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上海市崇明县2015届高三数学上学期期末考试(一模)试题


上海市崇明县 2015 年第一次高考模拟考试试卷 数
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 考生注意: 本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与 答题要求,所有答案必须写在答题纸上,做在 试卷上一律不得分。答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 一、填空题(每题 4 分,共 56 分) 1、 设复数 z1 ? 1 ? i , z2

? 2 ? xi ( x ? R) ,若 z1 ? z2 ? R ,则 x 的值等于 2、函数 f ( x) ?
3x 2 1? x ? lg(3x ? 1) 的定义域是







? 1 0 3? 3、已知线性方程组的增广矩阵为 ? ? ,则其对应的方 程组解为 ? 2 1 0? 2? ? 4、在二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中, x 的一次项系数为 x? ?
5



.(用数字作答)

5、已知双曲线 k 2 x2 ? y 2 ? 1 (k ? 0) 的一条渐近线的法向量是 (1, 2) ,那么 k ? 6、圆锥的底面半径为 3,高为 1,则圆锥的侧面积为 .



1 7、设无穷等比数列 ?a n ? (n ? N *) 的公比 q ? ? , a1 ? 1 ,则 lim(a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n ) ? n?? 2
8、为了估计某鱼塘中鱼的尾数,先从鱼塘中捕出 2000 尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存



活),然后放回鱼塘,经过适当的时间,再从鱼塘中捕出 600 尾鱼,其中有标记的鱼为 40 尾, 根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为 .

9、已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且 AK ? 2 AF , 则 ?AFK 的面积为 .

10、现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?2 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机 抽取一个数,则它小于 8 的概率是 .

? 1≤ x ? 0 , ?ax ? 1, ? f ( x ) ? 1, 1 f ( x ) ? ? 上, 11、设 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 ? ? bx ? 2 , 0 ≤ x ≤1, ? ? x ?1
?1? ?3? b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 其中 a , ?2? ?2?
?ABC 面积的最大值等于



12、在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对应边分别为 a , b, c ,已知 a ? c sin B ? b cos C . b ? 2 ,则 .

1

13、定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线
C1 : y ? x2 ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到直线 l : y ? x 的距离,

则实数 a ?

.

14、若 X 是一个集合,? 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足: (1) X 属于 ? ,? 属于 ? ; (2)? 中任意多个元素的并集属于 ? ;(3)? 中任意多个元素的交集属于 ? .则称 ? 是集合 X 上的一个拓扑.已知集合 X ? ?a, b, c? ,对于下面给出的四个集合 ? : ① ? ? ? ?, {a}, {c}, {a, b, c} ? ; ② ? ? ? ?, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c} ? ; ③ ? ? ? ?, {a}, {a, b}, {a, c} ? ; ④ ? ? ? ?, {a, c}, {b, c}, {c}, {a, b, c} ? . 其中是集合 X 上的拓扑的集合 ? 的序号是 的集合 ? 的序号) 二、选择题(每 题 5 分,共 20 分) 15、若 a ? 0 , b ? 0 ,则 p ? A. p ? q . (写出所有集合 X 上的拓扑

b2 a 2 ? 与 q ? a ? b 的大小关系为……………………………( a b B. p ≤ q C. p ? q D. p ≥ q



16、已知圆 x2 ? y 2 ? 1 及以下三个函数:① f ( x) ? x3 ;② f ( x) ? x cos x ;③ f ( x) ? tan x .其中 图像能等分圆的面积的函数个数为………………………………………………………( A.3 B.2 C. 1 D.0 17、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数.若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当 ? ?? ? 5? ? x ? ?0, ? 时, f ( x) ? sin x ,则 f ? ? 的值为……………………… ……………………( ? 2? ? 3 ? A. ? )



1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

18、如图,正 ?ABC 的中心位于点 G (0, 1) ,A (0, 2) ,动点 P 从 A 点出发沿 ?ABC 的边界按逆时针方 ??? ? ? 向运动,设旋转的角度 ?AGP ? x (0 ≤ x ≤ 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1,0) 方向的投影为 y(O 为坐标 原点),则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像是……………………………………(
y y



y A B O C x

3 2

3 2

O
3 ? 2

2? 3

4? 3

2? x

O
3 ? 2

2? 3

4? 3

2? x

A.
y
2? 3

B.
y
2? 3

3 2

3 2

O
3 ? 2

4? 3

2? x

O
3 ? 2

4? 3

2? x

C.

D.

2

三、解答题(本大题共 74 分,解答下列各题需要必要的步骤) 19、(本题 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 的底面梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AB ? BC , AB ? 1 , AD ? 3 ,
?ADC ? 45? .又已知 PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 .

求:(1)异面直线 PB 与 CD 所成角的大小. (2)四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P

A B C

D

20、(本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 1 已知函数 f ( x) ? 3 cos2 x ? sin 2x . 2 (1)求 f ( x) 的最小正周期;
? ? ?? (2)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 4?

21、(本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为 60 ,整治后前四个月的污染度如下 表; 月 数 污染度 1 60 2 31 3 13 4 0 …… ……

污染度为 0 后,该工厂即停止整治,污 染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一 个月开始工厂的污染模式:
f ( x) ? 2 0 ? x 4 ≥x ( , g (1 x))?

20 ( x ? 4)2 ( x ≥1) , h( x) ? 30 log2 x ? 2 ( x ≥1) ,其中 3

x 表示月数, ?an ? 分别表示污染度.
(1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由; (2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过 60.

3

22、(本题 16 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 10 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三 角形,右焦点到右顶点的距离为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m (k ? R) ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,
请说明理由.

23、(本题 18 分,第(1)小题 4 分;第(2)小题 6 分;第(3)小题 8 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若 m ?
?1, n ? 1, 2 an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n ? 2 ,数列 ?bn ? 满足关系式 bn ? ? 2 ?bn ?1 ? m, n ≥ 2,

(3)设(2)中的 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,对任意的正整数 n , (1 ? n) ? (Sn ? n ? 2) ? (n ? p)2n?1 ? 2 恒成立,求实数 p 的取值范围.

4

上海市崇明县 2015 学年高三一模参考答案及评分标准 一、填空题: 1、? 2 ; 2、?0,1? ; 3、?

? x?3 ; ? y ? ?6

4、? 80 ;

5、 ;

1 2

6、3 10? ;

7、?

2 ; 3

8、 30000 ;9、8;

10、

7 10

11、 ? 10 ;

12、

2 ?1 2

;13、

9 4

;14、②④

二、选择题: 15、B; 16、A; 17、D; 18、C 三、解答题: 19、解 :(1)在梯形 ABCD 中,过 B 作 BE // CD ,交 AD 于 E,则 ?PBE 就是异面直线 PB 与 CD 所 成角。 计算得:AE=AB=1,连 PE,则 AP=AB=AE, 所以, ?PBE ? (2)BC=2

?
3

,即异面直线 PD 与 AC 所成角的大小为

? 。 3

S ABCD ? V ?

5 2

1 Sh 3 5 = 6
1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2 3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2 3

20、解:(1) f ( x) ?

? sin(2 x ?

?
3

)?

3 2

T ??
(2)因为 ?

?
6

?x?

?
4

,所以 0 ? 2 x ?

?

5 ? ? 3 6

5

当 2x ? 当 2x ?

?
3

?

?
2

时,即 x ?

?
12

时, f ( x ) 的最大值为 1 ?

3 2

?
3

? 0 时,即 x ? ?

?
6

时, f ( x ) 的最小值为

3 . 2

(求出 x 取值 1 分,正确计算最佳 2 分) 21、解:(1)计算各函数对应各月份污染度得下表: 月 数 (x) 污 染 度 0 1 6 1 6 0 2 3 4 3 13 20 6 .7 12 .45 4 … 0 … 0 0 0 … …

f ( x)

0 0 0

g ( x)
h( x )

6 2 6.7 6 0 3

(每个 数正确得 2 分) 从上表可知,函数 h( x) 模拟比较合理,故选择 h( x) 作为模拟函数。
x (2) 30 log 2 ? 2 ? 60

解得 1 ? x ? 16 ,所以,整治后 16 个月的污染度不超过 60。

x2 y2 22、解(1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,半焦距为 c , a b
则?

? a ? 2c ?a ? c ? 1 ?a ? 2 ?c ?1
3 ,椭圆方程为

解得: ?

x2 y2 ? ?1 4 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)解:存在直线 l ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立。
所以, b ?

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx? 4m ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ?4
由 ? ? 0 得 3 ? 4k ? m 。
2 2

6

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

由 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 得, OA ? OB ? 0 所以 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0 化简得 7m ? 12 ? 12k
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

所以 m ?
2

12 7
2

由 ? ? 0 得, m ? 因此, m ?
2

3 4

12 7

23、解:(1)等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 得?

? a1 ? 2d ? 7 ?2a1 ? 10 d ? 26

所以 ?

?a1 ? 3 , an ? 2n ? 1 (n ? N ? ) d ? 2 ?
n ?1

(2) m ? 2

1 n ?1 ? bn ? ? n ?1 n?2 ?bn ?1 ? 2
由上 n ? 2 时, bn ? 2 n ? 1
1 ? 由于当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? 1 ? b1 ,所以 bn ? 2 n ? 1 (n ? N )

(3)由 ( 1 ? n) ? (Sn ? n ? 2)+(n ? p) 2n?1 ? 2 得p?

1 ? 1 对一切 (n ? N ? ) 恒成立, n 2

由于

1 1 ? 1 (n ? N ? ) 为减函数,所以 p ? lim ( n ? 1) ? ?1 ,取值范围是 ?? ?,?1?。 n 2 2 n ??

7


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