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2014世纪金榜课时提升作业(二十六) 第四章 第二节


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课时提升作业(二十六)
一、填空题 1.如图,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分 I, II, III, Ⅳ(不包含边界).设 OP ? mOP1 ? nOP2, 且点 P 落在第

III 部分,则实数 m,n 与 0 的大小关系是_______.
??? ? ???? ???? ?

2.(2013·淮安模拟)已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x=_______. 3.(2013·扬州模拟)设向量 a,b 满足|a|= 2 5, b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反, 则 a 的坐标为_______. 4.在平面直角坐标系 xOy 中, 四边形 ABCD 的边 AB∥DC, AD∥BC.已知 A(-2,0), B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为_______. 5.如图,在□ABCD 中,AB =a, AD =b, AN ? 3NC, M 是 BC 的中点,则 MN =_______ (用 a,b 表示).
??? ? ????
???? ????

???? ?

6.已知向量 a=(-2,3),b∥a,向量 b 的起点为 A(1,2),终点 B 在坐标轴上,
-1-

则点 B 的坐标为_______. 7.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 a=(1,2),a- b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b) ∥c,则 x=_______. 8.已知向量 OA =(1,-3), OB =(2,-1), OC =(m+1,m-2),若点 A,B, C 能构成三角形,则实数 m 应满足的条件是_______. 9.若 α,β 是一组基底,向量γ =xα +yβ (x,y∈R),则称(x,y)为向量γ 在基底 α ,β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为 (-2,2),则 a 在另一组基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为_______. 10.(能力挑战题)平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点 A(3,1), B(-1,3), 若点 C 满足 OC =α OA +β OB ,其中α ,β ∈R 且α +β =1,则点 C 的轨迹方 程为_______. 11.(2013·扬州模拟)向量 a=(sin θ ,1),b=(cos θ , 3 ),且 a∥b,其中 θ ∈(0, ).若 sin(ω -θ )= ,0<ω < ,则 cos ω =_______. 12.(能力挑战题)给定两个长度为 1 的平面向量 OA和OB , 它
? 上 们的夹角为 120°.如图所示, 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB
???? ??? ?

1 2

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? 2

3 5

? 2

运动.若 OC=xOA+yOB, 其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值为 _______. 二、解答题 13.(2013·苏州模拟)已知 P 为△ABC 内一点,且 3AP ? 4BP ? 5CP =0.延长 AP 交 BC
AD. 于点 D,若 AB =a, AC =b,用 a,b 表示向量 AP,

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14.(能力挑战题)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答 下列问题:
-2-

(1)求 3a+b-2c. (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n. (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k.

答案解析
1.【解析】由题意及平面向量基本定理易得在 OP ? mOP1 ? nOP2 中 m>0,n<0. 答案:m>0,n<0 2.【解析】∵a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),又 a+b 与 4b-2a 平行, ∴3(4x-2)=6(1+x),解得 x=2. 答案:2 3.【解析】设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x-2y=0 且 x2+y2=20,解得 x=4,y=2(舍去)或 者 x=-4,y=-2,即 a=(-4,-2). 答案:(-4,-2) 4.【解析】设 D 点的坐标为(x,y),由题意知 BC=AD , 即(2,-2)=(x+2,y),所以 x=0,y=-2, ∴D(0,-2). 答案:(0,-2) 5.【解析】由题意知 MN ? MC ? CN
? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? BC ? CA ? BC ? AC 2 4 2 4 ???? ??? ? ???? 1 1 ? AD ? AB ? AD 2 4 ?
??? ? ???? ???? ?

??? ? ????

???? ?

???? ??? ?

?

?

-3-

? 1 ???? ? 1 ???? 1 ???? 1 ??? 1 ??? AD ? AB ? AD ? ? AB ? AD 2 4 4 4 4 1 1 ? ? a ? b. 4 4 1 1 答案: ? a ? b 4 4 ?

6.【解析】由 b∥a,可设 b=λa=(-2λ,3λ). 设 B(x,y),则 AB =(x-1,y-2)=b. 由?
1-2?, ?-2?=x-1, ? x= ?? ?3?=y-2, ? y=3?+2.

??? ?

又 B 点在坐标轴上,则 1-2λ=0 或 3λ+2=0,
7 7 2 3 7 7 答案:(0, )或( ,0) 2 3 1 7. 【解析】 由 a=(1, 2), a- b=(3, 1)得 b=(-4, 2), 故 2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6). 2

所以 B(0, )或( ,0).

由(2a+b)∥c 得 6x=-6,解得 x=-1. 答案:-1 8.【思路点拨】运用反证法,从三点可以共线考虑,然后取所得范围的补集. 【解析】若点 A,B,C 不能构成三角形,则只能共线. ∵ AB=OB-OA =(2,-1)-(1,-3)=(1,2),
??? ? ??? ? ???? AC =OC -OA =(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1). ??? ? ??? ? ????

假设 A,B,C 三点共线, 则 1〓(m+1)-2m=0,即 m=1. ∴若 A,B,C 三点能构成三角形,则 m≠1. 答案:m≠1 9.【解析】由已知 a=-2p+2q =(-2,2)+(4,2)=(2,4),
-4-

设 a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 则由 ?
??? ? ? ? 2, ?? ? 0, 解得 ? ?? ? 2? ? 4, ?? ? 2.

∴a=0m+2n, ∴a 在基底 m,n 下的坐标为(0,2). 答案:(0,2) 10.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设 C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y 的关 系式,消去α,β即可得解. 【解析】设 C(x,y),则 OC =(x,y), OA =(3,1), OB =(-1,3).由 OC = α OA +β OB ,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
? x=3?-? ① ? 于是 ? y=?+3? ② ??+? =1 ③ ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

由③得β=1-α代入①②,消去β得 ?

1, ? x=4?- ? y=3-2?,

再消去α得 x+2y=5,即 x+2y-5=0. 答案:x+2y-5=0 【一题多解】由平面向量共线定理,得当 OC =α OA +β OB ,α+β=1 时,A, B,C 三点共线. 因此,点 C 的轨迹为直线 AB, 由两点式求直线方程得 即 x+2y-5=0. 11.【解析】∵a∥b,∴ 3 sin θ-cos θ=0,即 tan θ=
-5-

??? ?

????

??? ?

y- 1 x-3 = , 3- 1 - 1-3

3 . 3

? ? 2 6 ? 3 ? ? ? 又∵sin(ω- )= ,- <ω- < , 6 5 6 6 3 ? 4 ∴cos(ω- )= , 6 5 ? ? ∴cos ω=cos[(ω- )+ ] 6 6 ? ? ? ? =cos(ω- )cos -sin(ω- )sin 6 6 6 6

又∵θ∈(0, ),∴θ= .

4 3 3 1 ? ? ? ? 5 2 5 2 ? 4 3 ?3 . 10
4 3 ?3 10

答案:

【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法 向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键 是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据 三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决. 12.【思路点拨】建立坐标系,将 A,B,C 三点的坐标表示出来,转化为三角函数 的知识解决. 【解析】以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴建立平面直角坐标系,则可知 A(1,0), B(- , ),设 C(cos α,sin α)(α∈[0,
1 2 3 2

2? ]),则有 x=cos α+ 3

3 2 3 ? sin α,y= sin α,所以 x+y=cos α+ 3 sin α=2sin(α+ ), 3 3 6

所以当α= 时,x+y 取得最大值为 2. 答案:2 13.【解析】∵ BP ? AP ? AB ? AP -a, CP ? AP ? AC ? AP -b,
-6-

? 3

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

又 3AP ? 4BP ? 5CP =0, ∴ 3AP ? 4(AP ? a) ? 5 ? AP ? b ? =0,
??? ? 1 5 b, 3 12 ???? ??? ? 设 AD =t AP (t∈R),
??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

化简,得 AP = a+

???? 1 5 tb 3 12 ??? ? ??? ? 又设 BD =k BC (k∈R),

则 AD = ta+

①,

由 BC = AC ? AB =b-a 得
??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? BD =k(b-a).而 AD = AB + BD =a+ BD ,

??? ? ??? ? ??? ?

∴ AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb
?1 t ? 1 ? k, ? 4 ?3 由①②,得 ? 解得 t= , 3 ? 5 t ? k, ? ?12

????

②,

4 5 9 9 ??? ? 1 ???? 5 4 5 ∴ AP = a+ b, AD = a+ b. 3 9 9 12

代入①,有 AD = a+ b,

????

14. 【解析】 (1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2) =(0,6). (2)∵a=mb+nc, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
5 ? m = , ? ?-m+4n=3, ? 9 ∴? 解得 ? ?2m+n=2, ? n= 8 . ? 9 ?

(3)∵(a+kc)∥(2b-a), 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).
-7-

∴2〓(3+4k)-(-5)〓(2+k)=0,∴k=-

16 . 13

【变式备选】已知四点 A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
CD 共线. (1)求实数 x,使两向量 AB, ??? ? ??? ?

(2)当两向量 AB 与 CD 共线时,A,B,C,D 四点是否在同一条直线上? 【解析】(1) AB =(x,1), CD =(4,x). ∵ AB ∥ CD , ∴x2-4=0,即 x=〒2. ∴当 x=〒2 时, AB ∥ CD . (2)当 x=-2 时, BC =(6,-3), AB =(-2,1), ∴ AB ∥ BC .此时 A,B,C 三点共线, 从而,当 x=-2 时,A,B,C,D 四点在同一条直线上. 但 x=2 时,A,B,C,D 四点不共线.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

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