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新课标下高中数学函数的概念教学之我见


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 新课标下高中数学函数的概念教学之我见 作者:周玖 来源:《速读· 下旬》2014 年第 07 期 函数是整个中学乃至大学的一个重点内容。函数的思想贯穿了整个中学、大学,具有极其 广泛的应用价值。按目前的数学大纲,中学阶段主要学习了一次函数、二次函数、反比例函 数,三角函数形式等,其中二次函数在目前的教材中安排在初三,

也起了一种承上启下的作 用。对它们学习的好坏,直接关系着高中继续学习的难易程度问题,本文结合日常教学经验, 谈谈函数的发展以及教学中应注意的几个问题。 一、函数的发展 早在 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意 义,绝大部分函数是被当作曲线来研究的。1718 年约翰· 贝努利(BernoulliJohann,瑞,16671748)才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义:由任一变量和常数的任 一形式所构成的量,贝努利把变量 x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”,其在函数概念 中所说的任一形式,包括代数式子和超越式子。18 世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞,1707-1783) 就给出了非常形象的,一直沿用至今的函数符号 f(x)。欧拉给出的定义是:一个变量的函数 是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰· 贝努利给出的函数定 义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数(只有自变量间的代数运算)和超越函数(三 角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数),还考虑了“随意函数”(表示任意画出 曲线的函数)。 19 世纪,维布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定 义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数” 的极限,变量可以是数,也可以是其他对象(点、线、面、体、向量、矩阵等)。1930 年新 的现代函数定义为,若对集合 M 的任意元素 x,总有集合 N 确定的元素 y 与之对应,则称在 集合 M 上定义一个函数,记为 y = f(x).元素 x 称为自变元,元素 y 称为因变元。函数概念 的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意味着函数概念发 展的历史终结,20 世纪 40 年代,物理学研究的需要发现了一种叫做 Dirac - δ 函数,它只在一 点处不为零,而它在全直线上的积分却等于 1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议 的,但由于广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的 Dirac - δ 函数等概念统一了起来. 因此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继续扩展。 二、函数教学在中学数学中的现状分析 我们在初三时引入函数概念,要求学生掌握函数概念的形式化定义,用“变量”来描述函数 概念。高一时用“映射”来刻画函数概念。我国教材中函数概念引入方式为:实际例子(问题) →数学解答→从过程中提炼出函数概念.这种方式更注重函数概念引入的系统性,从两个阶段 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 入手,多层面,多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的 现代函数定义,所呈现的函数概念结构较系统和完整,有利于学生基础知识和基本技能的熟练 掌握,但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解,并且函数概念引入时间较晚,定义方式理论 性较强,比较抽象,不利于学生深入理解函数思想的实质,以及自身辩证思维能力的发展。在 函数

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