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高中理科数学解题方法篇(值域与最值3)


第二单元 函 数

新课标高中一轮总复习

理数

第8讲
函数的值域与最值

理解函数的单调性、值域和最 值的概念;掌握求函数的值域和最 值的常用方法与变形手段.

1.函数y=3x(-1≤x≤3,且x∈Z)的值 域是 {-3,0,3,6,9} .

由-1≤x≤3,且x∈Z?x=-1,0,1,2,3,
代入y=3x,得所求值域为{-3,0,3,6,9}.
1 2.函数f(x)= 2 (x∈R)的值域是( B ) 1? x

A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
1 函数f(x)= 1 ? x 2 (x∈R),所以1+x2≥1,

所以原函数的值域是(0,1].

5. 已 知 x≥0 , y≥0 , 且 x+2y=1 , 则 2x+3y2的最小值为 3 .
4

因为x+2y=1,x≥0,y≥0, 所以0≤2y≤1?0≤i≤ 2x+3y2=3y2+2-4y=3(y- 2 )2+ 2 ,
3 3 1 所以当y= 时, 2 1 2 2 2 3 2) (2x+3y min=3( - ) + = . 3 4 2 3

1 ,2

3.函数f(x)=x2-2x(x∈[0,4])的最大值 是 8 ,最小值是 -1 . f(x)=(x-1)2-1. 当x=1时,f(x)min=-1; 当x=4时,f(x)max=42-2×4=8.
1 4.函数f(x)= x ? (x≤-12)的值域是 (-∞,-2] . x 1 x 当x=-1时, ? 取最大值-2. x

1.函数的值域与最值 (1)函数的值域是① 函数值 的集合,它是由定义 域和对应法则共同确定的,所以求值域时应 注意函数的② 定义域 .
(2)函数的最值. 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满 足:(ⅰ)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(ⅱ)存 在x0∈I,使得f(x0)=M,则称M是函数y=f(x)的③ 最大值 .类似地可定义f(x)的最小值.

2.基本初等函数的值域
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为④

R.

(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域: 4ac ? b 2 ,+∞) ; 当a>0时,值域为⑤ [ 当a<0时,值域为⑥ [-∞, . k (3)反比例函数y= (k≠0)的值域为⑦ {y|y≠0} . xx (4) 指 数 函 数 y=a (a>0 且 a≠ 1 ) 的 值 域 为 ⑧ . (0,+∞)
4a 4ac ? b 2 ) 4a

(5)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的值域为 R. ⑨
(6) 正 、 余 弦 函 数 y=sinx(x∈R) 、 [-1,1] ;正切 y=cosx(x∈R)的值域为⑩ ? 函 数 y=tanx(x≠kπ+ ,k∈Z) 的 值 域 为 2 . 11 R

3.求函数的值域(最值)常用的方法

(1)二次函数用配方法.
(2)单调性法.

(3)导数法.
(4)复合函数的值域由中间变量的范围确定.

此外还有换元法、数形结合法、基本不等式 法等.
4.若f(x)为闭区间[a,b]上的连续函数,则 f(x)在[a,b]上一定有最大、最小值.

典例精讲
题型一 值域与最值的关系

例1 已知函数y=f(x)的值域为集合D,
函数y=f(x)的最大值、最小值分别为M、 N,则M、N、D的关系是( ) D A.D=[N,M] B.M>D>N

C.D? [N,M] ?

D.M、N∈D

不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3,且x∈Z), 可知D={-3,0,3,6,9},M=9,N=-3,可 知,A、B、C错误,选D.

点评 1.函数的值域是函数值的集合,
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数 时 , D=[N , M] , 其 中 N=f(x)min , M=f(x)max.

题型二 函数值域的求法 例2 求函数f(x)=cosx+lg(1-x2)的值域.
由1-x2>0,得f(x)的定义域为{x|1<x<1} , 且 f(x) 为 偶 函 数 , 故 可 考 虑 0≤x<1时的情况,此时,f(x)为减函数, 故 f(x)≤f(0)=1 , 所 以 f(x) 的 值 域 为 {y|y≤1}.

点评
1.函数的值域由定义域和对应法则一并确 定,故应特别注意定义域对其值域的制约. 2.求值域的常用方法有:

1°观察法:一看定义域;二看函数性质; 三列举.
2°函数单调性法(见例2).

3°转换法.
①转换为基本函数(或条件基本函数),
ax ? b 如y= cx ? d

Ax2+Bx+C=0.

k 与y= x

的关系,y=

a1 x 2 ? b1 x ? c1 与 2 a2 x ? b2 x ? c2

②转换为几何问题,数形结合. ③转换为三角函数问题,利用三角函数的 有界性.

4°不等式法.
5°导数法.

变式 求下列函数的值域:
(1) y=2x2-4x+1;

(2) y=log1
(3)
2x ? 1 y= x 2 ?1
2

4 ? x2

;

.

分析 这些都是求复合函数的值域,
可通过中间变量的取值范围结合简 单函数的值域来求.

(1)因为t=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3, 所以2t≥2-3=
1 1 (2)因为0<t= 4 ? x2 ≤2,所以log t≥log 2=-1, 2 2

1 1 ,所以该函数的值域为[ ,+∞). 8 8

故该函数的值域为[-1,+∞).

(3)y=

该函数定义域为{x|x≠0,x∈R},

2x ?1 ? 2 2x ?1

=1+

2 2x ?1

.

所以-1<2x-1<0或2x-1>0,
从而y<-1或y>1,

所以该函数的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

题型三 函数的值域与最值的综合问题
已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R). 例2 (1)若函数f(x)的最小值为0,求a的值; (2)若函数f(x)≥0对任意x∈R都恒成立, 求函数g(a)=2-a|a+3|的最大值.

(1)因为f(x)=(x-2a)2+2a+6-4a2, 且f(x)min=0,所以2a+6-4a2=0,
3 所以a=-1或a= . 2
3 解得-1≤a≤ . 2



(2)因为f(x)≥0,由①知,2a+6-4a2≥0,



所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)= 所以当a=-1时,g(a)max=4.
3 2 17 -(a+ ) + (a∈[-1, 3 ]), 4 2 2

点评
1.因为二次函数f(x)在R上连续,所以 f(x) 的 最 小 值 为 0 , 即 f(x) 的 值 域 为 [0,+∞). 2.由于函数的最值不过是函数值域中的 一个元素而已,故求值域的方法都适 用于求函数的最值.

1 已知函数f(x)=|1- |(x>0). x

备选题

1 1 (1)当0<a<b,且f(a)=f(b),求证: + =2; a b

(2) 是 否 存 在 实 数 a 、 b(a<b) 使 得 函 数 y=f(x)的定义域、值域都是[a,b]; 若存在,则求出a、b的值;若不存在, 请说明理由.

分析首先化简函数解析式,判断函数的单
调性,利用单调性求解,注意思维的严谨性 和敏捷性,要数形结合,分类讨论.

1 1 (1)证明:因为f(x)=|1- |= -1(0<x≤1) x x 1 1- (x>1), x
1 1 1 1 由0<a<b和 -1=1- ,得 a + b =2. b a

故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是 增函数, (2)假设存在这样的实数a、b(a<b)使得函 数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b].

①当0<a<b≤1时,
1 函数f(x)= -1在(0,1]上是减函数, x

则f(a)=b

f(b)=a,即

1 a

-1=b

解得a=b,与0<a<b≤1矛盾,
故此时不存在满足条件的实数a、b. ②当1<a<b时,
1 函数f(x)=1- 在(1,+∞)上是增函数, x

1 -1=a, b

1 1- a =a 则 f(a)=a ,即

f(b)=b

此时实数a、b为方程x2-x+1=0的两根,但方 程x2-x+1=0无实根,因此不存在满足条件的 实数a、b. ③当0<a<1<b时,此时显然1∈[a,b],

1 =b, 1b

而f(1)=0?[a,b](a>0),故此时不存在满足条 ? 件的实数a、b. 综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.

方法提炼
1.配方法:主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数,要特别注意自变量 和新变量的范围.

2.均值不等式法:利用基本不等式或均值不等 式求最值时,一定要注意等号成立的条件. 3.函数单调性法.
4.导数法. 5.数形结合法:常用于条件及要求最值的表 达式有明显的几何意义.

走进高考
(2009· 南 卷 ) 函 数 湖 ? ? y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的

学例1

2 最小值是 2 .

2

2

? 因为0<x< 2 ,所以tanx>0,
1 所以y=2tanx+ ≥ 2 ,当且仅当 2 tan x 2 tanx= 时“=”成立. 2

海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表 学例2 (2009·

示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 . 设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最 大值为( ) C
A.4 C. 6 B. 5 D. 7

令2x=x+2?x1<0(舍去)或x2=2. ?
令 2x=10-x , 即 2x+x=10 , 则 2<x<3, 则可知f(x)的大致图象如下图所示 . 故f(x)≤6,即选C.

本节完,谢谢聆听


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