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最新高中数学解三角形实际应用题(详解)


1. 如图,某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, ?ABC 外的地方种草, ?ABC 的 内接正方形 PQRS 为一水池,其余地方种花.若 BC=a, ?ABC=? ,设 ?ABC 的面积为 S1 , 正方形 PQRS 的面积为 S 2 ,将比值

S1 称为“规划合理度”.(1)试用 a , ? 表示 S1 和 S 2 . S2
A

/>
(2)当 a 为定值, ? 变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角 ? 的大小. 解:(1)、 如图,在 , B = Q R C ABC中

P

S

设正方形的边长为





???????????????????7 分

(2)、





∵0 <

<

,又 0 <2

<

,

0< ?1

为减函数





取得最小值为

此时

2.某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于 港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方 向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮 船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【解析】如图,由(1)得 而小艇的最 OC ? 10 3,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP ? OC>AC,
?

高航行速度只能达到 30 海里/小时, 故轮船与小艇不可能在 A、(包含 C) C 的任意位置相遇, 设 ?COD=? (0? <? <90? ),则在Rt?COD中,CD ? 10 3 tan ? ,OD=

10 3 , cos ?

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t ?

10 ? 10 3 tan ? 10 3 和t ? , 30 v cos ?

所以

10 ? 10 3 tan ? 10 3 15 3 3 ,解得 v ? , ? ,又v ? 30,故 sin (? +30? ) ? ? 30 v cos ? sin (? +30 ) 2 3 ,于是 3

从而 30? ? ? <90? ,由于? ? 30?时, ? 取得最小 值,且最小值为 tan

当 ? ? 30 时, ? t
?

2 10 ? 10 3 tan ? 取得最小值,且最小值为 。 3 30

此时,在 ?OAB 中, OA ? OB ? AB ? 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。
?

3. .如图,直角三角形 ABC 中,∠B= 90? ,AB=1,BC= 3 .点 M,N 分别在边 AB 和 AC 上(M 点和 B 点不重合),将△AMN 沿 MN 翻折,△AMN 变为△ A? MN,使顶点 A? 落在边 BC 上( A? 点和 B 点不重合).设∠AMN= ? . (1) 用 ? 表示线段 AM 的长度,并写出 ? 的取值范围; (2) 求线段 A?N 长度的最小值. 解: (1)设 MA ? MA? ? x ,则 MB ? 1 ? x . 分) (2 在 Rt△MB A? 中, cos(180? ? 2?) ? ∴ MA ? x ?

1? x , (4 分) x
A N

1 1 . (5 分) ? 1 ? cos2? 2sin 2 ?

∵点 M 在线段 AB 上,M 点和 B 点不重合, A? 点和 B 点不重合, ∴ 45? ? ? ? 90? . 分) (7 (2)在△AMN 中,∠ANM= 120? ? ? ,(8 分)

????
M ?? B A' C

AN MA ? ,(9 分) sin ? sin(120? ? ?)

1 1 2sin 2 ? = . (10 分) AN ? ? 2sin ? sin(120? ? ?) sin(120 ? ?) sin ? ?
1 3 cos ?) = sin 2 ? ? 3sin ? cos ? 令 t ? 2sin ? sin(120? ? ?) ? 2sin ?( sin ? ? 2 2 1 3 1 1 sin 2? ? cos 2? ? ? sin(2? ? 30? ) . = ? (13 分) 2 2 2 2 ∵ 45? ? ? ? 90? , ∴ 60? ? 2? ? 30? ? 150? . (14 分)

当且仅当 2? ? 30? ? 90? , ? ? 60? 时, t 有最大值 ∴ ? ? 60? 时, A?N 有最小值

3 , (15 分) 2

2 . (16 分) 3

4. 如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道 AB 的长为 4.5km,且跑道所在的直线与 海岸线 l 的夹角为 60 度(海岸线可以看作是直线) ,跑道上离海岸线距离最近的点 B 到海岸 线的距离 BC ? 4 3km 。D 为海湾一侧海岸线 CT 上的一 点,设 CD=x(km) ,点 D 对跑道 AB 的视角为 ? 。 (1)将 tan ? 表示为 x 的函数; (2)求点 D 的位置,使 ? 取得最大值.

5. (2009 辽宁卷理)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平 面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ,
0

30 0 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 0 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与
另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414,

6 ? 2.449)
解: 在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
AB AC

……5 分

ACsin60 ? 3 2? 6 , 即 AB= sin 15? ? 20

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。 6. (2009 福建卷理) (本小题满分 13 分) 如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点为

S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛 运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 解法一
T 2? (Ⅰ) 依题意, A ? 2 3 , ? 3 , T ? 有 又 , 4 ?

?? ?

?
6

。? y ? 2 3 sin

?
6

x 2? ?3 3

当 x ? 4 时,? y ? 2 3 sin
? M (4, 3) 又 P(8,0)

? MP ? 42 ? 32 ? 5

(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60° 由正弦定理得
? NP ? MP NP MN ? ? sin 1200 sin ? sin(60 0 ? ? )

10 3 10 3 sin(600 ? ? ) sin ? , ? MN ? 3 3 10 3 10 3 10 3 1 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) 3 3 3 2 3

故 NP ? MN ?
?

10 3 sin(? ? 600 ) 3

? 0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长

亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2MN ?NP?cos ∠MNP= MP 2 即 MN 2 ? NP 2 ? MN ?NP ? 25 故 (MN ? NP)2 ? 25 ? MN ?NP ? (
MN ? NP 2 ) 2

10 3 3 从而 (MN ? NP)2 ? 25 ,即 MN ? NP ? 3 4 当且仅当 MN ? NP 时,折线段道 MNP 最长 注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、 解法二给出的两种设计方式,

还可以设计为:① N ( 平分线上等

12 ? 3 9 ? 4 3 12 ? 3 9 ? 4 3 , ) , ) ;② N ( ;③点 N 在线段 MP 的垂直 2 6 2 6

7. 如图,在平面四边形 ABCD 中,已知 AD ? AB ? 1 , ?BAD ? ? ,且△ BCD 为正三角 形. (Ⅰ)将四边形 ABCD 的面积 S 表示为 ? 的函数; (Ⅱ)求 S 得最大值及此时 ? 的值. 命题意图:强化一下三角在解三角形中的应用。 思考与建议:07 年海南、宁夏题中就是考查的三角在实际问题中 的应用,同为新课表地区的广东,三角题今年是否会 突破以前的传统,变成了一个应用题? 解: (Ⅰ)△ ABD 的面积 S1 ?

D A ?

B

C

1 1 ?1?1? sin ? ? sin ? ,正△ BCD 的面积 2 2

S1 ?

3 3 2 2 3 BD2 ? (1 ? 1 ? 2 ?1?1? cos ? ) ? (1 ? cos ? ) 4 4 2

∴四边形 ABCD 的面积为

1 3 3 3 ? S ? S1 ? S2 ? sin ? ? cos ? ? ? ? sin(? ? ) (0 ? ? ? ? ) . 2 2 2 2 3
(Ⅱ) S ? 由

A Q

? ? 5? 3 ? ? sin(? ? )(0 ? ? ? ? ) , ? ? ? , ? ? 当 即 时, 3 2 6 2 3
3 . 2

四边形 ABCD 的面积 S 最大,且最大值为 1 ?

8.如图, AB 是沿湖南北方向道路, P 为太中观光岛屿, Q 为停车场,
PQ ? 5.2 km.某旅游团游览完岛屿后,乘游船回停车场 Q,已知游船以

?
P

?

M

B

5 .游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽搁 13 没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点 Q 与旅游团会合, 立即决定租用小船先 到达湖滨大道 M 处, 然后乘出租汽车到点 Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车). 假 设游客甲乘小船行驶的方位角是 a ,出租汽车的速度为 66km/h. 4 (Ⅰ)设 sin a ? ,问小船的速度为多少 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达点 Q; 5 (Ⅱ)设小船速度为 10km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角 a ,当角 a 余弦值的大小 是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q .
13 km/h 的速度沿方位角 q 的方向行驶, sin q ?

解:(Ⅰ) 如图,作 PN ? AB , N 为垂足.
?PQM ? q, ?PMQ ? p ? a , sin q ?

A Q

5 4 , sin a ? , 13 5

在 Rt △ PNQ 中,
PN ? PQ sin q ? 5.2 ?
QN ? PQ cos q = 5.2 ?

5 ? 2 (km), 13 12 ? 4.8 (km). 13

?
P

?

M

在 Rt △ PNM 中,
PN 2 MN ? ? ? 1.5 (km) . tan a 4 3

N B

设游船从 P 到 Q 所用时间为 t1 h,游客甲从 P 经 M 到 Q 所用时间为 t 2 h,小船的速度为 v1 km/h,则
26 PQ 2 t1 ? ? 5 ? (h), 13 13 5
t2 ? PM MQ 2.5 3.3 5 1 ? ? ? ? ? (h) . v1 66 v1 66 2v1 20 5 1 1 2 1 25 ? ? ? ,∴ v1 ? . ? t1 , 2v1 20 20 5 20 3

由已知得: t2 ? ∴小船的速度为

25 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达 Q . 3

(Ⅱ)在 Rt △ PMN 中,

PM ?

PN 2 PN 2cos a (km), MN ? (km). ? ? sin a sin a tan a sin a 2cos a (km). sin a

∴ QM ? QN ? MN ? 4.8 ? ∴t ? ∵ t? ?

PM QM 1 4 cos a 1 33 ? 5cos a 4 = . ? ? ? ? ? ? 10 66 5sin a 55 33sin a 165 sin a 55

1 5sin 2 a ? (33 ? 5cos a )cos a 5 ? 33cos a , ? ? 165 sin 2 a 165sin 2 a

∴令 t ? ? 0 得: cos a ? 当 cos a ?

5 . 33

5 5 时, t ? ? 0 ;当 cos a ? 时, t ? ? 0 . 33 33

p ∵ cosa 在 a ? (0, ) 上是减函数, 2
∴当方位角 a 满足 cos a ?

5 时,t 最小,即游客甲能按计划以最短时间到达 Q . 33

9.如图, AC 是佛山市一环东线的一段,其中 A 、 B 、 C 分别是林上路、佛陈路、花卉大 道出口, 经测量陈村花卉世界 D 位于点 A 的北偏东 30 ? 方向 8km 处, 位于点 B 的正北方向, 位于点 C 的北偏西 75 ? 方向上,并且 AB ? 5km . (Ⅰ) 求佛陈路出口 B 与花卉世界 D 之间的距离; (精确到 0.1km) (Ⅱ) 求花卉大道出口 C 与花卉世界 D 之间的距离. (精确到 0.1km) (参考数据:

3 ? 1.73 , sin 75? ? 0.97 , cos 75 ? ? 0.26 , sin 53? ? 0.80 ,

cos 53 ? ? 0.60 , sin 38 ? ? 0.62 , cos 38 ? ? 0.79 )
2 2 2 解: (Ⅰ)设 BD ? x ,则由余弦定理 5 ? 8 ? x ? 16 x cos30? ,

即 x ? 8 3x ? 39 ? 0 , 解 得 x ? 4 3 ? 3 ,
2

4 3 ?3?8 舍 去 . 所 以

x ? 4 3 ? 3 ? 3.9 .
故佛陈路出口 B 与花卉世界 D 之间的距离约为 3.9km . ( Ⅱ ) 在 ?ABD 中 , 由 正 弦 定 理 得

AD AB ? , 所 以 sin ?ABD sin ?ADB

sin ?ABD ? sin ?CBD ?

4 . 5

在?CBD 中, sin ?DCB ? sin( ?CBD ? ?BDC ) ? 0.79 , 由正弦定理得, CD ?

4 BD ? ? 3.9 . 5 sin ?DCB

花卉大道出口 C 与花卉世界 D 之间的距离约为 3.9km . 10.在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里 处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + ? (其中 sin ? =
? ?

26 ? ? , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相 26

距 10 13 海里的位置 C.

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解 (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26

由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos ? = 1 ? (
? ?

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC cos? ? 10 5.

所以船的行驶速度为

10 5 ? 15 5 (海里/小时). …(6 分) 2 3

(2)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2),BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有,x1=y1=

2 AB=40,x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45? ? ? ) ? 30 , 2
y2=ACsin ?CAD ? 10 13sin(45? ? ? ) ? 20. 所以过点 B、 的直线 l 的斜率 k= C

20 ? 2 ,直线 10

l 的方程为 y=2x-40.又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

所以船会进入警戒水域. …………………………………(14 分) 解法二 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 cos ?ABC ? = = 2 AB ? BC 2 ? 40 2 ? 10 5

9 10 3 10 2 .从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ? ? . 10 10 10
在 ?ABQ 中,由正弦定理得,

10 AB sin ?ABC 10 ? 40. ? AQ= ? sin(45 ? ?ABC ) 2 2 10 ? 2 10 40 2 ?
由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45 ? ?ABC)
?

= 15 ?

5 ? 3 5 ? 7. 所以船会进入警戒水域. 5

11. 如图,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 α 角的射线 OZ 方向航行,而在离港口 O 13 a(a 为正常数)海里的北偏东 β 角的 A 处共有一个供给科考船物资的小岛,其中已 知 tan ? ?

1 , cos ? ? 3

2 13

.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m 海里的 B 处的补

给船,速往小岛 A 装运物资供给科考船.该船沿 BA 方向全速追赶科考船,并在 C 处相遇.经 测算当两船运行的航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 S 最小时,这种补给最适宜. (1)求 S 关于 m 的函数关系式 S(m) ; (2)应征调 m 为何值处的船只,补给最适宜? (I)以 O 点为原点,指北的方向为 y 轴建立直角坐标系,则直线 OZ 的方程为 y=3x, 设点 A(x0,y0) ,则 x0= 13 asinβ =3a,y0= 13 acosβ =2a,即 A(3a,2a) , 又 B(m,0) ,则直线 AB 的方程是 y=

2a ( x ? m) , 3a ? m 2am 6am , ), 由此得到 C 点坐标为 ( 3m ? 7a 3m ? 7a

? S (m) ?

1 3am2 7 | OB | ? | yC |? (m ? a) ; 2 3m ? 7a 3

(II) S (m) ? a[(m ?

7 a) ? 3

49a 2 14 49a 2 14 28a 2 ? a] ? a[2 ? a] ? , 7 3 9 3 3 9(m ? a) 3

∴当且仅当 m ?

7 a? 3

49a 2 14 7 ,即m ? a(m ? a) 时等号成立, 7 3 3 9(m ? a) 3

答:征调 m ?

14 a 海里处的船只时,补给最适宜. 3

12. 某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处, 已知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个 变电站. 记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1)设 ?PBO ? ? ,把 y 表示成 ? 的函数关 系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? 【解】 (1)在 Rt?AOB 中, AB ? 6,所以 OB =OA= 3 2 .所以 ?ABC ? π 4 由题意知 0 ? ? ? π . 4

所以点 P 到 A、B、C 的距离之和为
y ? 2 PB ? PA ? 2 ? 3 2 2 ? sin ? ? (3 2 ? 3 2 tan ? ) ? 3 2 ? 3 2 ? . cos ? cos ?

故所求函数关系式为 y ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? 0 ? ? ? π . cos ? 4 (2)由(1)得 y? ? 3 2 ? 当0 ?? ? 所以当 ? ?

?

?

2sin ? ?1 1 π ,令 y ? ? 0 即 sin ? ? ,又 0 ? ? ? π ,从而 ? ? . 2 4 cos ? 2 6

π π π 时, y ? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y ? ? 0 .数学驿站 www.maths168.com 6 6 4

π 2 ? sin ? 时, y ? 4 ? 3 2 ? 取得最小值, 6 cos ? π ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. ? 6 (km) 6

此时 OP ? 3 2 tan

【答】变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小.

??? ???? ? 13. 如图,在四边形 ABCD 中,AD=8,CD=6,AB=13,∠ADC=90°,且 AB ? AC ? 50 .

高.

(1)求 sin∠BAD 的值;

B
S ?ABD 的值. S ?BCD

高.考.资.源.网

(2)设△ABD 的面积为 S△ABD,△BCD 的面积为 S△BCD,求 解 (1)在 Rt△ADC 中,AD=8,CD=6,

C

4 3 则 AC=10, cos ?CAD ? ,sin ?CAD ? . 5 5
??? ???? ? ??? ???? ? AB ? AC 5 ? 又∵ AB ? AC ? 50 ,AB=13,∴ cos ?BAC ? ??? ???? ? . | AB || AC | 13

A

D

∵ 0? ? ?BAC ? 180? ,∴ sin ?BAC ? ∴ sin ?BAD ? sin(?BAC ? ?CAD) ? (2)S?BAD ?

12 . 13 63 . 65

1 252 1 ,S?BAC ? AB ? AC ? sin ?BAC ? 60 ,S?ACD ? 24 , AB ? AD ? sin ?BAD ? 2 5 2 S 3 168 则 S?BCD ? S?ABC ? S?ACD ? S?BAD ? ,∴ ?ABD ? . S ?BCD 2 5
(1)在 Rt△ADC 中,AD=8,CD=6,



4 3 则 AC=10, cos ?CAD ? ,sin ?CAD ? . 5 5 ??? ???? ? 又∵ AB ? AC ? 50 ,AB=13,
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

B

C

??? ???? ? AB ? AC 5 ? ∴ cos ?BAC ? ??? ???? ? . | AB || AC | 13

A

D

∵ 0? ? ?BAC ? 180? ,∴ sin ?BAC ? ∴ sin ?BAD ? sin(?BAC ? ?CAD) ? (2)S?BAD ?

12 . 13 63 . 65

1 252 1 ,S?BAC ? AB ? AC ? sin ?BAC ? 60 ,S?ACD ? 24 , AB ? AD ? sin ?BAD ? 2 5 2 S ?ABD 3 168 ? . 则 S?BCD ? S?ABC ? S?ACD ? S?BAD ? ,∴ S ?BCD 2 5

14. 如图,现在要在一块半径为 1m。圆心角为 60°的扇形纸板 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ,使点 P 在 AB 弧上,点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,设 ?BOP=? .? MNPQ 的面 积为 S。 (1) 求 S 关于 ? 的函数关系式; (2) 求 S 的最大值及相应 ? 的值

15. 如图一块长方形区域 ABCD , AD ? 2, AB ? 1 。在边 AD 的中点 O 处,有一个可转动 的探照灯,其照射角 ?EOF 始终为 区域的面积为 S . (1) 当 0 ? ? ? (2) 当 0 ? ? ?

? ,设 ?AOE ? ? ,探照灯照射在长方形 ABCD 内部 4

? ?
2 4

时,写出 S 关于 ? 的函数表达式 时,求 S 的最大值。

(3) 若探照灯每 9 分钟旋转“一个来回” OE 自 OA 转到 OC ,再回到 OA ,称“一个来 ( 回” ,忽略 OE 在 OA 及 OC 处所用的时间) ,且转动的角速度大小一定。设 AB 边上 有一点 G ,且 ?AOG ? 照到的时间。

?
6

,求点 G 在“一个来回”中被

16. 某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示. 其 上部分是以 AB 为直径的半圆,点 O 为圆心,下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,

(0 DE, DF 是两根支杆,其中 AB ? 2 米, ?EOA ? ? FOB ?2 x ? x ? ) . 现在弧 4 EF 、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯,在弧 AE 、弧 BF 、线段 AD 与线段 BD 上装节
能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数 为 2k ,节能灯的比例系数为 k (k ? 0) ,假定该霓虹灯整体的“心悦效果” y 是所有灯 “心悦效果”的和. (Ⅰ)试将 y 表示为 x 的函数; E F (Ⅱ)试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果” 最佳?
2x

?

解: (Ⅰ)因为 ?EOA ? ?FOB ? 2 x ,所以弧 EF、AE、BF 的长 分别为 ? ? 4 x, 2 x, 2 x ?3 分

A

O

B

D
第 18 题

连接 OD,则由 OD=OE=OF=1, ?FOD ? ?EOD ? 2 x ?

?
2

,所以

DE ? DF ? 1 ? 1 ? 2cos(2 x ? ) ? 2 ? 2sin 2 x ? 2(sin x ? cos x) 2 所以 y ? 2k (2 2(sin x ? cos x) ? ? ? 4 x) ? k(2 2 ?4 x)

?

? 2k (2 2(sin x ? cos x) ? 2x ? 2 ? ? )
(Ⅱ)因为由 y? ? 4k ( 2(cos x ? sin x) ?1) ? 0 解得 cos( x ? 又当 x ? (0, 当 x?( 故当 x ?

?
4

)?

?
12

) 时, y? ? 0 ,所以此时 y 在 (0,

?
12

1 ? ,即 x ? 2 12

) 上单调递增;

?
12

, ) 时, y? ? 0 ,所以此时 y 在 ( , ) 上单调递减. 12 4 12 4
时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳

? ?

? ?

17.如图,灌溉渠的横截面是等腰梯形,底宽 2 米,边坡的长为 x 米、倾角为锐角 ? . (1)当 ? ?

?
3

且灌溉渠的横截面面积大于 8 平方米时,求 x 的最小正整数值;

(2)当 x=2 时,试求灌溉渠的横截面面积的最大值.

x

?

解:由已知得等腰梯形的高为 xsin ? ,上底长为 2+2xcos ? ,从而横截面面积 S=

1 2 (2+2+2xcos ? )·xsin ? =x sin ? cos ? +2xsin ? . 2
(1)当 ? ?

?
3

时,面积 S =

3 2 x + 3x 是(0,+∞)上的增函数,当 x=2 时,S=3 3 <8; 4

当 x=3 时,S= 数值是 3.

9 3 ? 3 3 ? 8 . 所以,灌溉渠的横截面面积大于 8 平方米时,x 的最小正整 4

(2)当 x=2 时,S=4sin ? cos ? +4sin ? ,S ' =4cos =4(2cos 0< ? <
2

2

? -4sin2 ? +4cos ?
?
3
. 当

? +cos ? -1)=4(2cos ? -1)·(cos ? +1),由 S ' =0 及 ? 是锐角,得 ? ?

? ? ? ? 时,S ' >0,S 是增函数;当 < ? < 时,S ' <0,S 是减函数。所以,当 ? = 时, 3 3 2 3

S 有最大值 3 3 . 综上所述,灌溉渠的横截面面积的最大值是 3 3 .

18. 某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8m, C 为 AB 的中点, B 到 D 的距 离比 CD 的长小 0.5m, ?BCD ? 600 ,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问怎样设计

AB, CD 的长,可使建造这个支架的成本最低?
解析:设 BC ? am(a ? 1,4), CD ? bm. 连结 BD. 则在 ?CDB 中, (b ? )2 ? b2 ? a2 ? 2ab cos60?.

1 2

1 1 a2 ? 4 . ? b ? 2a ? 4 ? 2a. ?b ? a ?1 a ?1 a2 ?

A C B D 地面

2.8 ? 1 ? 0.4, 2 1 (t ? 1)2 ? 4 ? 2(t ? 1) ? 3t ? 3 ? 4 ? 7, 则 b ? 2a ? t 4t 等号成立时 t ? 0.5 ? 0.4, a ? 1.5, b ? 4. 答:当 AB ? 3m, CD ? 4m 时,建造这个支架的成本最低.
设 t ? a ? 1, t ?

19. 如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段 FBC,该曲线段是函数 y ? Asin(? x ?

2π ) 3

? A ? 0, ? ? 0? , x ? ? ?4,0? 时的图象,且图象

的最高点为 B(-1,2) 。赛道的中间部分为长 3 千米的直线跑道 CD,且 CD// EF。赛
? 道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE .

(1)求 ? 的值和 ?DOE 的大小; (2) 若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草 坪”,矩形的一边在道路 EF 上,一个顶点在半径 OD 上,
? 另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上,且 ?POE ? ? ,求当“矩形

草坪”的面积取最大值时 ? 的值. 解: (1)由条件,得 A ? 2 , ∵T ?

T ? 3. 4



?

,∴ ? ?

π . 6

π 2π ∴ 曲线段 FBC 的解析式为 y ? 2sin( x ? ) . 6 3 π π 当 x=0 时, y ? OC ? 3 .又 CD= 3 ,∴ ?COD ? ,即?DOE ? . 4 4

(2)由(1) ,可知 OD ? 6 . 又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点 P 在弧 DE 上,故 OP ? 6

π 设 ?POE ? ? , 0 ? ? ≤ ,“矩形草坪”的面积为 4
S ? 6 sin ?

?

6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ?

?

1 1 1 π = 6( sin 2? ? cos 2? ? ) ? 3 2 sin(2? ? ) ? 3 . 2 2 2 4
π π π π ∵ 0 ? ? ≤ ,故 当2? ? ? 时,? = 时,S 取得最大值 4 4 2 8

20.
解: (Ⅰ)设 O 为圆环的圆心,依题意,∠CA1O=∠CA2O=∠CA3O= ? ,

2 ,CO= 2 tan ? , 设金属杆总长为 ym,则 cos ? 6 2(3 ? sin ? ) ? y? ? 10 ? 2 tan ? = ? 10 , 0 ? ? ? ) ( cos ? cos ? 2 2(3sin ? ? 1) 1 1 y'? , 当 sin ? ? 时, y ' ? 0 ;当 sin ? ? 时, y ' ? 0 , 2 cos ? 3 3 1 ∴当 sin ? ? 时,函数有极小值,也是最小值。 3 2n 2(n ? sin ? ) ? 10 ? 2 tan ? = ? 10 , (Ⅱ)依题意, y ? cos ? cos ? 2(n sin ? ? 1) 1 1 y' ? ,当 sin ? ? 时, y ' ? 0 ;当 sin ? ? 时, y ' ? 0 , 2 cos ? n n
CA1=CA2=CA3=

1 时,函数有极小值,也是最小值。 n 1 1 当 n≥4 时, ? ,所以 C 点应上移。 n 3
∴当 sin ? ? 21. 在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A( 3 -1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°
的方向,距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 解 如图所示,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在 D 处相遇,则可先在△ABC 中求出 BC, 再在△BCD 中求∠BCD. 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,则有 CD=10 3 t,BD=10t. 在△ABC 中,∵AB= 3 -1,AC=2,∠BAC=120°, ∴由余弦定理, 得 BC =AB +AC -2AB·AC·cos∠BAC
2 2 =( 3 -1) +2 -2×( 3 -1)×2×cos120°=6, 2 2 2

∴BC= 6 ,∵∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCD=
BD ? sin ?CBD 10t sin 120? 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°. 即缉私船北偏东 60°方向能最快追上走私船.


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