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河南省洛阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)


河南省洛阳市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的) 1. (5 分)若集合 A={0,1,2,3},集合 B={x|x∈A 且 1﹣x?A},则集合 B 的元素的个数 为() A.1 B.2 C.3 D.4 2. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(﹣2,3) ,C(4,y)在同一条直线上,则 y 的值为() A.﹣1 B. C.1 D.

3. (5 分)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 1,高为 2 的矩形,俯视 图是一个圆,那么这个几何体的表面积为()

A.2π

B.

C.4π

D.5π

4. (5 分)设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m?α, n?α, m∥β, n∥β, 则 α∥β C. 若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α 5. (5 分)下列四个数中最小者是() A.log3 (log23) 6. (5 分)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=2 且 AA1⊥平面 ABC,△ ABC 是边长为 三角形,该三棱柱的六个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为() A.8π B. C. D.8 的正 B.log32 C.log23 D.log3

π

7. (5 分)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x﹣y+1=0,则直线 PB 的方程是()
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A.x+y﹣5=0 7=0

B.2x﹣y﹣1=0

C.2y﹣x﹣4=0

D.2x+y﹣

8. (5 分)已知函数 f(x)=loga(2﹣a )在(﹣∞,1]上单调递减,则 a 的取值范围是() A.(1,2) B.(0,1) C.(0,1)∪(1,2) D.(0,1) ∪(2,+∞) 9. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 R,对任意 x∈R 有 f(x)=f(x+6) ,且 f(x)在(0, 3)内单调递减,f(x)的图象关于直线 x=3 对称,则下列正确的结论是() A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B. f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) C. f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5) 10. (5 分)已知圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别 为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为() A.10 B.20 C.30 D.40 11. (5 分) (理)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的 中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是()
2 2

x

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=t 有 3 个不等根

x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 x3﹣x1 的取值范围为() A.(2, ] B.(2, ] C.(2, ] D.(2,3)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) 已知长方形 ABCD 中, AB=2 , AD=3, 其水平放置的直观图如图所示, 则 A′C′=.

14. (5 分)若点 P(x,y)在圆 C: (x﹣2) +y =3 上,则 的最大值是.

2

2

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15. (5 分)已知圆(x﹣3) +y =16 和圆(x+1) +(y﹣m) =1 相切,则实数 m=. 16. (5 分)将边长为 2 的正方形 ABCD(O 是正方形 ABCD 的中心)沿对角线 AC 折起, 使得半平面 ACD 与半平面 ABC 成 θ(0°<θ<180°)的两面角,在折起后形成的三棱锥 D ﹣ABC 中,给出下列三个命题: ①不论 θ 取何值,总有 AC⊥BD; ②当 θ=90°时,△ BCD 是等边三角形; ③当 θ=60°时,三棱锥 D﹣ABC 的体积是 .

2

2

2

2

其中正确的命题的序号是. (把你认为正确的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知直线 l1:x+my+6=0,直线 l2: (m﹣2)x+3my+18=0. (1)若 l1∥l2,求实数 m 的值; (2)若 l1⊥l2,求实数 m 的值. 18. (12 分)如图,O 为矩形 ABCD 的中心,E,F 为平面 ABCD 同侧两点,且 EF △ CDE 和△ ABF 都是等边三角形. (1)求证:FO∥平面 ECD; (2)设 BC= CD,求证:EO⊥平面 FCD. BC,

19. (12 分)如图,已知直线 l1:4x+y=0,直线 l2:x+y﹣1=0 以及 l2 上一点 P(3,﹣2) , 求圆心在 l1 上且与直线 l2 相切于点 P 的圆的方程.

20. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣

,g(x)=



(1)若函数 f(x)为奇函数,求 a 的值; (2)若关于 x 的方程 g(2x)﹣a?g(x)=0 有唯一的实数解,求实数 a 的取值范围.

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21. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线 B1C 与平 面 ABC 成 30°角. (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值.

22. (12 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1,且当 x >0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; (3)若 f(1)=2,且关于 x 的不等式 f(ax﹣2)+f(x﹣x )<3 对任意的 x∈ 考点: 三点共线. 专题: 直线与圆. 分析: 根据三点共线,结合斜率之间的关系进行求解. 解答: 解:若点 A(1,2) ,B(﹣2,3) ,C(4,y)在同一条直线上, 则满足 kAB=kAC, 即 即 , ,
2

则 y﹣2=﹣1,解得 y=1, 故选:C 点评: 本题主要考查三点共线的应用一件斜率公式的计算, 根据斜率之间的关系是解决本 题的关键. 3. (5 分)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 1,高为 2 的矩形,俯视 图是一个圆,那么这个几何体的表面积为()

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A.2π

B.

C.4π

D.5π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;图表型. 分析: 由三视图知,此几何体是一个圆柱,其高为 2,半径为 ,由公式易求得它的表面 积,选出正确选项 解答: 解:由图知,此几何体是一个圆柱,其高为 2,半径为 , 它的表面积为 +2×2π× =

故选 B 点评: 本题考查由三视图求面积、 体积, 解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征 及其度量,再由公式求出表面积,本题考查了空间想像能力. 4. (5 分)设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C. 若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断 A、B、D;由面面垂直的性质定理 判断 C. 解答: 解:A 不对,由面面平行的判定定理知,m 与 n 可能相交,也可能是异面直线;B 不对,由面面平行的判定定理知少相交条件; C 不对,由面面垂直的性质定理知,m 必须垂直交线; 故选:D. 点评: 本题考查了线面的位置关系, 主要用了面面垂直和平行的定理进行验证, 属于基础 题. 5. (5 分)下列四个数中最小者是() A.log3 B.log32 C.log23 D.log3(log23)

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性求解. 解答: 解:∵0=log31< = <log23<log24=2, ∴ <log3(log23)<log32<log23. < = <log32<log33=1,

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∴四个数中最小的是



故选:A. 点评: 本题考查四个数中的最小者的求法, 是基础题, 解题时要注意对数函数的性质的合 理运用. 6. (5 分)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=2 且 AA1⊥平面 ABC,△ ABC 是边长为 三角形,该三棱柱的六个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为() A.8π B. C. D.8 π 的正

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意, 正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心, 求出球的半径即 可求出球的体积. 解答: 解:由题意可知:正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心, 因为△ ABC 是边长为 的正三角形,所以底面中心到顶点的距离为:1; 因为 AA1=2 且 AA1⊥平面 ABC,所以外接球的半径为:r= = . 所以外接球的体积为:V= πr = π×(
3

)=

3



故选:C. 点评: 本题给出正三棱柱有一个外接球, 在已知底面边长的情况下求球的体积. 着重考查 了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识,属于中档题. 7. (5 分)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x﹣y+1=0,则直线 PB 的方程是() A.x+y﹣5=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.2y﹣x﹣4=0 D.2x+y﹣7=0 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 求出 PA 的斜率,PB 的倾斜角,求出 P 的坐标,然后求出直线 PB 的方程. 解答: 解:由于直线 PA 的倾斜角为 45°,且|PA|=|PB|, 故直线 PB 的倾斜角为 135°, 又当 x=2 时,y=3,即 P(2,3) , ∴直线 PB 的方程为 y﹣3=﹣(x﹣2) ,即 x+y﹣5=0. 故选 A 点评: 本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程,考查逻辑推理能力,计算能力,转 化思想的应用,是基础题. 8. (5 分)已知函数 f(x)=loga(2﹣a )在(﹣∞,1]上单调递减,则 a 的取值范围是() A.(1,2) B.(0,1) C.(0,1)∪(1,2) D. (0, 1) ∪ (2, +∞)
x

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考点: 复合函数的单调性;对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分类讨论,利用复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质求得 a 的范围,综 合可得结论. 解答: 解:当 a>1 时,由 2﹣a>0 求得 a<2,∴1<a<2. x 当 0<a<1 时,由于 2﹣a 在(﹣∞,1]上可能为负数,故不满足条件. 综上可得,1<a<2, 故选:A. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题. 9. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 R,对任意 x∈R 有 f(x)=f(x+6) ,且 f(x)在(0, 3)内单调递减,f(x)的图象关于直线 x=3 对称,则下列正确的结论是() A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B. f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) C. f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5) 考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件可知函数 f(x)的周期为 6,利用函数周期性,对称性和单调性之间的关系 即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)=f(x+6) , ∴f(x)在 R 上以 6 为周期, ∵函数的对称轴为 x=3, ∴f(3.5)=f(2.5) ,f(6.5)=f(0.5) ∵f(x)在(0,3)内单调递减,0.5<1.5<2.5 ∴f(2.5)<f(1.5)<f(0.5) 即 f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) 故选:C 点评: 本题主要考查了函数的周期性与单调性的综合运用, 利用周期性把所要比较的变量 转化到同一单调区间,利用函数的单调性比较函数值的大小,是解决此类问题的常用方法. 10. (5 分)已知圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别 为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为() A.10 B.20 C.30 D.40 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 压轴题. 分析: 根据题意可知,过(3,5)的最长弦为直径,最短弦为过(3,5)且垂直于该直径 的弦, 分别求出两个量, 然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即 可. 2 2 2 解答: 解:圆的标准方程为(x﹣3) +(y﹣4) =5 , 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10, 根据勾股定理得最短的弦|BD|=2 =4 ,且 AC⊥BD,
2 2

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四边形 ABCD 的面积 S=| AC|?|BD|= ×10×4

=20



故选 B 点评: 考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力, 掌握对角线垂直的四边形的面积 计算方法为对角线乘积的一半. 11. (5 分) (理)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的 中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是()

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;证明题;空间角. 分析: 设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的棱长等于 2,延长 MC1 到 N 使 MN=BB1,连接 AN.可 得∠AB1N(或其补角)就是异面直线 AB1 和 BM 所成角,然后在△ AB1N 中分别算出三条 边的长,利用余弦定理得 cos∠AB1N=0,可得∠AB1N=90°,从而得到异面直线 AB1 和 BM 所成角. 解答: 解: 设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的棱长等于 2, 延长 MC1 到 N 使 MN=BB1, 连接 AN, 则 ∵MN∥BB1,MN=BB1,∴四边形 BB1NM 是平行四边形,可得 B1N∥BM 因此,∠AB1N(或其补角)就是异面直线 AB1 和 BM 所成角 ∵Rt△ B1C1N 中,B1C1=2,C1N=1,∴B1N= ∵Rt△ ACN 中,AC=2,CN=3,∴AN= 又∵正方形 AA1B1B 中,AB1=2 ∴△AB1N 中,cos∠AB1N= 即异面直线 AB1 和 BM 所成角为 90° 故选:A =0,可得∠AB1N=90°

点评: 本题在所有棱长均相等的正三棱柱中, 求异面直线所成的角大小, 着重考查了正三 棱柱的性质、余弦定理和异面直线所成角求法等知识,属于基础题.

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12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=t 有 3 个不等根

x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 x3﹣x1 的取值范围为() A.(2, ] B.(2, ] C.(2, ] D.(2,3)

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 作函数 f(x)= 与 y=t 的图象,从而可得 0<t<1,x1=﹣t,
2

x3=

=1+

; 从而可得 x3﹣x1=1+

+t=﹣ (

﹣ )+ ; 从而解得.

解答: 解:作函数 f(x)=

与 y=t 的图象如下,

结合图象可知,0<t<1; x1=﹣t,x3= 故 x3﹣x1=1+ 故 2<x3﹣x1≤ ; 故选:B. 点评: 本题考查了学生作图的能力及数形结合的思想应用, 同时考查了配方及换元法的应 用,属于中档题. 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
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=1+ +t=﹣(

, ﹣ )+ ;
2

13. (5 分)已知长方形 ABCD 中,AB=2 A′C′= .

,AD=3,其水平放置的直观图如图所示,则

考点: 专题: 分析: 解答: ∴A′C′=

余弦定理的应用;平面图形的直观图. 计算题;空间位置关系与距离. 由题意,A′B′= ,A′D′=3,∠A′D′C′=135°,利用余弦定理可得 A′C′. 解:由题意,A′B′= ,A′D′=3,∠A′D′C′=135°, = .

故答案为: . 点评: 本题考查平面图形的直观图,考查余弦定理,比较基础.
2 2

14. (5 分)若点 P(x,y)在圆 C: (x﹣2) +y =3 上,则 的最大值是



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 设 k= ,即 y=kx,根据直线和圆相切即可得到结论. 解答: 解:设 k= ,即 y=kx, 则∵点 P(x,y)在圆 C: (x﹣2) +y =3 上, ∴圆心(2,0)到直线 kx﹣y=0 的距离 d , 即
2 2 2


2

平方得 4k ≤3+3k , 2 即 k ≤3, 解得﹣ , 故 的最大值是 ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用, 根据点到直线的距离公式和半径之间的 关系是解决本题的关键. 15. (5 分)已知圆(x﹣3) +y =16 和圆(x+1) +(y﹣m) =1 相切,则实数 m=3 或﹣3. 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆.
2 2 2 2

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分析: 根据两个圆的方程, 分别求出两圆半径与圆心的坐标, 再根据两圆位置关系与数量 关系间的联系即可求解,注意圆相切的两种可能性. 解答: 解:根据题意得:圆 C: (x﹣3) +y =16 的圆心坐标为 C(3,0) ,半径 r=4; 2 2 圆 D: (x+1) +(y﹣m) =1 的圆心坐标为 D(﹣1,m) ,半径 R=1. 当两圆相外切时,圆心距 CD=R+r=5,即 所以 m =9,解得 m=3 或 m=﹣3. 当两圆内切时,圆心距 CD=R﹣r=3,即 = =9 此时方程无解,
2 2 2

=



综上 m=3 或 m=﹣3. 故答案为:3 或﹣3. 点评: 本题主要考查圆与圆位置关系的知识点还考查两点之间的距离公式, 圆与圆的位置 关系与数量关系间的联系.注意要进行讨论. 16. (5 分)将边长为 2 的正方形 ABCD(O 是正方形 ABCD 的中心)沿对角线 AC 折起, 使得半平面 ACD 与半平面 ABC 成 θ(0°<θ<180°)的两面角,在折起后形成的三棱锥 D ﹣ABC 中,给出下列三个命题: ①不论 θ 取何值,总有 AC⊥BD; ②当 θ=90°时,△ BCD 是等边三角形; ③当 θ=60°时,三棱锥 D﹣ABC 的体积是 .

其中正确的命题的序号是①②③. (把你认为正确的序号都填上) 考点: 棱锥的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 通过证明 AC⊥平面 BOD,证明 AC⊥BD,可得①正确; 过 D 作 DO⊥AC 于 O,连接 BO,利用勾股定理求得 BD 长,可得②正确; 利用棱锥的体积公式计算三棱锥的体积,可得③正确. 解答: 解:过 D 作 DO⊥AC 于 O,连接 BO,由题意知:BO⊥AC, ∵DO∩BO=O,∴AC⊥平面 BOD,∴AC⊥BD, ∴BD=1,即△ BCD 为等边三角形,②正确; ∵O 为 AC 的中点,AB=BC,∴BO⊥AC,∴AC⊥平面 BOD,BD?平面 BOD,∴AC⊥BD, ①正确; ∵VD﹣ABC= 故答案为:①②③. = ,∴③正确;

点评: 本题考查了面面垂直的性质及异面直线所成角的求法, 考查了学生的空间想象能力 与计算能力.
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知直线 l1:x+my+6=0,直线 l2: (m﹣2)x+3my+18=0. (1)若 l1∥l2,求实数 m 的值; (2)若 l1⊥l2,求实数 m 的值. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)对 m 分类讨论,利用两条直线平行与斜率、截距的关系即可得出; (2)对 m 分类讨论,利用两条直线垂直与斜率的关系即可得出. 解答: 解: (1)当 m=0 时,两条直线分别化为:x+6=0,﹣x+9=0,此时两条直线不平行, 因此 m=0; 当 m≠0 时,两条直线分别化为: ∵l1∥l2,∴ , , ,无解. ,

综上可得:m=0. (2)由(1)可得:m=0 时两条直线平行, m≠0,∵l1⊥l2,∴ 解得 m=﹣1 或 . ∴m=﹣1 或 . 点评: 本题考查了分类讨论、两条直线平行垂直与斜率之间的关系,属于基础题. =﹣1,

18. (12 分)如图,O 为矩形 ABCD 的中心,E,F 为平面 ABCD 同侧两点,且 EF △ CDE 和△ ABF 都是等边三角形. (1)求证:FO∥平面 ECD; (2)设 BC= CD,求证:EO⊥平面 FCD.

BC,

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 CD 中点 M,证明四边形 EFOM 为平行四边形,得到 FO∥EM,从而证 明 FO∥平面 CDE. (Ⅱ) 证明平行四边形 EFOM 为菱形, 从而 EO⊥FM, 证明 CD⊥平面 EOM, 可得 CD⊥EO, 进而证得 EO⊥平面 CDF. 解答: 证明: (Ⅰ)证明:取 CD 中点 M,连接 OM.
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在矩形 ABCD 中,OM∥ BC,且 OM= BC,又 EF∥ BC,且 EF= BC, 则 EF∥OM,EF=OM,连接 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形. ∴FO∥EM. 又 FO 不在平面 CDE 内,且 EM 在平面 CDE 内, ∴FO∥平面 CDE. (Ⅱ)证明:连接 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△ CDE 中,CM=DM,EM⊥CD, 且 EM= CD= BC=EF, 因此, 平行四边形 EFOM 为菱形, 从而, EO⊥FM, 而 FM∩CD=M,

∴CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO.而 FM∩CD=M, 所以,EO⊥平面 CDF. 点评: 本题考查证明先面平行、线面垂直的方法,取 CD 中点 M,证明 CD⊥平面 EOM 是解题的难点,属于基本知识的考查. 19. (12 分)如图,已知直线 l1:4x+y=0,直线 l2:x+y﹣1=0 以及 l2 上一点 P(3,﹣2) , 求圆心在 l1 上且与直线 l2 相切于点 P 的圆的方程.

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 法一:利用待定系数法即可求圆 C 的方程; 法二:根据直线和圆相切的等价条件,联立方程组求出圆心和半径即可. 2 2 2 解答: 解:法一:设圆的标准方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r , ∵圆 C 与直线 l:x+y﹣1=0 相切于点 P(3,﹣2) ,且圆心在直线 4x+y=0 上,

∴满足

,解得 a=1,b=4,r=



则圆的标准方程为(x﹣1) +(y﹣4) =8. 法二:过切点且与 x+y﹣1=0 垂直的直线方程为 y+2=x﹣3, 即 y=x﹣5 与 4x+y=0 联立求得圆心为(1,﹣4) , 则半径 r=
2

2

2

=
2



则圆的标准方程为(x﹣1) +(y﹣4) =8.

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点评: 本题主要考查圆的标准方程的求解, 以及直线和圆相切的应用, 利用直线和圆的位 置关系求出圆心和半径是解决本题的关键. 20. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣ ,g(x)= .

(1)若函数 f(x)为奇函数,求 a 的值; (2)若关于 x 的方程 g(2x)﹣a?g(x)=0 有唯一的实数解,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的性质;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数 f(x)是 R 上的奇函数得:f(0)=0,代入解析式列方程,再求实 数 a 的值; (2)由题意先求出 g(x)的解析式,代入方程进行化简得:2 ﹣a?2 +1﹣a=0,利用换元 法转化已知的方程,根据二次函数根的分布问题,列出不等式组求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意知,f(x)是定义域为 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,即 a﹣ =0,解得 a=1;
2x x

(2)因为 f(x)=a﹣

,所以 g(x)=

=



将方程 g(2x)﹣a?g(x)=0 化为:
2x x

+a×

=0,

化简得 2 ﹣a?2 +1﹣a=0, x 2 设 t=2 ,则 t>0,代入上式得 t ﹣at+1﹣a=0, 因为关于 x 的方程 g(2x)﹣a?g(x)=0 有唯一的实数解, 2 所以关于 t 的方程 t ﹣at+1﹣a=0 有唯一的正实数解,

则 1﹣a<0 或

,解得 a>1 或 a>



所以实数 a 的取值范是( ,+∞) . 点评: 本题考查函数奇偶性的性质, 二次函数根的分布问题, 以及有关方程根的转化问题, 考查换元法和转化思想. 21. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线 B1C 与平 面 ABC 成 30°角.
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(I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 证明题. 分析: (I) 欲证平面 B1AC⊥平面 ABB1A1, 关键是寻找线面垂直, 而 AC⊥平面 ABB1A1, 又 AC?平面 B1AC,满足面面垂直的判定定理; (II)过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连接 CM,∠A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成 的角,然后在三角形 A1CM 中求出此角的正弦值即可. 解答: 解:

(I)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面 ABC, ∴B1B⊥AC,又 BA⊥AC,B1B∩BA=B, ∴AC⊥平面 ABB1A1,又 AC?平面 B1AC, ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1. (II)解:过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连接 CM, ∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC. ∴∠A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角, ∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角,∴∠B1CB=30°. 设 AB=BB1=a,可得 B1C=2a,BC= ,

∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为 点评: 本题主要考查了平面与平面垂直的判定, 以及直线与平面所成的角, 考查空间想象 能力、运算能力和推理论证能力.

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22. (12 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1,且当 x >0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; 2 (3)若 f(1)=2,且关于 x 的不等式 f(ax﹣2)+f(x﹣x )<3 对任意的 x∈=f(x2﹣x1) +f(x1)﹣1>1+f(x1)﹣1=f(x1) ,从而得到函数的单调性; 2 2 (3)f(ax﹣2)+f(x﹣x )=f(ax﹣2+x﹣x )+1<3,根据 f(1)=2 及 f(x)在 R 上为增 2 函数即得 x ﹣(a+1)x+3>0 对任意的 x∈=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1>1+f(x1)﹣1=f(x1) , ∴f(x2)>f(x1) , 即 f(x)在 R 上为增函数; 2 2 (3)∵f(ax﹣2)+f(x﹣x )=f(ax﹣2+x﹣x )+1<3 2 ∴f(ax﹣2+x﹣x )<2 又∵f(1)=2 及 f(x)在 R 上为增函数 2 ∴ax﹣2+x﹣x <1 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立, 2 即 x ﹣(a+1)x+3>0 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立. 2 下面对△ =(a+1) ﹣12 的正负情况进行讨论: 2 ①当△ <0,即(a+1) ﹣12<0 时, ②当△ =0 且 x ﹣(a+1)x+3=0 的解小于 1 时, 则 a=± ,x= ,
2

故 a=﹣ ; 2 ③当△ >0 且 x ﹣(a+1)x+3=0 的最大解小于 1 时, 2 2 即 0<a +2a﹣11<a ﹣2a+1, 解得 或 , 综合所述, 或 . 点评: 本题主要考查了抽象函数, 及其函数的单调性和不等式的解法, 着重考查了函数的 简单性质和函数恒成立问题等知识点,属于中档题.

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