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高考专题辅导与测试第2部分 专题二 第一讲 选择题技法专练


[选择题技法专练]

1.(2013· 成都模拟)对于向量 a、b、c 和实数 λ,下列命题中的真命题是( A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a· b=a· c,则 b=c 解析:选 B 当 a· b=0 时,a 与 b 也可能垂直,故选项 A 是假命题

; 当 a2=b2 时,|a|=|b|,故选项 C 是假命题; 当 a· b=a· 时,b 与 c 也可能垂直,故选项 D 是假命题. c 2.(2013· 重庆高考) ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为( A.9 C.3 9 B. 2 3 2 D. 2 )

)

解析:选 B 法一:因为-6≤a≤3,所以 3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知, ?3-a??a+6?≤ ?3-a?+?a+6? 9 3 = ,当且仅当 a=- 时等号成立. 2 2 2 3 81 9 3 -?a+2?2+ ≤ ,当且仅当 a=- 时等号成立. ? ? 4 2 2

法二: ?3-a??a+6?=

3.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一个充分不必要条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β ) B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2

解析:选 B 因为 m?α,l1?β,若 α∥β,则有 m∥β 且 l1∥α,故 α∥β 的一个必要条 件是 m∥β 且 l1∥α,排除 A;因为 m,n?α,l1,l2?β 且 l1 与 l2 相交,若 m∥l1 且 n∥l2, 则 m 与 n 也相交,故 α∥β;若 α∥β,则直线 m 与直线 l1 可能为异面直线,故 α∥β 的一个 充分不必要条件是 m∥l1 且 n∥l2. 4.已知 0<a<1,0<x≤y<1,且 logax· ay=1,那么 xy 的取值范围是( log A.(0,a2] 1 C.?0,a? ? ? 解析:选 A B.(0,a] 1 D.?0,a2? ? ? ∵ 0<a<1,0<x≤y<1 , ∴ xy>0 , logax>0 , logay>0 , ∴ logaxy = logax + )

?logax=logay, ? logay≥2 logax· ay=2,当且仅当? log 即 x=y=a 时取等号,∴0<xy≤a2. ? log ?logax· ay=1,

5.(2013· 深圳模拟)设 0<a<b<1,则下列不等式成立的是(
1

)

A.a3>b3 C.ab>1

1 1 B. < a b D.lg(b-a)<0

解析:选 D 对于 A,构造幂函数 y=x3,其在 R 上为单调递增函数,因为 0<a<b<1, 1 1 b-a 根据其单调性可知 a3<b3,故 A 错误;对于 B, - = ,因为 0<a<b<1,所以 ab>0,b a b ab 1 1 b-a 1 1 -a>0, - = 故 >0, 所以 > , B 错误; 故 对于 C, 构造指数函数 y=ax, 因为 0<a<b<1, a b ab a b 所以 ab<1,故 C 错误;对于 D,构造对数函数 y=lg x,因为 0<a<b<1,所以 0<b-a<1,故 lg(b-a)<0,故 D 正确. 6.函数 f(x)=|sin x-cos x|+sin x+cos x(x∈R)的最小值为( A.0 C.- 2 B.- 2 2 )

D.-2

? ?2sin x,sin x≥cos x, 解析:选 C 依题意,f(x)=? 根据函数解析式,作出一个周期内 ? ?2cos x,sin x<cos x,

的函数图像观察即可得到函数 f(x)的最小值为- 2. 7.(2013· 陕西高考)设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y 有( A.[-x]=-[x] C.[x+y]≤[x]+[y] B.[2x]=2[x] D.[x-y]≤[x]-[y] )

解析:选 D 取特殊值进行判断.当 x=1.1 时,[-x]=-2,-[x]=-1,故 A 错;当 x=1.9 时,[2x]=3,2[x]=2,故 B 错;当 x=1.1,y=1.9 时,[x+y]=3,[x]+[y]=2,故 C 错. 8.函数 f(x)=1-|2x-1|,则方程 f(x)·x=1 的实根的个数是( 2 A.0 C.2 B.1 D.3 )

1 解析: C 方程 f(x)·x=1 可化为 f(x)=?2?x, 选 2 ? ? 在同一坐标系下分别画出函 1 数 y=f(x)和 y=?2?x 的图像,如图所示.可以发现其图像有两个交点,因此方程 ? ? 1 f(x)=?2?x 有两个实数根. ? ? π 9.若 0≤α<β≤ ,sin α+cos α=a,sin β+cos β=b,则( 4 A.a<b C.ab<1 B.a>b D.ab>2 )

2

π π π 解析:选 A 当 α=0 时,a=sin 0+cos 0=1;当 β= 时,b=sin +cos = 2,从而 4 4 4 b>a,而 1<ab= 2<2,所以排除 B、C、D 只有 A 正确. π 1 10.已知 f(x)= x2+sin?2+x?,则 f′(x)的图像是( ? ? 4 )

解析:选 A

π 1 2 1 1 1 f(x)= x2+sin?2+x?= x2+cos x,故 f′(x)=?4x +cos x?′= x-sin x, ? ? 4 ? ? 4 2

1 1 记 g(x)=f′(x),其定义域为 R,且 g(-x)= (-x)-sin(-x)=-?2x-sin x?=-g(x),所以 ? ? 2 g(x)为奇函数,所以排除 B,D 两项. π 1 π π π π 法一:当 x= 时,g?2?= × -sin = -1<0,故排除 C. ? ? 2 2 2 2 4 π π 1 法二:g′(x)= -cos x,显然当 x∈?0,3?时,g′(x)<0,g(x)在?0,3?上单调递减,故 ? ? ? ? 2 排除 C. 11.设函数 y=xsin x+cos x 的图像上的点(x0,y0)处的切线的斜率为 k,若 k=g(x0),则 函数 k=g(x0)的图像大致为( )

解析:选 A 由题意可得 y′=xcos x,k=g(x0)=x0cos x0,由于它是奇函数,所以排除 B,C;又在 y 轴附近 g(x0)为增函数,所以排除 D. π π 12.若函数 f(x)=2sin?6x+3?(-2<x<10)的图像与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与函 ? ? ??? ???? ??? ? ? 数的图像交于 B、C 两点,则( OB + OC )· =( ) OA A.-32 C.16 B.-16 D.32

解析:选 D 由题意知,点 A 为(4,0),根据三角函数的图像,知点 B、C 关于点 A 对称, ??? ???? ??? ? ? 设 B(x1,y1),则 C(8-x1,-y1),( OB + OC )· =8×4=32. OA 2 13.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图像交于 P、Q x 两点,则线段 PQ 长度的最小值是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 D 由题意知 P、Q 两点关于原点 O 对称,不妨设 P(m,n)为第一象限内的点,
3

4 2 2 则 m>0,n>0,n= ,所以|PQ|2=|2OP|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4?m +m2?≥16(当且仅当 m2 ? ? m = 4 ,即 m= 2时取等号),故线段 PQ 长度的最小值是 4. m2 14.若等比数列的各项均为正数,前 n 项的和为 S,前 n 项的积为 P,前 n 项倒数的和 为 M,则有( A.P= S M ) S B.P> M S D.P2>?M?n ? ?

S C.P2=?M?n ? ?

S 解析:选 C 取等比数列为常数列:1,1,1,…,则 S=n,P=1,M=n,显然 P> 和 M S P2>?M?n 不成立, 故选项 B 和 D 排除, 这时选项 A 和 C 都符合要求. 再取等比数列: 2,2,2, …, ? ? S n S 则 S=2n,P=2n,M= ,这时有 P2=?M?n,而 P≠ ,所以选项 A 不正确. ? ? 2 M 15.(2013· 海淀模拟)若数列{an}满足:存在正整数 T,对于任意正整数 n 都有 an+T=an 成 立 , 则 称 数 列 {an}为 周 期 数 列 , 周 期 为 T. 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 = m(m>0), an + 1 =

?an-1,an>1, ? ?1 则下列结论中错误的是( ?an,0<an≤1, ?
4 A.若 m= ,则 a5=3 5 B.若 a3=2,则 m 可以取 3 个不同的值

)

C.若 m= 2,则数列{an}是周期为 3 的数列 D.?m∈Q 且 m≥2,使得数列{an}是周期数列 4 5 1 解析:选 D 对于 A,当 a1=m= 时,a2= ,a3=a2-1= ,a4=4,a5=3,因此选项 5 4 4

? ? ? ?m>1, ? A 正确; 对于 B, a3=2 时, a2>1, a3=a2-1=2, 2=3, 当 若 则 a 或? 1 ?m-1=3 ? ? =3, ?m
1 由此解得 m=4 或 m= ;若 3

0<m≤1,

?m>1, 1 1 ? 0<a2≤1,则 a3= =2,a2= ,? a2 2 m-1=1 ? 2 ?

?0<m≤1, ? 3 或? 1 1 由此解得 m= ,因此 m 的 2 ?m=2, ?

1 3 可能值是 , ,4,选项 B 正确;对于 C,当 m= 2时,a1= 2,a2= 2-1,a3= 2+1, 3 2 a4= 2,a5= 2-1,a6= 2+1,…,此时数列{an}是以 3 为周期的数列,因此选项 C 正 确.
4

?x,x≤0, ? 16.已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,则实数 m ? ?x -x,x>0,

的取值范围为( 1 A.?-2,1? ? ? 1 C.?-4,0? ? ?

) 1 B.?-2,1? ? ? 1 D.?-4,0? ? ?

解析:选 C 由 g(x)=f(x)-m=0 得 f(x)=m.作出函数 y=f(x)的图像, 1 1 1 当 x>0 时,f(x)=x2-x=?x-2?2- ≥- ,所以要使函数 g(x)=f(x)-m 有 ? ? 4 4 三个不同的零点,只需直线 y=m 与函数 y=f(x)的图像有三个交点即可, 1 如图只需- <m<0. 4

5


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