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湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测数学(理)B卷


B卷

2009~2010 学年度 湖北省赤壁一中高三年级 3 月质量检测

理 数 试 卷
命 题 教 师:高三数学备课组 李西波 审 题 教 师:高 三 数 学 备 课 组 张才松

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码

粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.非选择题的作答:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域 内。答在试题卷上无效。

4.本测试卷为实验班和复读班做.
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.
n ?n 1、设 f ? n? ? i ? i (n ? N ) ,则集合 x x ? f (n) 中元素的个数为

?

?

2、已知等比数列 ?an ? 中, a1 , a3 是方程 x ? 8 x ? 1 ? 0 的两个根,则 a7 =
2

A、1

B、2

C、3

D、无穷多个

A、1 3、下面说法正确的是

B、-1

C、1 或-1

D、以上都不正确

A、若 f ? x ? 在 x ? x0 处存在极限,则 f ? x ? 在 x ? x0 处连续 B、若 f ? x ? 在 x ? x0 处无定义,则 f ? x ? 在 x ? x0 处无极限 C、若 f ? x ? 在 x ? x0 处连续,则 f ? x ? 在 x ? x0 处存在极限 D、若 f ? x ? 在 x ? x0 处连续,则 f ? x ? 在 x ? x0 处可导

4、 “数列 ?an ? 为等比数列”是“数列 ?an ? an?1? 为等比数列”的 A、充分不必要条件 C、充分必要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

n 3 5、已知 x ? R, n ? N*,定义 : M x ? x( x ? 1)(x ? 2)??( x ? n ? 1),例如M ? 5 ? (?5) ? (?4)

7 ?(?3) ? ?60, 则函数f ( x) ? M x ?3 ? cos

2009 x 2010
B、是奇函数不是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数

A、是偶函数不是奇函数 C、既是奇函数又是偶函数 6、已知 f ? x ? ? tan x , x ? ? 0, 同时成立,则 A、 a ? tan b B、 b ? cot a

? ?

??

? ?? ? ,若存在 a, b ? ? 0, ? , 使f ? cot a ? ? a, cot ? ? f ? b ?? ? ?b 2? ? 2?
C、 a ? b D、 a ? b ?

?
2

7、设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,则下列命题中是真命题的个数是 ①存在一个圆与所有直线相交 ②存在一个圆与所有直线不相交 ③存在一个圆与所有直线相切 ④ M 中所有直线均经过一个定点 ⑤存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 ⑥对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 ⑦ M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 A、3 B、4 C、5
2 2

D、6

8、已知点 P 为双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点,F1、F2 分别为双曲线的左、 2 a b
a a2 ? b2
19 27
b a a b

右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? ? S?IF1F2 成立,则 ? 的值为 A、

a2 ? b2 2a

B、

C、

D、

9、 一个盛满水的三棱锥容器, 不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D、 E、 F, 且知 SD: DA=SE: EB=CF:FS=2:1,若仍用这个容器盛水,则最多可盛原来水的 A、

23 29

B、

C、

30 31

D、

23 27

10、 平面上有四点, 连结其中的两点的一切直线中的任何两条直线不重合、 不平行、 不垂直, 从每一点出发,向其他三点作成的一切直线作垂线,则这些垂线的交点个数最多为 A、66 B、60 C、52 D、44 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 11、设 f ( x) ?

? ? 1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] ,则 f ( x) 的值域为 6 4 2 2
0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 .



12、已知 x, y 的取值如下表所示: x y

| a2 |?| a1 ? 1 | ,| a3 |?| a2 ? 1 | , 13、 在实数数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 0 , ?, | an |?| an?1 ? 1 | ,


? ? 0.95x ? a ,则 a ? 从散点图分析, y 与 x 线性相关,且 y

a1 ? a2 ? a3 ? a4 的最大值为___________.
14、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使 得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的

1 k ? N* 。 已知一个铁钉受击 3 次后全 k

?

?

部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 提炼出一个不等式组: .

4 ,试从这个实事中 7

15、 给 定 项 数 为 m (m ? N , m ? 3) 的 数 列 ?an ? , 其中 ai ? ?0,1 ? (i ? 1, 2,? m) 。
*

若存在一个正整数 k (2 ? k ? m ? 1) ,若数列 ?an ? 中存在连续的 k 项和该数列中另一

个连续的 k 项恰好按次序对应相等 , 则称数列 ?an ? 是 “k 阶可重复数列 ” .例如数列 所以数列 ?an ? 是 ?an ? :0,1,1,0,1,1,0. 因为 a1 , a2 , a3 , a4 与 a4 , a5 , a6 , a7 按次序对应相等, “4 阶可重复数列” .假设数列 ?an ? 不是“5 阶可重复数列”,若在其最后一项 am 后再添 加一项 0 或 1,均可使新数列是“5 阶可重复数列”,且 a4 ? 1 ,数列 ?an ? 的最后一项

am =



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (cos ? ,1 ? sin ? ), b ? (1 ? cos ? ,sin ? ) . (1)若 a ? b ? 3, 求 sin 2? 的值; (2)设 c ? (? cos ?, ?2) ,求 a ? c ? b 的取值范围.

?

?

? ?

?

?

? ? ?

?

17、 (本小题满分 12 分) 有一牛奶商店每瓶牛奶进价为 0.80 元,售价为 1 元,但牛奶必须于每晚进货,于次日 早晨出售;昨晚进货不多可能会因供不应求减少可得利润,若进货过多,次日早晨卖不 完,则不能再隔夜出售(牛奶会发酸变质) ,每剩一瓶则造成 0.80 元的损失,过去的经 验可以作为未来发展的参考,历史上 200 天的销售记录如下: 日销售量 天数 概率 25 瓶 20 0.10 26 瓶 60 0.30 27 瓶 100 0.50 28 瓶 20 0.10 在统计的这 200 天当中, 从未发生日销 24 瓶以下或 29 瓶以上的情况, 我们可以假定日 销 24 瓶以下或 29 瓶以上的情形不会发生,或者说此类事情发生的概率为零.作为经销 商应如何确定每日进货数.

18、 (本小题满分 12 分) 如图,已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是直角三角形, ?C ? 90? ,侧棱与底面所成 B1 的角为 ? (0? ? ? ? 90?) ,点 B1 在底面上的射影 D 落在 BC 上. (1)若点 D 恰为 BC 的中点,且 AB1 ? BC1 ,求 ? 的值. C1 A1

B D

A

(2)若 ? ? arccos ,且当 AC ? BC ? AA1 时,求二面角

1 3

C1 ? AB ? C 的大小.
19、 (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C: y ?

1 2 x 与直线 l: y ? kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点, 2

过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2) 若点 P 与 (1) 中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M, N 两点, 证明:

PM PN

?

QM QN



20、 (本小题满分 14 分)

cos x (1)求 f ( x ) 的导数 f ( x ) ;
3

已知函数 f ( x) ?

sin x
3

? x (0 ? x ?

?
2

).

(2)求证:不等式 sin x ? x cos x在 ? 0, ? 上恒成立;
3

(3)求 g ( x) ?

1 1 ? ? 2 (0 ? x ? ) 的最大值. 2 sin x x 2

? ?? ? 2?

21、 (本小题满分 14 分) 数列 ?? n ? 定义如下: ?1 ? (1)求 ? 2 , ? 3 的值; (2)求 ?? n ? 的通项; (3)若数列 ??n ? 定义为: ?n ? 2 ②证明: ?n ? 7, n ? N * .
n?1
* 2 ,n? N . 2 , ? n?1 ? 2 ? 4 ? ? n

?n , n ? N* ,

①证明: ?n ? ?n?1 , n ? N * ;

B卷

2009~2010 学年度 湖北省赤壁一中高三年级 3 月质量检测

理 数 参 考 答 案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B 9 D 10 D

二、填空题 题号 11 12 13 14 15

答案

3 [2, 2 ] 4

2.6

2

?4 4 ? ?1 ? ? 7 7k ? ?4 ? 4 ? 4 ? 1 ? ? 7 7k 7k 2



三、解答题

16、解: (1)因 a ? b ? (1 ? 2cos ? ,1 ? 2sin ? ), a ? b ? (1 ? 2cos ? ) ? (1 ? 2sin ? )
2

? ?

? ?

2

3 ? 6 ? 4(sin ? ? cos ? ) ,? sin ? ? cos ? ? ? , 4 9 7 两边平方得 1 ? 2sin ? cos ? ? ,? sin 2? ? ? 16 16 ? ? ? ? ? 1 2 1 2 (2)因 a ? c ? (0, ?1 ? sin 2?) ,? a ? c ? b ? sin ? ? sin ? ? (sin ? ? ) ? , 2 4 ? ? ? 1 ? ? 又 sin ? ???1,1? ,? a ? c ? b 的取值范围为 ? ? , 2 ? . ? 4 ?

?

?

?

?

17、解:分别计算购入 25,26,27,28 瓶是的条件利润和期望利润 注:条件利润:在购入一定量条件下能获得的利润 期望利润:条件利润乘以销售概率 通过计算(略)可知: 购入 25 瓶时,期望利润为 5.0 元 购入 26 瓶时,期望利润为 5.1 元 购入 27 瓶时,期望利润为 4.9 元 购入 28 瓶时,期望利润为 4.2 元 由此可知,每晚购入 26 瓶可获得期望最大利润 每晚购入 26 瓶牛奶的期望利润为 5.10 元仅为一个平均值,至于每天的实际情况不

可预测. 18、解: (1)? B1 D ? 面 ABC ,? B1 D ? AC , 又 AC ? BC, ? AC ? 面 BB1C1C . 又 AB1 ? BC1 ,由三垂线定理可知, B1C ? BC1 ,即平行四边形 BB1C1C 为菱形 又? B1D ? BC ,且 D 为 BC 的中点,? B1C ? B1B . 即 ?BB1C 为正三角形,??B1 BC ? 60? .

? B1D ? 平面 ABC ,且点 D 落在 BC 上, ??B1 BC 即为侧棱与底面所成的角.? ? ? 60? .
(2)过 C1作C1 E ? BC ,垂足为 E ,则 C1 E ? 平面 ABC . 过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F ,由三垂线定理得 C1 F ? AB . B1 C1 A1

? ?C1 FE 是所求二面角 C1 ? AB ? C 的平面角.
1 3

B D

F

A

设 AC ? BC ? AA1 ? a ,在 Rt ?CC1 E 中,由 ?C1CE ? ? ? arccos , 得C1 E ? 在 Rt ?BEF中, ?EBF ? 45?, EF ?
2 2 2 BE ? a,??C1 FE ? 45? . 2 3

2 2 a. C 3

E

故所求的二面角 C1 ? AB ? C 为 45°. 另法:建系设点正确 2 分; (1)4 分; (2)6 分 19、证明 :(1)设 A( x1 , y1 ) ,则 y1 ? 由y?

1 2 x1 . 2

1 2 x 得 y ? ? x ,所以 y ? | x? x1 ? x1 . 2

于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? x1 x ? y1 . 设 P( x0 , kx0 ? 1) ,则有 kx0 ? 1 ? x0 x1 ? y1 . 设 B( x2 , y2 ) ,同理有 kx0 ? 1 ? x0 x2 ? y2 . 所以 AB 的方程为 kx0 ? 1 ? x0 x ? y ,即 x0 ( x ? k ) ? ( y ? 1) ? 0 , 所以直线 AB 恒过定点 Q(k ,1) . (2)PQ 的方程为 y ?

1 kx0 ? 2 ( x ? k ) ? 1,与抛物线方程 y ? x 2 联立,消去 y,得 2 x 0 ?k

x2 ?

2kx0 ? 4 (2k 2 ? 2) x0 ? 2k x? ? 0. x0 ? k x0 ? k

2kx0 ? 4 (2k 2 ? 2) x0 ? 2k 设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y 4 ) , 则 x3 ? x4 ? , x3 x 4 ? x0 ? k x0 ? k
① 要 证

PM PN

?

QM QN











x3 ? x0 k ? x3 ? x 4 ? x0 x 4 ? k





2x3 x4 ? (k ? x0 )(x3 ? x4 ) ? 2kx0 ? 0
由①知,



2(2k 2 ? 2) x0 ? 4k 2kx0 ? 4 ②式左边= ? ( k ? x0 ) ? 2kx0 x0 ? k x0 ? k 2(2k 2 ? 2) x0 ? 4k ? (k ? x0 )(2kx0 ? 4) ? 2kx0 ( x0 ? k ) ? ?0. x0 ? k
故②式成立,从而结论成立. 20、解: (1) f ( x) ? cos 3 x ?
' 2 4 ? 2 2 sin x cos 3 x ? 1 3 2 4 ? 2 2 sin x cos 3 x ? 1 ,其中 f (0) ? 0 3

(2)由(1)知 f ( x) ? cos 3 x ?
'

令 f ( x) ? G( x) ,对 G ( x) 求导数得 G ( x)
' '

1 4 7 ? ? 2 1? 4 G ' ( x) ? cos x ? 3 (? sin x) ? ?2sin x cos x cos 3 x ? sin 2 x(? ) cos 3 x(? sin x) ? 3 3? 3 ?
7 ? 4 3 sin x cos 3 x ? 0 在 x ? (0, ) 上恒成立. 2 9

=

故 G ( x) 即 f ( x ) 在 (0, 进而知 f ( x ) 在 (0, 当x?

?
2

) 上为增函数,故 f ' ( x) ? f ' (0) ? 0

?
2

) 上为增函数,故 f ( x) ? f (0) ? 0
3

?
2

时, sin x ? x cos x 显然成立.
3 3 3

于是有 sin x ? x cos x ? 0 在 (0,

?
2

] 上恒成立.

(3) ? 由(2)可知 sin x ? x cos x ? 0 在 (0,
3 3

?
2

] 上恒成立.

则 g ( x) ?
'

? ? 2(sin 3 x ? x3 cos x) ? 0 在 (0, ] 上恒成立.即 g ( x) 在 (0, ] 单增 3 3 2 2 x sin x

于是 g ( x) ? g ( ) ? 21、 (1) ? 2 ? 2sin

?

4

?
8

2

, ? 3 ? 2sin

?2 ?
16

(其他合理答案也给分)

(2)设 ? 1 ? 2sin

?
4

,则 ? 2 ?

2 ? 4 ? 4sin 2

?
4

? 2 ? 2cos

?

? 2(1 ? cos ) 4 4

?

? 4sin 2

?
2
3

? 2sin

?
23

一般地,若 ? k ? 2sin

?
2
k ?1

,则由递推关系可知: ? k ?1 ? 2sin

?
2k ? 2

所以, ?? n ? 的通项公式为 ? n ? 2sin (3) ①由(2)为, ? n ? 2
n?2

?
2n ?1

(n ? N )

sin

?
2n ?1

,于是

?n ? ?n?1

2n? 2 sin 2n?3 sin

?
2
n ?1

?

?

2n?3 sin

2n ? 2

2n? 2 ? cos ? ? 1 ? 2n ? 2 2n?3 sin n? 2 2 2
n?2

?

cos

?

所以, ?n ? ?n?1 , n ? N * ② 因 为 当

0? x? ? 2? ? 7

?
2





sin x ? x







? n ? 2n ? 2 sin

?
2
n ?1

? 2n ? 2 ?

?
2n ?1


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