) D. (?2, ?1) ? (0, ??)
?

0

x

第5题

7.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? AA 1 , ?ACB ? 90 , 则直线 AC 1 与平面 A 1 BC1 所成的角的大小为( A. ) B.

C1
C.

B1

30?

60?

90?

D. 120

?

A1


x 8.若点 P 是曲线 y ? 2 x ? e 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x 的最小距离为(

C
C

B

A. 1

B. 2

C.

2 2

D.

3 3

A

2 9. ( x ? 2 ? ) 的展开式中, x 的系数为(
5

1 x

) C.90 D.120
1

A.45

B.60

10. 袋子中装有各不相同的 5 个白球和 3 个红球,不放回地依次随机取两个,已知第一次取到的是红球, 则第二次取到的也是红球的概率是 ( A. ) C.

1 8

B.

3 28

1 4

D.

2 7

11.双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 E 左支上一点, PF1 ? F1F2 ,直线 a 2 b2
) C.

PF2 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 相切,则 E 的离心率为(

A.

5 4

B. 3
x a

5 3

D.

2 3 3

12. 已知函数 f ( x) ? x ? e 存在单调递减区间, 且 y ? f ( x)的图象在 x ? 0 处的切线 l 与曲线 y ? e x 相 切,符合情况的切线 l ( A.有 3 条 ) B.有 2 条 C. 有 1 条 D.不存在

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.计算

?(
0

1

1 ? x 2 ? x)dx ? _________
1 1 1 , , ,且三个元 2 3 4

14.在一个由三个元件 A, B, C 构成的系统中,已知元件 A, B, C 正常工作的概率分别是 件正常工作与否相互独立,则这个系统正常工作的概率为:__________ 15. 观察下列数表: 1 3 7 15 ? 5 9 17 ? 11 19 ? 13 21 23 25 27 29

A B

C

设 1025 是该表第 m 行的第 n 个数,则 m ? n ? ____________. 16.已知 f ( x ) 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且 f ( x) ? xf '( x) 恒成立,则不等式 x f ( ) ? f ( x ) ? 0 的解
2

1 x

集为_____

_____.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17. (本小题 10 分)旅游公司为 3 个旅游团提供甲、乙、丙、丁 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一 条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率; (3)求至少有一个旅游团选择甲线路旅游的概率;

18. (本小题12分)设函数 f ( x) ?

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的极值;

1 2 ax ? x ? ln x , a ? R 2

(2)若 f ( x ) 在[2,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围.

19. (本小题12分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAD 是边长为 a 的正三角形,平面 PAD ? 平面

ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60? , E 是 AD 的中点, F 是 PB 的中点. (1)求证: EF / / 平面 PCD . (2)求二面角 B ? EC ? F 的余弦值.
P

D E A

F C

C

B C

3

20. (本小题 12 分)每逢节假日,在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚,还能增进彼此的感情.2016 年 “5.1”期间,小王在自己的微信校友群,向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包,发放的规则 为:每次发放 1 个,每个人抢到的概率相同. (1)若小王随机发放了 3 个红包,求甲至少得到 2 个红包的概率; (2)若丁因有事暂时离线一段时间,而小王在这段时间内共发放了 3 个红包,其中 2 个红包中各有 5 元, 1 个红包有 10 元,记这段时间内乙所得红包的总钱数为 X 元,求 X 的分布列和数学期望.

x2 y 2 3 21. (本小题 12 分)已知椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1、F2 ,离心率为 ,点 M 在 a b 3
椭圆上,且满足 MF2 ? x 轴, MF1 ? (1)求椭圆的方程; (2)若直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 A,B 两点, 求△ABO(O 为坐标原点)面积的最大值.

4 3 . 3

22.(本小题 12 分) 已知实数 a ,函数 f ( x) ? e

? ax 的图象与 x 轴相切. (1)求实数 a 的值及函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 x ? 1 时, f ( x) ? m( x ? 1) ln x ,求实数 m 的取值范围.

x ?1

4

“四地六校”联考 2015—2016 学年下学期第二次月考 高二数学(理)参考答案 一、选择题。(本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一 个选项符合题意,请将正确答案填入 答卷中) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 D 10 D 11 C 12 D

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.

? ?2
4



14.

1 ; 6

15. 12 ;

16. (1. ? ?) ;

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解: (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=
3 A4 3 ? 3 8 4

...........3 分

(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:P2=

2 2 C4 ? C 32 ? A2 9 ? ????????6 分 3 16 4

(3)设选择甲线路旅游团个数为 X,则 X=0,1,2,3 事件“至少有一个旅游团选择甲线路旅游”

即 ?X ? 1 ? ? ?X ? 1? ??X ? 2? ??X ? 3? ?????????7 分

P ? X ? 1? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ? P ? X ? 3? =

1 2 3 C3 3 C32 3 C3 37 ? ? ? ???????10 分 3 3 3 4 4 4 64

33 37 ? 或 P ? X ? 1? ? 1 ? P( X ? 0) ? 1 ? (用独立重复试验解法酌情给分) 64 64 18.解: (1)函数定义域为 (0, ??) , a ? 2 时, f ( x) ? x2 ? x ? ln x 1 (2 x ? 1)( x ? 1) f ?( x) ? 2 x ? 1 ? ? ????????2分 x x 1 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,或 x ? ? (舍去) 2 在 (0,1) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减 在 (1, ??) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增 所以函 数 f ( x ) 在 x ? 1 处取极小值,且 f ( x)极小值 = f (1) ? 0 ;函数无极大值;????????5分 (2) f ( x ) 在[2,+∞)上单调递增 1 ? f ?( x) ? ax ? 1 ? ≥ 0 在 x ??2, ??? 上恒成立 ????????7分 x 1 1 ? a ? ? 2 ≥ 0 在 x ??2, ??? 上恒成立 x x 1 1 ? a ≥ 2 ? 在 x ??2, ??? 上恒成立 x x 1 1 只要 a ≥( 2 ? ) max , x ??2, ??? x x 1 1 1 1 3 3 由 x ? ? 2, ?? ? ? 0 ? ? ,所以( 2 ? ) max ? ,所以 a ≥ ????????12分 x 2 x x 4 4
5

19 解: (1)取 PC 的中点 G ,连接 FG, DG .

P
G

1 1 F 由题意知 ED / / BC 且 ED ? BC , FG / / BC 且 FG ? BC D 2 2 C 所以 ED / / FG 且 ED ? FG ,即 E 四边形 EDGF 是平行四边形,所以 EF / / DG , A 又 EF ? 平面 PCD , DG ? 平面 PCD 所以 EF / / 平面 PCD . ????????4分 z (2)连结 PE ,则 PE ? AD ,∵平面 PAD ? 平面 ABCD , AD 为交线, P ∴ PE ? 平面 ABCD , ? ∵四边形 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60 , E 是 AD 的中点,∴ EB ? AD 以 E 为坐标 原点, EA 为 x 轴, EB 为 y 轴, EP 为 z 轴,建立如图所示的空间直角 D 坐标系 E ? xyz ,则

C

B C

F C
B

C

3 3 3 3 3 a, 0) , C (?a, a, 0) , F (0, a, a) ,平面 EAC P(0, 0, a), B(0, 2 2 4 4 2 ?? ?? ? 的一个法向量 n1 ? (0,0,1) ,设 n2 ? ( x, y, z) 是平面 EFC 的一个法向量,

E

A

x

y

C

? 3 3 ?? ? ??? ? az ? 0 ? ay ? ?? ? 3 ? n ? EF ? 0 ? 2 ? 4 4 由 ? ?? ,令 y ? 3 ,得 n2 ? ( , 3, ? 3) ????????8分 ?? ? ??? ? 2 3 ?n2 ? EC ? 0 ? ? ? ax ? ay ? 0 ? ? 2 ?? ?? ? ?? ?? ? n ? n2 ? 3 ?2 11 ????????10分 cos n1 , n2 ? ??1 ?? ? ? ? 11 33 n1 ? n2 1? 2 又二面角 B ? EC ? F 的平面角是锐角, 2 11 所以二面角 B ? EC ? F 的余弦值是 ????? ???12分 11
20 解: (1)设“甲至少得 2 个红包”为事件 A,由题意得:

1 3 5 3 1 3 3 0 P( A) ? C32 ? ( ) 2 ? ? C3 ( )( ) ? 4 4 4 4 32
(2)由题意知 X 可能取值为 0,5,10,15, 20 .

????????3 分 ????????4 分

2 8 P( X ? 0) ? ( )3 ? 3 27 ,

1 2 8 1 P ( X ? 5) ? C2 ? ? ( )2 ? 3 3 27
1 2 2 1 2 P( X ? 10) ? ( ) 2 ? ? ( ) 2 ? ? 3 3 3 3 9,

1 2 4 1 P( X ? 15) ? C2 ? ( )2 ? ? 3 3 27 1 1 P ( X ? 20) ? ( )3 ? 3 27

6

所以 X 分布列为

X

0

5

10

15

20

P

8 27

8 27

2 9

4 27

1 27
????????10 分 ????????12 分

8 8 2 4 1 20 E( X ) ? 0 ? ? 5? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 27 27 9 27 27 3
21 解析:(I)由已知得

2 2 2 2 2 2 2 c2 1 ? ,又由 a ? b ? c , 可得 a ? 3c , b ? 2c , 2 a 3

得椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, 3c 2 2c 2
? ? 2 3 ? c? , 3 ?

因为点 M 在第一象限且 MF2 ? x 轴,可得 M 的坐标为 ? c,

由 F1 M ?

4 4 3 4c 2 ? c 2 ? ,解得 c ? 1 , 3 3
x2 y2 ? ?1 3 2
????????4 分
2 2

所以椭圆方程为

(II)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将 y ? kx ? 2 代入椭圆,可得 (3k ? 2) x ? 12kx ? 6 ? 0
2 由 ? ? 0 ,可得 3k ? 2 ? 0 ,则有 x1 ? x 2 ? ?

12 k 6 , x1 x 2 ? 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2
2

????????7 分

所以 AB ? 1 ? k

2

x1 ? x2 ? 1 ? k

2

2 1 ? k 2 18k 2 ? 12 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 2 ? 3k 2
2 1? k 2
????????9 分

因为原点 O 直线 y ? kx ? 2 的距离为

1 2 2 1 ? k 2 18k 2 ? 12 2 18k 2 ? 12 所以 ?OAB 的面积 S ? ? ? ? 2 1? k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2 令 3k ? 2 ? t ,由①知 t ? (0,??)

S ?2

6t 6t ?2 2 ?2 t?4 t ? 8t ? 16

6 6 ? 16 2 t ? ?8 t

?????11 分

所以 t ? 4 时,面积最大为

6 . 2

?????12 分
7

22 解: (1) f ? ? x ? ? e x ?1 ? a ,设切点为 ( x0 , 0) , ··············· 1 分

?e x0 ?1 ? ax0 ? 0, ? f ( x0 ) ? 0, ? 依题意, ? 即 ? x ?1 0 ? f ?( x0 ) ? 0, ? ?e ? a ? 0, ? x ? 1, 解得 ? 0 ···························· 3 分 ? a ? 1, 所以 f ? ? x ? ? ex ?1 ? 1 .
当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 故 f ? x ? 的单调递减区间为 (??,1) ,单调递增区间为 (1, ??) . ······· 5 分 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? m( x ? 1)ln x , x ? 0 . x ?1 则 g ?( x) ? e x ?1 ? m(ln x ? ) ?1 , x 1 1 令 h( x) ? g ?( x) ,则 h?( x) ? e x ?1 ? m( ? 2 ) , ·············· 6 分 x x 1 1 1 当 x ? 1 时, ? ? ? 1 ,则 ? ? ( ? 2 ) ? 2 x x x 1 (ⅰ)若 m ? , 2 1 1 因为当 x ? 1 时, e x ?1 ? 1 , m( ? 2 ) ? 1 ,所以 h?( x) ? 0 , x x 所以 h( x) 即 g ?( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 又因为 g ?(1) ? 0 ,所以当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 从而 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增, 而 g (1) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? m( x ? 1) ln x 成立. ········· 9 分 1 (ⅱ)若 m ? , 2 1 1 x ?1 可得 h?( x) ? e ? m( ? 2 ) 在 (0, ??) 上单调递增. x x 1 1 ? }? 0, 因为 h?(1) ? 1 ? 2m ? 0 , h?(1 ? ln(2m)) ? 2m ? m{ 1 ? ln(2m) [1 ? ln(2m)]2 所以存在 x1 ? (1,1 ? ln(2m)) ,使得 h?( x1 ) ? 0 , 且当 x ? (1, x1 ) 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 即 g ?( x) 在 (1, x1 ) 上单调递减, 又因为 g ?(1) ? 0 ,所以当 x ? (1, x1 ) 时, g ?( x) ? 0 , 从而 g ( x) 在 (1, x1 ) 上单调递减, 而 g (1) ? 0 ,所以当 x ? (1, x1 ) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? m( x ? 1) ln x 不成立. 1 纵上所述, m 的取值范围是 (??, ] . ················· 12 分 2

8


赞助商链接
相关文章:
福建省四地六校2015-2016学年高二数学上学期第二次联考...
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档福建省四地六校2015-2016学年高二数学学期第二次联考(11月)试题 _数学_高中教育_教育专区。“华安一中 泉港一中 永安一中...
福建省四地六校2015-2016学年高三数学上学期第二次联考...
福建省四地六校2015-2016学年高三数学学期第二次联考(11月)试题 _数学_高中教育_教育专区。“华安、 连城、 泉港、 永安、 漳平一中, 龙海二中” 六校联考...
福建省四地六校2015-2016学年高二下学期第一次联考数学...
福建省四地六校2015-2016学年高二下学期第次联考数学()试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。“四地六校”联考 2015-2016 学年下学期第一次月考 高二(...
...2015--2016学年高二政治下学期第二次联考试题(新)
福建省四地六校2015--2016学年高二政治下学期第二次联考试题(新)_数学_...从哲学 的角度看,下列观点与此一致的是 ①存在即被感知 ③气者之依也 A....
福建省四地六校2015-2016学年高二上学期第二次联考(11...
福建省四地六校2015-2016学年高二学期第二次联考(11月)物理_数学_高中教育_教育专区。HLLYBQ 整理 供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ” 2015-2016学...
...2015--2016学年高二化学下学期第二次联考试题(新)
福建省四地六校”2015--2016学年高二化学下学期第二次联考试题(新)_理化生_高中教育_教育专区。“四地六校”联考 2015-2016 学年下学期第二次月考 高二化学...
...2016_2017学年高二数学下学期第二次联考5月试题理
福建省四地六校2016_2017学年高二数学下学期第二次联考5月试题理_中考_初中教育_教育专区。2016—2017 学年下学期第二次月考 高二数学()试题 (满分 150 分...
福建省四地六校2015-2016学年高三数学上学期第二次联考...
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档福建省四地六校2015-2016学年高三数学学期第二次联考(11月)试题 文_数学_高中教育_教育专区。“华安、连城、泉港、永安、...
福建省四地六校2015-2016学年高二上学期第二次联考数学...
福建省四地六校2015-2016学年高二学期第二次联考数学()试卷_资格考试/认证_教育专区。“华安一中 泉港一中 永安一中 龙海二中”四校联考 2015-2016 学年上...
福建省“四地六校”2015--2016学年高二下学期第二次联...
四地六校联考 20152016 学年下学期第二次月考 高二语文试题(考试时间:150 分钟 命题人: 总分:150 分) 审题人: 一、现代文阅读(9 分,每小题 3 分...
更多相关标签: