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100测评网高中数学复习盐城中学09届高三第四次综合考试


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盐城中学 09 届高三第四次综合考试 数学试题(12.12)
一.填空题(每小题 5 分,共计 70 分) 1. 若集合 A ? x | x ≤ 2 , B ? x | x ≥ a 满足 A

?

?


?

?

B ? {2} ,则实数 a=
▲ . ▲





2.已知 (a ? i) 2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ?

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 3.若向量 a , b 满足 a ? 1,

? ,则 a ? b ? 3



4.一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是 ▲ . 5.命题 P:“对任意的 x ? A ,都有 ? x ? 2 x ? 2 ? 0 .”则当 A ? [1, 2]
2

时,命题 P 为



命题(填“真”或“假”)

主视图

6.“m= a ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的充要条件,则 a = ▲ .

俯视图

第 4 题图

?0 ? x ? 2 ? 2 2 7.若 x、y 满足 ?0 ? y ? 2, 则? x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小值是 ?x ? y ? 1 ?
an ? n ,则 8.已知等比数列{ an },公比为 2, bn= ?a1 a 2 ......
9.已知 sin( x ?
1



.

bn = bn?1
▲ .



?
6

)?

5? ? 1 , 则 sin( ? x) ? sin 2 ( ? x) = 4 6 3

10.若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ , 3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ?

1 2

1 的值域是 f ( x)



.

11.设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? , 则m ? n ; 其中所有正确命题的序号是 ▲ ②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; . ③若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ;④若 m ? ? , ? ? ? , m // n, 则n // ? .

? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 12.设奇函数 f ( x ) 在 (0,
集为 ▲ .

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解 x

13. 若对 x, y ?[1, 2] , xy ? 2 ,总有不等式 2 ? x ? ▲ .

a 成立,则实数 a 的取值范围是 4? y

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14.已知函数 f ( x) ? ? 则实数 a 的取值范围是

? 2 ? x ? a ( x ? 0) ,若方程 f ( x) ? x 有且只有两个不相等的实数根, ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
▲ .

二、解答题(本大题共计 90 分) 15. ( 本 小 题 14 分 ) 已 知

a ? (cosx, sin x),b ? (cosx ? 3 sin x, 3 cos x ? sin x), f ( x) ? a ? b
(1) 求 f ( x) 的解析式及其最小正周期; (2) 求 f ( x) 的单调增区间.

16.(本小题 14 分)已知等腰梯形 PDCB 中, PB ? 3, DC ? 1, PD ? 点,且 DA ? PB ,将 ?PAD 沿 AD 折起,使 PA ? AB (1)求证: CD // 面PAB (2)求证: CB ? 面PAC

2, A 为 PB 边上一

P

P

A

B

A D C D C

B

17.(本小题 15 分)假设 A 型进口车关税税率在 2003 年是 100%,在 2008 年是 25%,在 2003 年 A 型进口车每辆价格为 64 万元(其中含 32 万元关税税款) (1)已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车,2003 年每辆价格为 46 万元,若 A 型车的价 格只受关税降低的影响,为了保证 2008 年 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90%,B 型车 价格要逐年等额降低,问每年至少下降多少万元? (2)某人在 2003 年将 33 万元存入银行,假设银行扣利息税后的年利率为 1.8%(5 年内 不变),且每年按复利计算(上一年的利息计入第二年的本金),那么 5 年到期时这笔钱 连本带利息是否一定够买按(1)中所述降价后的 B 型车一辆?(参考数据:1.0185≈1.093)

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18. (本小题 15 分)已知平面直角坐标系 xoy 中 O 是坐标原点, A(6,2 3), B(8,0) ,圆 C 是 ?OAB 的外接圆,过点(2,6)的直线 l 被圆所截得的弦长为 4 3 (1)求圆 C 的方程及直线 l 的方程; (2) 设圆 N 的方程 ( x ? 4 ? 7 cos? ) 2 ? ( y ? 7 sin ? ) 2 ? 1 , 过圆 N 上任意一点 P (? ? R) , 作圆 C 的两条切线 PE, PF ,切点为 E , F ,求 CE ? CF 的最大值.

19.(本小 16 分)已知函数 f ( x) ? 2

x

(1)试求函数 F ( x) ? f ( x) ? af (2 x), x ? (??,0] 的最大值; (2)若存在 x ? (??,0) ,使 af ( x) ? f (2x) ? 1 成立,试求 a 的取值范围; (3)当 a ? 0, 且 x ? [0,15] 时,不等式 f ( x ? 1) ? f [(2 x ? a) ] 恒成立,求 a 的取值范围;
2

20.(本小题 16 分)已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 1(n ? N )
?

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(1)若 a1 ?

5 ,求 an ; 4

(2)是否存在 a1,n0 (a1 ? R, n0 ? N ? ) ,使当 n ? n0 (n ? N ? ) 时, an 恒为常数.若存在求

a1和n0 ,否则说明理由
(3)若 a1 ? a ? (k , k ? 1), (k ? N ? ), ,求 ?an ? 的前 3k 项的和 S 3k (用 k , a 表示)

盐城中学 09 届高三第四次综合考试 数学答题纸(2008.12
一、填空题(14×5=70 分) 1、 2 3、 5、 7、 9、 2、-1

)

7


4、 6、

4 3 3
1 或? 2 2

1 2 19 16

8、 2 10、 [ 2,

10 ] 3

11、 1.3 13、

12. (?1,0) ? (0,1) 14、 a ? 2

a?0
15、(14 分) (1) f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

T ??
(2) 令 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z

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则?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z ? k? ,

所以单调增区间为 [? 16、(14 分)

?
3

?
6

? k? ], k ? Z

P

P

A

B

A D C D C

B



? ? (1)证明: CD ? 面PAB? ? CD // 面PAB AB ? 面PAB? ? CD // AB
(2)证明:在梯形中易证 BC ? AC

? PA ? 面ABD 又? PA ? AD,PA ? AB, ? BC ? 面ABD? BC ? PA
又 PA ? AC ? A

PA, AC ? 面PAC

? CB ? 面PAC
17、(15 分) 解:(1)2008 年 A 型车价格为 32+32×25%=40(万元) 设 B 型车每年下降 d 万元,2003,2003,?,2008 年 B 型车价格分别为 a1 , a2 , a3 ?,

a6 (a1 , a2 ,?, a6 为公差是-d 的等差数列)

? a6 ? 40? 90%
即 46 ? 5d ? 36

?d ? 2
故每年至少下降 2 万元。 (2)2008 年到期时共有钱 33 ? (1 ? 1.8%)
5

? 33 ? 1.093 ? 36.069 ? 36 (万元)
故 5 年到期后这笔钱够买一辆降价后的 B 型车。

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18、(15 分) 解:因为 A(6,2 3), B(8,0) ,所以 ?OAB 为以 OB 为斜边的直角三角形, 所以圆 C : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16 (2)1)斜率不存在时, l : x ? 2 被圆截得弦长为 4 3 ,所以 l : x ? 2 适合 2)斜率存在时,设 l : y ? 6 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 6 ? 2k ? 0

因为被圆截得弦长为 4 3 ,所以圆心到直线距离为 2 所以

4k ? 6 ? 2k 1? k 2

?2

?k ? ?

4 3

4 ? l : y ? 6 ? ? ( x ? 2), 即4 x ? 3 y ? 26 ? 0 3

纵上, l : x ? 2 或 4 x ? 3 y ? 26 ? 0 (3)解:设 ?ECF ? 2a ,则

CE CF ?| CE | | CF | cos 2? ? 16cos 2? ? 32cos2 ? ?16 .
在 Rt△PCE 中, cos ? ?

x 4 ? ,由圆的几何性质得 | PC | | PC |

| PC |≥| MC | ?1 ? 7 ? 1 ? 6 ,
所以 cos ? ?

2 , 3 16 9
16 . 9

由此可得 CE ? CF ? ?

则 CE ? CF 的最大值为 ? 19、(16 分)

(1) F ( x ) max

1 ? 1 ? a, a ? ? ? ? 2 ?? ? 1 ,a ? ? 1 ? 2 ? 4a

2 x (2) 令 2 ? t , 则存在 t ? (0,1) 使得 t ? at ? 1

所以存在 t ? (0,1) 使得 t ? at ? 1或t ? at ? ?1
2 2

即存在 t ? (0,1) 使得 a ? (t ? ) max 或a ? (t ? ) min

1 t

1 t

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? a ? 0或a ? 2
(3)由 f ( x ? 1) ? f (2 x ? a) 2 得 x ? 1 ? (2x ? a) 2 恒成立 因为 a ? 0, 且 x ? [0,15] ,所以问题即为 x ? 1 ? 2 x ? a 恒成立

?

?

? a ? (?2x ? x ? 1) max
设 m( x ) ? ? 2 x ?

x ?1

令 x ? 1 ? t, 则x ? t 2 ? 1, t ?[1,4]

1 17 ? m(t ) ? ?2(t 2 ? 1) ? t ? ?2(t ? ) 2 ? 4 8
所以,当 t=1 时, m( x) max ? 1

?a ?1

20、(16 分) 解:(1) a1 ?

5 1 3 1 , a 2 ? , a3 ? , a 4 ? ,? 4 4 4 4

?1 , n ? 2k ? 5 ?4 ? ,其中 k ? N ? a1 ? , n ? 2 时, a n ? ? 4 ? 3 , n ? 2k ? 1 ? ?4
(2)因为存在 a n ?1 ? a n ? 1 ? ?

?a n ? 1, a n ? 1 ,所以当 an ? 1 时 a n ?1 ? a n ?? a n ? 1, a n ? 1

①若 0 ? a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ? a1 , a3 ? 1 ? .a2 ? a1 此时只需: a 2 ? 1 ? a1 ? a1 ,? a1 ?

1 1 1 . 故存在 a1 ? , a n ? (n ? N ? ) 2 2 2
?

②若 a1 ? b ? 1 ,不妨设 b ? [m, m ? 1), m ? N ,

am?1 ? b ? m ? [0,1) ? am?2 ? 1 ? am?1 ? 1 ? (b ? m) ? am?1 ? b ? m
?b ? m ? 1 2 1 1 ? a1 ? m ? , n ? m ? 1时, a n ? , (m ? N ? ) 2 2
?

③若 a1 ? c ? 0, 不妨设 c ? (?l ,?l ? 1], l ? N

易知 a2 ? ?c ? 1 ? (l , l ? 1]

1 ? a3 ? a2 ? 1 ? ?c,?, al ?2 ? ?c ? (l ? 1), ? c ? ?l ? . 2 1 1 ? a1 ? ?l ? .(l ? N ? ), n ? l ? 2, 则a n ? 2 2 1 1 a1 ? m ? 时, n0 ? m ? 1; 故存在三组 a1和n0 : a1 ? 时, n0 ? 1; 2 2

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1 a1 ? ?m ? 时, n0 ? m ? 2;其中 m ? N ? 2
(3) 当 a1 ? a ? (k , k ? 1), (k ? N ? ), 时,易知 a2 ? a ? 1, a3 ? a ? 2,?,

ak ? a ? (k ? 1);

ak ?1 ? a ? k ? (0,1)

ak ?2 ? 1 ? ak ?1 ? k ? 1 ? a
…..

a k ?3 ? 1 ? a k ? 2 ? a ? k

ak ?4 ? 1 ? ak ?3 ? k ? 1 ? a

a3k ?1 ? a ? k , a3k ? k ? 1 ? a ? S3k ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?3 ? ak ?4 ? ? ? a3k ?1 ? a3k
? a ? (a ? 1) ? (a ? 2) ? ? ? a ? (k ? 1) ? k ? ka ? k ? 1? k ?1 (k ? 1) 2

??

k2 3 ? k (a ? ) 2 2

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