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二次函数的图像(一般式)


y ? x2

8
6

y ? 2 x2

4
2 -4 -2 2

y?

1 2 x 2

4

你准备好了吗?
函数表达式

开口 方向

增减性

r />对称轴

顶点坐标

y ? ax2
y ? ax2 ? c
y ? a? x ? h ?
2 2

y ? a? x ? h ? ? k

a>0,在对称轴 y轴(直线x ? 0) 左侧,y都随x a>0, 的增大而减小, 开口 在对称轴右 y轴(直线x ? 0) 向上; 侧,y都随 x的 增大而增大.; 直线x ? h a<0,在对称轴 a<0, 左侧,y都随x 开口 的增大而增大, 直线x ? h 向下. 在对称轴右 侧,y都随 x的 增大而减小 .

(0,0)

(0, c)
(h,0)

( h, k )

你知道吗?
中国人的飞天梦想又一次勇敢起航啦 !
北京时间 2011年9月29日 晚21时16分, 中国在酒泉卫 星发射中心载 人航天发射场, 用“长征二号 F”T1运载火箭, 将中国全新研 制的首个目标 飞行器“天宫 一号”发射升 空。

你知道吗? 当一枚火箭被竖直向上发射时,它的 高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以 用公式 h = - 5 t ? + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高 点?最高点的高度是多少?
今天我们继续学习: 二次函数的一般形式y=ax2+bx+c的图象

直接画函数

我们知道,作出二次函数 y ? 1 x 2 的图象,通过平移抛物 2 1 2 线 y ? x 是可以得到二次函数 y ? 1 x 2 ? 6 x ? 21 的图象. 2 2 1 应该在什么位置作出函数 y ? x 2 ? 6 x ? 21 的图象呢?

1 2 y ? x ? 6 x ? 21 2

的图象

1 2 解: y ? x ? 6 x ? 21 2 1 2 x ? 12 x ? 42 提取二次项系数 ? 2 1 2 配方 ? x ? 12 x ? 36 ? 36 ? 42 2 1 2 ? x ? 6? ? 6 整理 ? 2 1 2 化简:去掉中括号 ? ? x ? 6? ? 3.

2

? ?

?

?

?

?

能否转化为 上一节课所 学知识?

顶点式

直接画函数

1 2 y ? x ? 6 x ? 21 2

的图象

根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
1 ∵a= >0, 2

∴开口向上;
对称轴:直线x=6;

顶点坐标:(6,3).
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
x … 3 7.5 4 5 5 3.5 6 3 7 3.5 8 5 9 7.5 … …

1 2 y ? ? x ? 6? ? 3 … 2

直接画函数

1 2 y ? x ? 6 x ? 21 2

的图象

1 2 描点、连线,画出函数 y ? ? x ? 6? ? 3 图像. 2 问题: 1 2 y ? x ? 6 x ? 21 1.看图像说说抛物线 2
1 2 y ? x ? 6 x ? 21 2 的增减性。





5

● ● ● ●



(6,3)

O

5

10

2.怎样平移抛物线 1 2 y? x 2 可以得到抛物线 1 2 y ? x ? 6 x ? 21? x 2

你学会了吗?
研究二次函数y=ax2+bx+c的图象,关键是找到 对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)? +k的形式,然后确定抛 物线的开口方向、对称轴和顶点。 练习: 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2 2 ? 1? 1 1. y ? 3x ? 2x y ? 3? x ? ? ? 3? 3 2.

1 2 y ? x - 4x ? 3 2

1 2 y ? ? x ? 4? - 5 2

函数y=ax2+bx+c的顶点式
用配方法求二次函数y=ax? +bx+c的对称轴和顶点坐标.

y ? ax ? bx ? c c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a a? ?
2

2 b 4 ac ? b ? ? y ? a? x ? . ? ? 2a ? 4a ?

2

b ? 2 b ? b ? ? b ? c ? 对称轴:x x ? 2a ? a? x ? x? ? ? ? ? ? ? ?
2 2

? a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 ?? b ? 4ac ? b 2 ? ? a ?? x ? ? ? ? 2 2a ? 4a ? ? ?? ?
b ? 4ac ? b 2 ? ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?
2

a? ?

顶点坐标:

b 4ac-b (, ) 2a 4a

2

函数y=ax2+bx+c的顶点式
2 b 4 ac ? b ? ? y ? a? x ? . ? ? 2a ? 4a ? 2

b 4ac - b (- , ) 2a 4a

2

快速反应:根据公式确定下列抛物线的对称轴和顶点 坐标。

1. y=-x2-2x 2. y=-2x2+8x-8

直线x=-1(-1,1)

直线x=2 (2,0)

3.(选作)火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与 时间 t (s) 的关系为h = - 5 t ?+ 150 t +10 经过多长时 间,火箭到达它的最高点?最高点的高度是多少?
答:经过15秒,火箭到达最高点,起最大高度为11350米。

探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化,当 l 是多少时,场地的面积S最大? 分析:先写出S与 l 的函数关系式,再求出使S最大的l值. s 矩形场地的周长是60m,一边长为l, ? 60 ? 则另一边长为 ? ? l ?m ,场地的面积 ? 2 ? 200 S=l ( 30-l ) 100 即 S=-l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 l ( 0 < l < 30 ) 可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分,这条抛物线的顶点是 函数的图象的最高点,也就是说,当l取顶点的横坐标时,这个函数有最大 值.由公式可求出顶点的横坐标.

S=-l 2 +30l

( 0 < l < 30 )

因此,当

b 30 l?? ?? ? 15 时, 2a 2 ? ?? 1?

S有最大

4ac ? b 2 ? 302 ? ? 225 4a 4 ? ?? 1?

值,

也就是说, 当l是15m时,场地的面积S最大(S=225m2)

一般地,因为抛物线

y ? ax 2 ? bx ? c

的顶点是最低(高)点,

所以当 x ? ?

4ac ? b 2 有最小(大)值 4a

b 时,二次函数 2a

y ? ax 2 ? bx ? c

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向 3.增减性与最值 根据图形填表:

抛物线
顶点坐标 对称轴

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

位置
开口方向

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性
最值

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

例:指出抛物线: y ? ? x ? 5 x ? 4 的开口方向,求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
2

总结:1、“五点”: ①顶点坐标 ②与y轴的交点坐标

b ③与y轴的交点坐标关于对称轴的对称点 (? , c) a

④与x轴的交点坐标(有交点时),

这样就可以画出它的大致图象。

求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴

①y=2x2-5x+3
请画出草图:

②y=(x-3)(x+2)

练习
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.当x为何值时y的 值最小(大)?
( 1) y ? 3 x ? 2 x
2

2 y ? ? x ? 2x ( 2)

(3) y ? ?2 x ? 8 x ? 8
2

1 2 ( 4) y ? x ? 4 x ? 3 2

解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上

2 1 x顶 ? ? ?? 2?3 3

?22 1 y顶 ? ?? 4?3 3

? 1 1? ? 顶点坐标为? ? , ? ? ? 3 3?

1 1 当x ? ? 时,y最小值=3 3

1 对称轴x ? ? 3

2 y ? ? x ? 2x ( 2)

解: a = -1 < 0抛物线开口向下

?2 x顶 ? ? ? ?1 2 ? ? ?1?

y顶 ?

4 ? ? ?1?

? ? ?2 ?

2

?1

?顶点坐标为? ?1,1?

对称轴x ? ?1
当x ? ?1时,y最大值=1

2 y ? ? 2 x ? 8x ? 8 ( 3)

解: a = -2 < 0抛物线开口向下

8 x顶 ? ? ?2 2 ? ? ?2 ?

y顶 ?

4 ? ? ?2 ? ? ? ?8? ? 82 4 ? ? ?2 ?

?0

?顶点坐标为? 2,0 ?

对称轴x ? 2
当x ? 2时,y最大值=0

( 4) y ?

1 2 x ? 4x ? 3 2

解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上

?4 x顶 ? ? ?4 2 ? 0.5

y顶 ?

4 ? 0.5 ? 3 ? ? ?4 ? 4 ? 0.5

2

? ?5

?顶点坐标为? 4, ?5?

对称轴x ? 4
当x ? 4时,y最小值=-5

2.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直 角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最 大值是多少?

归纳知识点:
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (1)a的符号: 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
演示

(2)C的符号: 由抛物线与y轴的交点位置确定:

交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点

c>0

c<0
c=0

归纳知识点:
(3)b的符号:由对称轴的位置确定: 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 (4)b2-4ac的符号:

a、b同号
a、b异号 b=0 简记为:左同右异

由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点

b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0

与x轴有一个交点
与x轴无交点

归纳知识点:
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (5)a+b+c的符号: 由x=1时抛物线上的点的位置确定 (6)a-b+c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定

你还可想到啥?

例8 已知如图是二次函数y=ax2+bx+c的图 象,判断以下各式的值是正值还是负值. (1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b; (6)a+b+c;(7)a-b+c.

分析:已知的是几何关系(图形的位置、 形状),需要求出的是数量关系,所以应 发挥数形结合的作用.

判断a的符号

解: (1)因为抛物线开口向下,所以a<0;

判断b的符号

(2)因为对称轴在y轴右侧,所以
b ? ? 0 ,而a<0,故b>0; 2a

判断c的符号

(3)因为x=0时,y=c,即图象与y轴交点 的坐标是(0,c),而图中这一点在y轴正 半轴,即c>0;

判断b2-4ac的符号

(4)因为顶点在第一象限,其纵坐标
4ac ? b 2 ? 0 ,且a<0,所以4ac ? b2 ? 0 ,故 4a

b2 ? 4ac ? 0 。

判断2a+b的符号

b (5)因为顶点横坐标小于1,即 ? ? 1 , 2a

且a<0,所以-b>2a,故2a+b<0;

判断a+b+c的符号

(6)因为图象上的点的横坐标为1时,点 的纵坐标为正值,即a· 12+b· 1+c>0, 故 a+ b+ c> 0;

判断a-b+c的符号

(7)因为图象上的点的横坐标为-1时, 点的纵坐标为负值,即a(-1)2+b(-1) +c<0,故a-b+c<0.

1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



C)

2.不论k 取任何实数,抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 ( B) A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a 的值是 ( A) A. 4 B. -1 C. 3 D.4或-1

4.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则( B ) A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18

5.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四 象限,则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 y y y ( C ) y
o -3 x o B -3 x o C -3 x o D -3 x

A 6.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 ( C)
y o x o y x o y x o y x

A

B

C

D

函数y=ax? +bx+c的图象和性质: 2 b 4ac-b b 直线 x=顶点坐标: ( 2a , 4a )对称轴: 2a 增减性 开口 最 值 b x>- b b 时, x<当 x = 向 2a 2a 2a a>0 上 2 4ac-b y有最小值: 4a x<- b x>- b 当x= - b 时, 2a 2a 2a 向 a <0 2 4ac-b 下 y有最大值: 4a

作业
P14 习题26.1 第6题


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