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广东省肇庆市2015-2016学年高二下学期期末考试理科数学试题(图片版,含答案)


2015—2016 学年第二学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 D 7 A 8 A 9 A 10 D 11 C 12 C

二、填空题 (13)

1 2

(14)

9 64

(15)0

(16)50

三、解答题 (17) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由 ?

, ? x ? 1 ?cos ? ? x ? 1 ? cos ? , 得? ,得 ? y ? 2 ?sin ? ? y ? 2 ? sin ?
2 2

? x ? 1?

2

? ? y ? 2 ? = cos 2 ? ? sin 2 ? =1 ,
2

所以 C1 的普通方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? =1 . 因为 x ? ? cos ? ,所以 C2 的普通方程为 x ? ?2 .

(3 分) (5 分)

?? x ? 1?2 ? ? y ? 2 ?2 =1 ? 2 (Ⅱ)由 ? 得 x ? 3x ? 2 ? 0 ? ?y ? x x1 ? x2 3 3 3 ? ,弦 MN 中点的横坐标为 ,代入 y ? x 得纵坐标为 , 2 2 2 2
弦 MN 中点的极坐标为: ?

(7 分)

(9 分)

?? ?3 2, ? 4? ?2

(10 分)

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) x ?

1 ?10 ? 15 ? 20 ? 25 ? 30 ? ? 20 , 5

(1 分) (2 分)

y?
5

1 ?11 ? 10 ? 8 ? 6 ? 5 ? ? 8 , 5
2 2 2 i

? ? x ? x ? ? ? ?10? ? ? ?5?
i ?1 5 i ?1 i i

? 02 ? 52 ? 102 ? 250 ,

(3 分)

? ? x ? x ?? y ? y ? ? ?10 ? 3 ? ? ?5? ? 2 ? 0? 0 ? 5? ? ?2? ?10? ? ?3? ? ?80 .(4 分)

b?

? ? x ? x ?? y ? y ?
5 i ?1 i i

?? x ? x?
5 i ?1 i

2

?

?80 ? ?0.32 . 250

(6 分)

a ? y ? bx ? 8 ? 0.32 ? 20 ? 14.4 .
所求线性回归方程为 ? y ? ?0.32x ? 14.4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 x ? 40 时, ? y ? ?0.32 ? 40 ?14.4 ? 1.6 . 故当价格 x ? 40 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为 1.6 kg.

(8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

(19) (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,则

P ? A? ?

1 1 A2 A3 3 ? . A52 10

(4 分) (5 分) (6 分)

(Ⅱ)X 的可能取值为 200,300,400.

P ? X ? 200 ? ?

2 A2 1 ? , 2 A5 10

3 1 1 2 A3 ? C2 C3 A2 3 P ? X ? 300 ? ? ? , 3 A5 10

(7 分)

P ? X ? 400 ? ? 1 ? P ? X ? 200 ? ? P ? X ? 300 ? ? 1 ?
( P ? X ? 400 ? ? 故 X 的分布列为
1 1 3 1 2 3 C2 A3 A3 ? A2 C3 A3 3 ? ) 4 A5 5

1 3 6 3 ? ? ? , (8 分) 10 10 10 5

(9 分) 200 300 400

X

P

1 10

3 10

3 5
(12 分)
A C

EX ? 200 ?

1 3 6 ? 300 ? ? 400 ? ? 350 . 10 10 10

(20) (本小题满分 12 分)
B D A1 E C1

B1

证明: (Ⅰ)依题意知 E 是 BC1 的中点,又因为 D 是 AB1 的中点, 所以 DE 是 ?ACB1 的中位线,所以 DE / / AC . 又因为 DE ? 面ACC1 A 1 , AC ? 面ACC1 A 1, 所以 DE∥ 平面 AAC 1 1C . (2 分) (3 分) (5 分)

(Ⅱ)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 面ABC , AC ? 面ABC ,所以 AC ? CC1 . (6 分) 又因为 AC ? BC, BC ? CC1 ? C ,所以 AC ? 面BCC1B1 . 又因为 BC1 ? 面BCC1B1 ,所以 BC1 ? AC . 因为 BC =CC1 ,所以矩形 BCC1B1 是正方形,所以 BC1 ? B1C . 因为 AC, B1C ? 面B1 AC , AC ? B1C ? C ,所以 BC1 ? 面B1 AC . 又因为 AB1 ? 面B1 AC ,所以 BC1 ? AB1 . (7 分) (8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? e ? 2ax ,得 f ' ? x ? ? e ? 2a .
x x

(1 分) (2 分) (3 分)

又 f ' ? 0? ? 1 ? 2a= ?1,得 a ? ?1 .
x x ∴ f ( x) ? e ? 2 x , f ?( x) ? e ? 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .

当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??,ln 2) 上单调递减;当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (ln 2, ??) 是单调递增; (4 分)

ln 2 ∴当 x ? ln 2 时, f ( x ) 取得极小值,且极小值为 f (ln 2) ? e ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ,无极

大值. (Ⅱ)令 g ? x ? ? e ? x ?1 ,则 g ' ? x ? ? e ? 2x .
x 2 x

(6 分) (8 分) (10 分) (11 分)

由(Ⅰ)得 g ?( x) ? f ( x) ? f (ln 2) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 故 g ( x ) 在 R 上单调递增,又 g ? 0 ? ? 0 ,

2 x ∴当 x ? 0 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,即 x ? 1 ? e .

(12 分)

(22) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ' ? x ? ?

1 x ,所以 g ? x ? ? (x?0) . 1? x 1? x
ax 恒成立. 1? x

(1 分)

已知 f ? x ? ? ag ? x ? 恒成立,即 ln ?1 ? x ? ? 设 ? ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

1 a x ?1? a ax ? ? (x?0) ,则 ? ? ? x ? ? . 2 2 1 ? x ?1 ? x ? 1? x ?1 ? x ?

(2 分)

当 a ? 1 时, ? ?( x ) ? 0 (仅当 x ? 0 , a ? 1 时等号成立) ,∴ ? ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单调递增,又

? ? 0? ? 0 ,∴ ? ? x ? ? 0 在 ?0, ?? ? 上恒成立.
即 a ? 1 时, ln ?1 ? x ? ?

(3 分) (4 分)

ax 恒成立(仅当 x ? 0 时等号成立). 1? x

当 a ? 1 时,对 x ? ? 0, a ? 1? 恒有 ? ? ? x ? ? 0 ,∴ ? ? x ? 在 ? 0, a ? 1? 上单调递减, ∴ ? ? a ? 1? ? ? ? 0? ? 0 . 即 a ? 1 时,存在 x ? 0 ,使 ? ? x ? ? 0 ,故知 ln ?1 ? x ? ? 综上可知, a 的取值范围是 ? ??,1? . (Ⅱ)证法一: 在(Ⅰ)中取 a ? 1 ,可得 ln ?1 ? x ? ? 令x? (5 分)

ax 不恒成立. 1? x

(6 分) (7 分)

x ,x?0. 1? x

(8 分) (9 分)

1 1 n ?1 * , n ? N ,则 . ? ln n n ?1 n

下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,

1 ? ln 2 ,结论成立. 2

(10 分)

1 1 1 ②假设当 n ? k 时结论成立,即 ? ? ? ? ? ln ? k ? 1? . 2 3 k ?1
那 么 当
n ? k ?1





1 ? 2

?

k?

1 ? 3

l ?k

k?

?

?n

1 1

?

?

k?

?1 k

1

k 2?

?

?,

?
(11 分)

l

1 k

n? 2 k?

即结论成立. 由①②可知,结论对 n ? N 成立.
*

(12 分)

证法二 : 在(Ⅰ)中取 a ? 1 ,可得 ln ?1 ? x ? ? 令x?

x ,x?0. 1? x

(8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

1 n ?1 1 * , n ? N ,则 ln . ? n n n ?1 1 1 1 , ln 3 ? ln 2 ? ,…, ln ? n ? 1? ? ln n ? , 2 3 n ?1

故有 ln 2 ? ln1 ?

上述各式相加可得 ln ? n ? 1? ? 证法三: y

1 1 1 ,结论得证. ? ? ?? 2 3 n ?1

x y? 1? x

… O 1 2 3
n?1

n

x

如图,

?

n

0

x x , x?n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积,而 dx 是 由 曲 线 y ? 1? x x ?1

1 2 n 是图中所示各矩形的面积和, ? ? ?? 2 3 n ?1 n n? 1 2 n x 1 ? ?? dx ? ? ?1 ? ∴ ? ??? ?dx ? n ? ln ? n ? 1? ,结论得证. 0 0 2 3 n ?1 1? x ? 1? x ?


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