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天津市2015届高考压轴卷数学文科试题及答案


2015 天津高考压轴卷 数学文科试卷
一、 选择题:(每题 5 分,共 40 分)
5 ? 3i

1.i 是虚数单位,复数 A.1-i

4?i

=(

) C.1+ i D.-1-i )A.-5

B.-1+ i

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2. 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则目标函数 z=3x-2y 的最小值为 ( ?x ? 1 ? 0 ?

B.-4 C.-2 D.3 3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( A.8 B.18 C.26 D.80

)

4.已知命题 P:“
p 是 q 的(

x ? 1 ”,命题 q:“ x ? y ? 0 ”,则 y
) ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.在下列区间中,函数 f (x)=e x +4 x-3 的零点所在的区间为(
1 A.( - ,0) 4


1 3 , ) 2 4

B.(0,

1 ) 4

C.(

1 1 , ) 4 2

D.(

6.将函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像沿 x 轴向右平移 a 个单位 (a ? 0) ,所得图像关于 y 轴对称, 则 a 的最小值为( ) π π A. B. 6 2
7π 6 π 3

C.

D.

7. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 (??,??) 上 的 偶 函 数 , 且 在 (??,0] 上 是 增 函 数 , 设

a ? f (log4 7)b ? f (log1 3),c ? f (0.20.6 ) ,则 a, b, c 的大小关系是(
2



A. c ? b ? a

B. b ? c ? a

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c )

? x 2 ? 2, x ? 0 , 若 f ? x ? ? ax在x ? ? ?1,1? 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( 8.已知 f ? x ? ? ? ?3 x ? 2, x ? 0
页 1第

A. ? ?? ? 1? ? ? 0, ?? ? C. ? 0,1?

B. ? ?1, 0? D. (??,0] ? [1,??)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

? 1 ? 9.若集合 A ? x x ? 1 , A ? ? x ? 1? ,则 A ? B =_____________. ? x ?
10.如图, PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 , AC 是圆 O 的直径,
PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R 等于________.

?

?

2

2

2 1.5 3

1.5
正视图 侧视图

2
2 2 俯视图

11 .某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为 12.已知双曲线 C :

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 半焦距为 c,过焦点且斜率为 1 的直线 a 2 b2

与双曲线 C 的左右两支各有一个交点,若抛物线 y 2 ? 4cx 的准线被双曲线 C 截 得的弦长为
2 2 2 be (e 为双曲线 C 的离心率) ,则 e 的值为 3

13.函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中
1 2 。 ? 的最小值为 m n 14.已知点 M 为等边三角形 ABC 的中心, AB =2 ,直线 l 过点 M 交边 AB 于点 P ,交边 AC 于 点
mn ? 0 ,则

Q ,则 BQ ? CP 的最大值为

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15.编号为 A1 , A2 , ???, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:



2第

运动员编 A1 A2 A3 A4 A5 A6 号 得分 15 35 21 28 25 36 运动员编 A9 A10 A11 A12 A13 A14 号 得分 17 26 25 33 22 12 (Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格; 区间 ?10,20? ?20,30? 人数 (Ⅱ)从得分在区间 ?20,30? 内的运动员中随机抽取 2 人, (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 的概率. 16. ?ABC 中角 A, B, C 所对的边之长依次为 a, b, c ,且 cos A ? (Ⅰ)求 cos 2C 和角 B 的值; (Ⅱ)若 a ? c ? 2 ?1, 求 ?ABC 的面积.

A7
18

A8
34

A15
31

A16
38

?30,40?

2 5 , 5(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 10ab. 5

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,

AD ? PD, BC ? 1, PC ? 2 3, PD ? CD ? 2
(I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明:平面 PDC ? 平面 ABCD ; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。

18. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n ? 2n 2 ? n, n ? N * , 数 列 {bn } 满 足

an ? 4 l o 2g bn ? 3 , n ? N * . (1)求 a n , bn ; (2)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn .
19.设椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2。点 P(a, b) 满足 | PF2 |?| F1 F2 | . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,若直线 PF2 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 16 相交于
页 3第

5 | AB | ,求椭圆的方程。 8 1 m ?1 2 1 x , g ( x ) ? ? mx , m 是实数. 20.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3 2 3

M,N 两点,且 | MN |?

(I)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求 m 的值; (II)若 f ( x) 在区间 (2, ??) 为增函数,求 m 的取值范围; (III)在(II)的条件下,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有三个零点,求 m 的取值范围.



4第

2015 天津高考压轴卷 数学文科试卷答案
一、1-4 C B C B 二、9. [?1,0) 10. 5-8 C A D B
22 9

3

11. 108 ? 3? 12.

3 13.8 14. ?

三、15 (Ⅰ)解:4,6,6 (Ⅱ) (i)解:得分在区间 [20,30) 内的运动员编号为 A3 , A4 , A5 , A10 , A11 , A13 . 从中随机抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:

{A3 , A 4 },{A3 , A5 },{A3 , A10 },{A3 , A11},{A3 , A13},{A4 , A5 }, { A4 , A10 } , {A4 , A11},{A4 , A13 },{A5 , A10 },{A5 , A11},{A5 , A13},{A10 , A11},{A10 , A13},{A11 , A13} ,共 15 种。
(ii)解: “从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50” (记为事件 B) 的所有可能结果有: 共 5 种。 {A4 , A5 },{A4 , A10 },{A4 , A11},{A5 , A10 },{A10 , A11} , 所以 P( B) ?
5 1 ? . 15 3

16. 解:(I)由 cos A ?

1 2 , 0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 5
3 , 10

由 5(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 10ab 得? cos C ?

0 ? C ? ? ,? sin C ?

1 ,? cos 2C ? 2 cos 2 C ? 1 ? 4 , 10 5

∴ cos ? A ? C ? ? cos Acos C ? sin Asin C ? ∴ cos B ? ? cos ? A ? C ? ? ? (II)应用正弦定理
2 , 2

2 3 1 1 2 ? ? ? ? 2 5 10 5 10

∴ 0 ? B ? ? ,∴ B ? 135?

a c ? ,得 a ? 2c , sin A sin C
S? 1 1 2 1 ac sin B ? ? 2 ?1? ? 2 2 2 2

由条件 a ? c ? 2 ?1, 得 a ? 2, c ? 1

17.【解析】 (I) AD / / BC ? ?PAD 是 PA 与 BC 所成角 在 ?ADP 中, AD ? PD, AD ? BC ? 1, PD ? 2
页 5第

tan ?PAD ?

PD ? 2 异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2 AD

(II) AD ? PD, AD ? DC, PD DC ? D ? AD ? 面 PDC
AD ? 面 ABCD ? 平面 PDC ? 平面 ABCD (III)过点 P 作 PE ? CD 于点 E ,连接 BE 平面 PDC ? 平面 ABCD ? PE ? 面 ABCD ? ?PBE 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角
CD ? PD ? 2, PC ? 2 3 ? ?PDC ? 120? ? PE ? 3, DE ? 1

在 Rt ?BCE 中, BE ? BC2 ? CE2 ? 10 ? PB ? BE2 ? PE2 ? 13 在 Rt ?BPE 中, sin ?PBE ? PE ? 39 得:
PB 13

直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 18.

39 13

(1) n ? 2, S n ? 2n 2 ? n S n?1 ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) an ? 4n ? 1 (*)
n ? 1时

S1 ? a1 ? 3 满足(*)

? an ? 4n ? 1 ? an ? 4 log2 bn ? 3 ? 4n ? 1 log2 bn ? n ? 1 ? bn ? 2 n?1
(2)? an ? bn ? (4n ? 1)2n?1

?Tn ? 3 ? 20 ? 7 ? 21 ? 11? 22 ? ? ? (4n ? 1) ? 2n?1 2Tn ? 3 ? 21 ? 7 ? 22 ? ? ? (4n ? 5) ? 2n?1 ? (4n ? 1)2n ? Tn ? 3 ? 20 ? 4 ? 21 ? 4 ? 22 ? ? ? 4 ? 2n?1 ? (4n ? 1)2n
? 3 ? 4(21 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? (4n ? 1)2 n
? 3? 4 ? 2(1 ? 2 n ?1 ) ? (4n ? 1)2 n 1? 2

? 3 ? 2 n?2 ? 8 ? (4n ? 1)2 n ? (5 ? 4n)2 n ? 5 ?Tn ? (4n ? 5)2 n ? 5
19.(Ⅰ)解:设 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) ,因为 | PF2 |?| F1 F2 | ,

c ?c? c 所以 ( a ? c ) 2 ? b 2 ? 2c ,整理得 2 ? ? ? ? 1 ? 0, 得 ? ?1(舍) a ?a? a



2

c 1 1 ? , 所以e ? . a 2 2
6第

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 ,直线 FF2 的方程 为 y ? 3( x ? c).
2 2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12c , A , B 两点的坐标满足方程组 ? 消去 y 并整理,得 5x2 ? 8cx ? 0 。解得 ? ? y ? 3( x ? c).

8 ? 8 x2 ? c, ? x ? 0, ? x1 ? 0, x2 ? c ,得方程组的解 ? 1 5 ? ? ? 5 y ? ? 3 c , ? 1 ? y ? 3 3 c. ? ? 2 ? 5
2 2 ?8 3 3 ? ? 16 ?8 ? ?3 3 c , c 不妨设 A ? , ,所以 B (0, ? 3 c ) ? | AB |? ? c ? ? ? c ? 3c ? ? c. ?5 ? ? ? 5 5 ?5 ? ? 5 ? ? ?

于是 | MN |?

5 | ? 3 ? 3 ? 3c | 3|2?c| | AB |? 2c. 圆心 ?1, 3 到直线 PF2 的距离 d ? ? . 8 2 2
2

?

?

3 ? | MN | ? 2 2 2 因为 d ? ? ? ? 4 ,所以 4 (2 ? c) ? c ? 16. 2 ? ?
2

整理得 7c2 ? 12c ? 52 ? 0 ,得 c ? ? 所以椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1. 16 12

26 (舍) ,或 c ? 2. 7

20. (I)解: f ?( x) ? x2 ? (m ? 1) x 由 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,得 f ?(1) ? 1 ? (m ? 1) ? 0 , 所以 m ? 0 (适合题意) (II) f ?( x) ? x2 ? (m ? 1) x ,因为 f ( x) 在区间 (2, ??) 为增函数,所以

x2 ? (m ? 1) x ? x( x ? m ?1) ? 0 在区间 (2, ??) 恒成立,
所以 x ? m ? 1 ? 0 恒成立,即 m ? x ? 1 恒成立 由于 x ? 2 ,得 m ? 1 . m 的取值范围是 m ? 1 (III) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
1 3 m ?1 2 1 x ? x ? mx ? , 3 3 2

故 h?( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? m ? ( x ?1)( x ? m) ? 0 ,得 x ? m 或 x ? 1 当 m ? 1 时, h?( x) ? ( x ? 1)2 ? 0 , h( x) 在 R 上是增函数,显然不合题意 当 m ? 1 时, h( x) 、 h?( x) 随 x 的变化情况如下表:
页 7第

x

( ??, m)

m

( m,1)
?

1

(1, ??)

h( x )

+ ↗

0 极大值

0 极小值

+ ↗

h?( x)

1 1 1 ? m3 ? m 2 ? 6 2 3



m ?1 2

? 1 3 1 2 1 ? m ? m ? ?0 ? ?(m ? 1)(m2 ? 2m ? 2) ? 0 ? 6 2 3 要使 f ( x) ? g ( x) 有三个零点,故需 ? , ?? m ?1 m ?1 ? ? ?0 ? ? 2

解得 m ? 1 ? 3 .所以 m 的取值范围是 m ? 1 ? 3



8第


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