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2011届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之11


高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十一
第十一章 圆锥曲线 一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的 距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义: 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1)的 点的轨迹(其中定点不在定

直线上) ,即

| PF | ? e (0<e<1). d
第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x +y =a , c2: x +y =b , a, b∈R 且 a≠b。从原 点出发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两 条线的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义 可求得它的标准方程,若焦点在 x 轴上,列标准方程为
2 2 2 2 2 2 +

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0), a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a cos? ( ? 为参数) 。 ? y ? b sin ?

若焦点在 y 轴上,列标准方程为

y2 y2 ? ? 1 (a>b>0)。 a2 b2
3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别 为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为

x??

c a2 a2 2 2 2 , 与右焦点对应的准线为 x ? ; 定义中的比 e 称为离心率, e ? , c +b =a 且 由 a c c

知 0<e<1. 椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆

x2 y2 ? ? 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦 a2 b2

点。若 P(x, y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为

x0 x y 0 y ? 2 ? 1; a2 b

2)斜率为 k 的切线方程为 y ? kx ? a 2 k 2 ? b 2 ; 3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为

l?

2ab2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a sec? ( ? 为参数) 。 ? y ? b tan?

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为

y2 x2 ? ? 1。 a2 b2
8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a, b>0), a2 b2
a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、 右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、右准线方程分别为 x ? ?

a2 a2 ,x ? . 离心率 c c

c k x2 y2 2 2 2 e ? , 由 a +b =c 知 e>1 。 两 条 渐 近 线 方 程 为 y ? ? x , 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 与 a a a b

x2 y2 ? ? ?1 有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲 a2 b2
线。 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,F1(-c,0), F2(c, 0) a2 b2

是它的两个焦 点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点, 若 P 在右支上, 则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a;若 P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是

2ab2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点

F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐标为 (

p p ,0) ,准线方程为 x ? ? ,标准方程为 y2=2px(p>0),离心率 e=1. 2 2 p ; 2 2p 。 1 ? cos 2 ?

11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= x ?

2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为

12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为 O,从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴,这 样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点 P,记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ,则由(ρ ,θ )唯 一确定点 P 的位置, ,θ )称为极坐标。 (ρ 13. 圆锥曲线的统一定义: 到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P, 0<e<1, 若 则点 P 的轨迹为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨迹为抛 物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 ? ? 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。

ep 。 1 ? e cos ?

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,点 P 为椭圆上的动点,当 例 1 已知定点 A(2,1) 是椭圆 ,F 25 16
3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。 [解] 见图 11-1,由题设 a=5, b=4, c= 52 ? 42 =3, e ?

c 3 ? .椭圆左准线的方程为 a 5

x??

25 4 1 ? ? 1 ,所以点 A 在椭圆内部,又点 F 坐标为(-3,0) ,又因为 ,过 P 作 3 25 16
5 | PF | 3 ? e ? ,则 |PF|=|PQ|。 3 | PQ | 5

PQ 垂直于左准线,垂足为 Q。由定义知

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+

5 |PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM ? 左准线于 M)。 3

所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把 y=1 代入椭圆方程得

x??

5 15 5 15 ,又 x<0,所以点 P 坐标为 (? ,1) 4 4
x2 y2 ? ? 1 右支上两点, PP ' 延长线交右准线于 K,PF1 a2 b2

例 2 已知 P, P ' 为双曲线 C:

延长线交双曲线于 Q, 1 为右焦点) (F 。求证:∠ P ' F1K=∠KF1Q. [证明] 记右准线为 l, PD ? l 于 D,P ' E ? l 于 E, 作 因为 P' E //PD, 则

| PK | | P' K | ? , | PD | | P' E |

又由定义

| PF1 | | P' F1 | | PF1 | | PD | | PK | ,所以 ,由三角形外角平分线 ?e? ? ? | PD | | P' E | | P' F1 | | P' E | | P' K |

定理知,F1K 为∠PF1P 的外角平分线,所以∠ P' F1 K =∠KF1Q。 2.求轨迹问题。 例 3 已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。 [解法一] 利用定义,以椭圆的中心为原点 O,焦点所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系,

x2 y2 设椭圆方程: 2 ? 2 =1(a>b>0).F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为 F ' 。连结 AF ' ,OP, a b
则 OP //
?

1 1 AF ' 。所以|FP|+|PO|= (|FA|+|A F ' |)=a. 2 2 c ,0) 2

所以点 P 的轨迹是以 F,O 为两焦点的椭圆(因为 a>|FO|=c) ,将此椭圆按向量 m=(

平移,得到中心在原点的椭圆:

x2 y2 ? ? 1 。由平移公式知,所求椭圆的方程为 a2 b2 4 4

c 4( x ? ) 2 2 2 ? 4 y ? 1. a2 b2
[解法二] 相关点法。 设点 P(x,y), A(x1, y1), x ? 则

x1 ? c y , y ? 1 , x1=2x+c, y1=2y. 即 2 2

又因为点 A 在椭圆
2

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 上 , 所 以 12 ? 1 ? 1. 代 入 得 关 于 点 P 的 方 程 为 a2 b a b2

c? ? 4? x ? ? 4y2 2? ? c ? ? ? 2 ? 1 。它表示中心为 ? ? ,0 ? ,焦点分别为 F 和 O 的椭圆。 2 a b ? 2 ?
例 4 长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,C,D 四点共圆,求此 动圆圆心 P 的轨迹。 [解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点, B, D 的坐标分别为 A(xA, C, y-

a a ,0), B(x+ ,0), C(0, 2 2

b b ), D(0, y+ ), 记 O 为原点,由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|,用坐标表示为 2 2

a2 b2 a2 ? b2 2 2 2 . x ? ?y ? ,即 x ? y ? 4 4 4
2

当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x; 当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线; 当 a<b 时,轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。

例 5 在坐标平面内,∠AOB=

? ,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三角形 AOB 的外心的轨 3

迹方程。 [解] 设∠xOB=θ ,并且 B 在 A 的上方,则点 A,B 坐标分别为 B(3, 3tanθ ),A(3,3tan(θ -

? ?3 3 ? )),设外心为 P(x,y),由中点公式知 OB 中点为 M ? , tan? ? 。 3 ?2 2 ?
3? ? ?? ? ? tan? ? tan?? ? ? ?. 再由 PM ? OB 得 ? 2? 3 ?? ? ?

由外心性质知 y ?

3 y ? tan? 2 ×tanθ =-1。结合上式有 3 x? 2
tan(? ?


?

2?3 ? ) ?tanθ = ? ? x ?. 3 3?2 ?



tanθ + tan(? ?

?
3

)=

2 y. 3





3 ? tan

?

? ? ? ?? ? tan?? ? ?? ? ??. 3 3 ?? ? ?

所 以 tan θ - tan(? ?

?

? ? ?? ? ) = 3 ?1 ? tan? ? tan?? ? ?? 两 边 平 方 , 再 将 ① , ② 代 入 得 3 3 ?? ? ?

( x ? 4) 2 y 2 ? ? 1 。即为所求。 4 12
3.定值问题。

x2 y2 例 6 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2 ? x 轴, 交双曲线于 B1, 2 两点, B a b
B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为定值。 [证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα ,btanα ), (x0, 0), (c, 0),则 F1,B1,B2 的坐标分别为(-c, 0), (c, ? 的交点,所以

b2 b2 ), (c, ),因为 F1,H 分别是直线 B2F,BB1 与 x 轴 a a

c?

ab ab ? ac sin ? , x0 ? . 2a sin ? ? b cos ? a sin ? ? b cos ?



所以

cx0 ?

a 2 b(b ? c sin ? ) 2a 2 sin 2 ? ? absin ? cos? ? b 2 cos2 ?

?

a 2 b(b ? c sin ? ) a 2 sin 2 ? ? ab sin ? cos? ? b 2 ? c 2 sin 2 ?

?

a 2 b(b ? c sin ? ) 。 a sin ? (a sin ? ? b cos? ) ? (c sin ? ? b)(c sin ? ? b)
a(b ? c sin ? ) , x0

由①得 a sin ? ? b cos? ?

代入上式得 cx0 ?

a 2b a 2 sin ? (c sin ? ? b) x0

,



x??

a2 (定值) 。 c

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 2 例 7 设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在 准线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定点。 [证明] 设 A? ?

? y12 ? ? y2 ? ? p ? ?p ? , y1 ?, B? 2 , y 2 ? , 则 C ? ? , y 2 ? , 焦 点 为 F ? ,0 ? , 所 以 ? ? 2p ? ? 2 ? ?2 ? ? 2p ? ? ?

OA ? (

? y2 p ? y12 y2 p ? p ? , y1 ) , OC ? ? ? , y 2 ? , FA ? ( 1 ? , y1 ) , FB ? ? 2 ? , y 2 ? 。由于 ? 2p 2 ? 2p 2p 2 ? 2 ? ? ?

2 ?y y y12 y2 p p p? ?y2- y 2 ? y1 ? y1=0 , 即 ( y1 ? y 2 )? 1 2 ? ? =0 。 因 为 FA// FB , 所 以 ? 2p 2 2p 2 2p 2? ? ?

y1 ? y2 ,所以

?y y y1 y 2 p y2 p? ? p? ? ? 0 。所以 ? 1 2 ? ? y1 ? 0 ,即 1 y 2 ? ? ? ? y1 ? 0 。 ? 2p 2p 2 2p 2? ? 2? ? ?

所以 OA// OC ,即直线 AC 经过原点。 例 8 椭圆 为定值。 [证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ ,∠xOB=

x2 y2 1 1 ? 2 ? 1 上有两点 A,B,满足 OA ? OB,O 为原点,求证: ? 2 2 a b | OA | | OB | 2

?
2

? ? ,则点 A,B 的坐标分别为 A(r1cos

θ , r1sinθ ),B(-r2sinθ ,r2cosθ )。由 A,B 在椭圆上有

r12 cos2 ? r12 sin 2 ? r 2 sin 2 ? r22 cos2 ? ? ? 1, 2 2 ? ? 1. a2 b2 a b2



1 cos2 ? sin 2 ? ? ? r12 a2 b2 1 sin 2 ? cos2 ? ? ? . r22 a2 b2




①+②得

1 1 1 1 。 ? ? 2 ? 2 (定值) 2 2 | OA | | OB | a b

4.最值问题。 2 2 例 9 设 A,B 是椭圆 x +3y =1 上的两个动点,且 OA ? OB(O 为原点) ,求|AB|的最大值与 最小值。 [解] 由题设 a=1,b=

r 1 1 3 ,记|OA|=r1,|OB|=r2, 1 ? t ,参考例 8 可得 2 ? 2 =4。设 3 r1 r2 r2

m=|AB| = r1 ? r2 ?
2

2

2

1 2 1 1 1 1 (r1 ? r22 )( 2 ? 2 ) ? (2 ? t 2 ? 2 ) , 4 4 r1 r2 t

因为

1 1 1 1 cos2 ? sin 2 ? 1 a2 ? b2 ? ? ? 2 ? 2 2 sin 2 ? ,且 a2>b2,所以 2 ? 2 ? 2 ,所以 2 2 2 a r1 b r1 a b a a b
b a 1 ?b2 ? t ? 。又函数 f(x)=x+ 在 ? 2 a b x ?a

b?r1?a,同理 b?r2?a.所以

? ,1? 上单调递减,在 ?

? a2 ? b a ?1, 2 ? 上单调递增,所以当 t=1 即|OA|=|OB|时,|AB|取最小值 1;当 t ? 或 时,|AB| a b ? b ?
取最大值

2 3 。 3
3 2 3 2 ,若圆 C: x ? ( y ? ) ? 1 2 2

例 10 设一椭圆中心为原点,长轴在 x 轴上,离心率为

上点与这椭圆上点的最大距离为 1? 7 ,试求这个椭圆的方程。 [解] 设 A,B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为 ? 0, ? ,半径|CA|=1,因 为|AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当 A,B,C 共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最 大值 1? 7 ,所以|BC|最大值为 7 . 因为 e ?

? ?

3? 2?

3 ;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t, 3t ,t,椭圆方程为 2

x2 y2 ? 2 ? 1 , 并 设 点 B 坐 标 为 B(2tcos θ ,tsin θ ) , 则 |BC|2=(2tcos 4t 2 t
θ ) + ? t sin ? ?
2

? ?

9 1 2 3? 2 2 2 2 ? =3t sin θ -3tsinθ + +4t =-3(tsinθ + ) +3+4t . 4 2 2?

2

1 9 2 2 ,则当 sinθ =-1 时,|BC| 取最大值 t +3t+ ? 7 ,与题设不符。 4 2 1 1 2 2 2 若 t> ,则当 sinθ = ? 时,|BC| 取最大值 3+4t ,由 3+4t =7 得 t=1. 2 2t
若t ? 所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1。 4

5.直线与二次曲线。 2 例 11 若抛物线 y=ax -1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。 2 [解] 抛物线 y=ax -1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关于直线 x+y=0 对称两点的
2 条件是存在一对点 P(x1,y1), P ' (-y1,-x1),满足 y1=a x1 ? 1 且-x1=a(-y1) -1,相减得
2

1 . a 1 1 3 2 所以 ay1 ? y1 ? ? 1 ? 0. 此方程有不等实根,所以 ? ? 1 ? 4a ( ? 1) ? 0 ,求得 a ? , a a 4
x1+y1=a( x1 ? y1 ),因为 P 不在直线 x+y=0 上, 所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1), x1=y1+ 即
2 2

即为所求。 例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆 求 b 的值。 [ 解 ] 二 方 程 联 立 得 17x +16bx+4(b -1)=0. 由 Δ >0 , 得 ? 17 <b< 17 ; 设 两 交 点 为
2 2

x2 ? y 2 ? 1 相交, 求 b 的范围; 当截得弦长最大时, (1) (2) 4

P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得|PQ|= 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

5?

4 17 ? b 2 。所以当 b=0 17

时,|PQ|最大。 三、基础训练题 1.A 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点,B 为⊙O 上任一点,点 P 是 A 关于 B 的对称点,则点 P 的轨迹是________. 2 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m (>0),则动点的轨迹是________. 3. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有一点 P, 它到左准线的距离是 10, 它到右焦点的距离是________. 100 36

4.双曲线方程

x2 y2 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是________. | k | ?2 5 ? k

5.椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,焦点为 F1,F2,椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=600,则Δ F1PF2 的面积是 100 64

________. 6. 直线 l 被双曲线

x2 ? y 2 ? 1 所截的线段 MN 恰被点 A 3, 平分, l 的方程为________. ( -1) 则 4
2

7.Δ ABC 的三个顶点都在抛物线 y =32x 上,点 A(2,8) ,且Δ ABC 的重心与这条抛物线 的焦点重合,则直线 BC 的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0,一条准线方程为 5y+4=0, 则双曲线方程为________. 2 9.已知曲线 y =ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交 0 点的直线的倾斜角为 45 ,那么 a=________. 10.P 为等轴双曲线 x -y =a 上一点,
2 2 2

| PF1 | ? | PF2 | 的取值范围是________. | PO |

x2 y2 x2 y2 11.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有公共的焦点 F1,F2,设 P 是它们的一个 a1 b1 a 2 b2
焦点,求∠F1PF2 和Δ PF1F2 的面积。 12.已知(i)半圆的直径 AB 长为 2r; (ii)半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为

r ); (iii)半圆上有相异两点 M,N,它们与直线 l 的距离|MP|,|NQ| 2 | MP | | NQ | ? ? 1. 求证:|AM|+|AN|=|AB|。 满足 AM AN
T,设|AT|=2a(2a< 13.给定双曲线 x ?
2

y2 ? 1. 过点 A(2,1)的直线 l 与所给的双曲线交于点 P1 和 P2,求 2

线段 P1P2 的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题 1.双曲线与椭圆 x +4y =64 共焦点,它的一条渐近线方程是 x ? 3 y =0,则此双曲线的标
2 2

准方程是_________. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 在抛物线准线上的射影分别 是 A1,B1,则∠A1FB1=_________. 3.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任一点,以|PF1|为 a2 b2
1 ,一条准线方程为 x=11,椭圆上有一点 M 横坐标为 3

直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________. 4.椭圆的中心在原点,离心率 e ?

-1,M 到此准线异侧的焦点 F1 的距离为_________. 5.4a +b =1 是直线 y=2x+1 与椭圆
2 2

x2 y2 ? ? 1 恰有一个公共点的_________条件. a2 b2

2 ? ? x ? m ? 2t 6.若参数方程 ? (t 为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条 ? y ? 2m ? 2 2t ?

直线的方程是_________. 7.如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 _________.

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,则 m 的范围是 5 m

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,且被双曲线截得线段长为 6 的直线有_________条. 8.过双曲线 9 6
9.过坐标原点的直线 l 与椭圆

( x ? 3) 2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆 6 2

恰好通过椭圆的右焦点 F,则直线 l 的倾斜角为_________. 2 2 2 2 10.以椭圆 x +a y =a (a>1)的一个顶点 C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三 角形 ABC,这样的三角形最多可作_________个. 11.求椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任一点的两条焦半径夹角θ 的正弦的最大值。 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 的左焦点和中心,对于过点 F 的椭圆的任意弦 AB, a2 b2

12.设 F,O 分别为椭圆

点 O 都在以 AB 为直径的圆内,求椭圆离心率 e 的取值范围。 13.已知双曲线 C1:

x2 y2 ? 2 ? 1 (a>0),抛物线 C2 的顶点在原点 O,C2 的焦点是 C1 的左 a 2 2a

焦点 F1。 (1)求证:C1,C2 总有两个不同的交点。 (2)问:是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB,使Δ AOB 的面积有最大值或最小值?若存在, 求直线 AB 的方程与 SΔ AOB 的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1.在平面直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的曲线为椭圆,则 m 的取 值范围是_________. 2.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,Δ OPQ 面积 为_________.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 3.给定椭圆 a ,如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 OP ? OQ,
则离心率 e 的取值范围是_________.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 4.设 F1,F2 分别是双曲线 a (a>b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的动点,过
F1 作∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则 M 的轨迹为_________.

1 5.Δ ABC 一边的两顶点坐标为 B(0, 2 )和 C(0, ? 2 ) ,另两边斜率的乘积为 2 , ?
若点 T 坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________. 6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x2 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最 短距离等于_________. 7.已知抛物线 y2=2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M 是抛物线上的点,设直 线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1,M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点, 此定点坐标为_________.

x2 y2 a 2 ? 2b 2 ? 2 ?1 2 3 b 8.已知点 P(1,2)既在椭圆 a 内部(含边界) ,又在圆 x2+y2= 外部
(含边界) ,若 a,b∈R+,则 a+b 的最小值为_________.

x2 y2 ? ?1 3 9.已知椭圆 4 的内接Δ ABC 的边 AB,AC 分别过左、右焦点 F1,F2,椭圆的左、
右顶点分别为 D,E,直线 DB 与直线 CE 交于点 P,当点 A 在椭圆上变动时,试求点 P 的轨 迹。

x2 ? y2 ? 1 2 10.设曲线 C1: a (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方有一个公共点 P。
(1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ;

1 (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 2 时,试求Δ OAP 面积的最大值
(用 a 表示) 。 11.已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1,0) 和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G,求证:∠GAC=∠EAC。 2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为 1 的闭折线,它的每个顶 点坐标都是有理数。 3.以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与Δ AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1),在 AB0 的延长线上任取 点 P0, B0 为圆心, 以 B0P0 为半径作圆弧

P0 Q0 交 C1B0 的延长线于 Q0; C1 为圆心, 以 C1Q0

为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1;B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的 延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 点

P0' ,交 AB0 的延长线于 P' 0 。求证: (1)

P' 0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0; (2)P0,Q0,P1,Q1 共圆。

4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角(即发射方向与 x 轴正向之

? 间 的夹角)α (α ∈[0,π ],α ≠ 2 )射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所

有这些抛物线组成一个抛物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这 个交点为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的 方程(确定变量取值范围) 。 5.直角Δ ABC 斜边为 AB,内切圆切 BC,CA,AB 分别于 D,E,F 点,AD 交内切圆于 P 点。 若 CP ? BP,求证:PD=AE+AP。 6.已知 BC ? CD,点 A 为 BD 中点,点 Q 在 BC 上,AC=CQ,又在 BQ 上找一点 R,使 BR=2RQ, CQ 上找一点 S,使 QS=RQ,求证:∠ASB=2∠DRC。 答案: 基础训练题 1.圆。设 AO 交圆于另一点 A' , A' ' 是 A 关于 A' 的对称点。则因为 AB ? BA' , AP ? A' ' P , 所以 P 在以 AA ' ' 为直径的圆上。 2 . 圆 或 椭 圆 。 设 给 定 直 线 为 y= ± kx(k>0),P(x,y) 为 轨 迹 上 任 一 点 , 则

? | kx ? y | ? ? | ?kx ? y | ? ? ? ?? ? ? m2 ? ? ? 2 2 ? ? k ?1 ? ? 1? k ? 。化简为 2k2x2+2y2=m2(1+k2).
当 k≠1 时,表示椭圆;当 k=1 时,表示圆。

2

2

8 3.12.由题设 a=10,b=6,c=8,从而 P 到左焦点距离为 10e=10× 10 =8,所以 P 到右焦点的
距离为 20-8=12。 4.-2<k<2 或 k<5.由(|k|-2)(5-k)<0 解得 k>5 或-2<k<2.

64 3 . 5. 3 设 两 条 焦 半 径 分 别 为 m,n , 则 因 为 |F1F2|=12,m+n=20. 由 余 弦 定 理 得
mn ?
122=m2+n2-2mncos600, 即 (m+n) 2-3mn=144. 所 以

2 3

5

6


S ?PF F ?
1 2

1 3 64 3 m n? ? . 2 2 3

2 x12 x2 2 2 ? y1 ? 1, ? y 2 ? 1. 4 6 . 3x+4y-5=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2) , 则 4 两式相减得

( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) 4

-(y1+y2)(y1-y2)=0.



x1 ? x2 y ? y2 ? 3, 1 ? ?1 2 2





y 2 ? y1 3 3 ?? ? 4 。故方程 y+1= 4 (x-3). x2 ? x1

y1 ? y 2 ? 8 3 7.-4.设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 =0,所以 y1+y2=-8,故直线 BC 的斜率为

y 2 ? y1 y 2 ? y1 32 ? 2 ? ? ?4. 2 x 2 ? x1 y 2 y1 y1 ? y 2 ? 32 32

?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ( y ? 1) 2 ( x ? 2) 2 ? ? 9 16 =1。由渐近线交点为双曲线中心,解方程组 ?3x ? 4 y ? 10 ? 0 得 8.
y??
中心为(2,1), 又准线为

4 ( y ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ? 2 5, b 2 =1。 知其实轴平行于 y 轴, 设其方程为 a

y ?1 x ?1 a a 3 ? ? ? a b =0。所以 y-1= b (x-1).由题设 b 4 ,将双曲线沿向量 其渐近线方程为
y2 x2 ? a2 b2

m=(-2,-1)平移后中心在原点,其标准方程为

? x' ? x ? 2, ? y' ? y ? 1 平移后 =1。由平移公式 ?

y??
准线为

a 3 9 a2 ? ? 5 c , 再 结 合 b 4 , 解 得 a2=9 , b2=16 , 故 双 曲 线 为

( y ? 1) 2 ( x ? 2) 2 ? 9 16 =1。
9.2.曲线 y2=ax 关于点(1,1)的对称曲线为(2-y)2=a(2-x),



? 2 ? y ? ax, ? ?(2 ? y ) 2 ? a(2 ? x) ?

k?
得 y2-2y+2-a=0,故 y1+y2=2,从而

y1 ? y 2 x1 ? x2 =

a( y1 ? y 2 ) a a ? ? 2 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 2 =1,所以 a=2.
| PF1 | ? | PF2 | ?t | PO | 10. (2, 2 2 ]。设 P(x1,y1)及 ,由|PF1|=ex1+a
2 2 x1
,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以

2x ? a
2 1

2

?t

a 2t 2 x ? 2 2 2 2t ? 8 。因 x1 ? a , ,即
2 1

a 2t 2 t2 ?1 ? a 2 (a ? 0) 2 2 所以 2t ? 8 ,所以 2t ? 8 即 2<t?2 2 .
11.解: 由对称性, 不妨设点 P 在第一象限, 由题设|F1F2|2=4 (a1 ? b1 ) ? 4(a2 ? b2 ) =4c2,
2 2 2 2

又根据椭圆与双曲线定义

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a1 , ? ? ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a 2 , ? 解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
在Δ F1PF2 中,由余弦定理

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 cos?F1 PF2 ? 2 | PF1 | ? | PF2 | ? (a1 ? a2 ) 2 ? (a1 ? a2 ) 2 ? (2c) 2 2(a1 ? a2 )(a1 ? a2 )
2 2 (a12 ? c 2 ) ? (c 2 ? a2 ) b12 ? b2 ? 2 . 2 2 a12 ? a2 b1 ? b2

?

2 b 2 ? b2 ?F1 PF2 ? arccos 12 . 2 b1 ? b2 从而

1 ? cos2 ?F1 PF2 ?
又 sin∠F1PF2=

2b1 b2 , 2 b12 ? b2

所以

S ?F

1

PF2

?

1 | PF1 | ? | PF2 | sin ?F1 PF2 ? b1 b2 . 2

12.解:以直线 AB 为 x 轴,AT 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则由定义知 M,N 两点既 在抛物线 y2=4ax 上, 又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2 上, 两方程联立得 x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0, 设 点 M , N 坐 标 分 别 为 (x1,y1),(x2,y2) , 则 x1+x2=2r-2a. 又 |AM|=|MP|=x1+a , |AN|=|NP|=x2+a. |AB|=2r,所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。 13.解:若直线 l 垂直于 x 轴,因其过点 A(2,1),根据对称性,P1P2 的中点为(2,0) 。 若 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k. ① 将①代入双曲线方程消元 y 得 (2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0. ② 这里 k ? ? 2 且Δ =[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)>0, 设 x1,x2 是方程②的两根,由韦达定理

x1 ? x 2 ? ?
由①,③得

2k (2k ? 1) 2k (2k ? 1) ? . 2?k2 k2 ?2



y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)

4( 2k ? 1) . 2 =k(x1+x2)+2(1-2k)= k ? 2



设 P1P2 的中点 P 坐标(x,y),由中点公式及③,④得

x?

x1 ? x2 k (2k ? 1) y ? y 2 2(2k ? 1) ? 2 ,y ? 1 ? 2 , 2 2 k ?2 k ?2

消去 k 得

1 ( y ? )2 ( x ? 1) 2 ? 1. ? 7 7 8 4
2

点(2,0)满足此方程,故这就是点 P 的轨迹方程。 高考水平测试题

x2 y2 x2 y2 ? ? 1. ? 2 ?1 2 b 1. 36 12 由椭圆方程得焦点为 (?4 3,0) ,设双曲线方程 a ,渐近线为
y??

b 1 b ? x. 3 ,所以 a2=3b2,又 c ? 4 3 ,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36. a 由题设 a

2. 900。见图 1,由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1,∠2=∠AFA1,又∠1= ∠3,∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。 3.相切,若 P(x,y)在左支上,设 F1 为左焦点,F2 为右焦点,M 为 PF1 中点,则

1 1 |MO|= 2 |PF2|= 2 (a-ex) , 又 |PF1|=-a-ex , 所 以 两 圆 半 径 之 和 1 1 2 (-a-ex)+a= 2 (a-ex)=|MO|,所以两圆外切。当 P(x,y)在右支上时,同理得两圆内切。 10 . 4. 3 与 F1 对应的另一条准线为 x=-11,因|MF1|与 M 到直线 x=-11 距离 d1 之比为 e,且

| MF1 | 1 10 . ? 3 ,所以|MF1|= 3 d1=|xm+11|=10.所以 10
5.充要。将 y=2x+1 代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. ① 若Δ =(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0,则直线与椭圆仅有一个公共点,即 b2+4a2=1;反 之,4a2+b2=1,直线与椭圆有一个公共点。

? x ? m ? 1, ? y ? 2m, 它在直线 y=2(x-1)上。 6.y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2=4(x-m),焦点为 ?
?
7.1?m<5。直线过定点(0,1),所以 0

1 m ?1.又因为焦点在 x 轴上,所以 5>m,所以 1?

m<5。 8.3.双曲线实轴长为 6,通径为 4,故线段端点在异支上一条,在同支上有二条,一共有 三条。

? 5 ? 9. 6 或 6 。设直线 l: y=kx 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx 代入椭圆方程得
(1+3k2)x2-6x+3=0,由韦达定理得

x1 ? x 2 ?

6 , 1 ? 3k 2



x1 x 2 ?

3 . 1 ? 3k 2



因 F(1,0) ,AF ? BF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即 x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. ③

? 5 1 3 ?. k2 ? ,k ? ? 3 3 ,所以倾斜角为 6 或 6 把①,②代入③得
10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设 A,B 分别位于 y 轴左、右两侧,设 CA 斜率为 k(k>0),CA 的直线方程为 y=kx+1,代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0,得 x=0 或

2a 2 k x? 2 2 a k ?1

A(?
,于是

2a 2 k 2a 2 k 1 ? k 2 ,0) . a 2 k 2 ? 1 ,|CA|= a 2 k 2 ? 1

2a 2 k 1 ? k 2 2 2 由题设,同理可得|CB|= a k ? 1 ,利用|CA|=|CB|可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0, 解得 k=1 或 k2-(a2-1)k+1]=0。① 对于①,当 1<a< 3 时,①无解;当 a ?

3 时,k=1;当 a> 3 时,①有两个不等实根,

故最多有 3 个。 11.解 设焦点为 F1,F2,椭圆上任一点为 P(x0,y0),∠F1PF2=θ ,根据余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosθ , 又 |PF1|+|PF2|=2a , 则 4c2=(2a)2-2|PF1|?|PF2|(1+cos θ ), 再 将 |PF1|=a+ex0 , |PF2|=a-ex0 及 a2=b2+c2 代入得 4b2=2(a2-e2
2 x0 )(1+cosθ ).

cos? ?
于是有

2b 2 ? 1. 2 a 2 ? e 2 x0

2b 2 ? a 2 ? cos? ? 1 2 2 ? x0 ? a 2 ,得 b 2 ? a 2 ? e 2 x0 ? a 2 ,所以 a 2 由0 。因θ ∈[0,π ],

? 2b 2 ? a 2 ? ? ?. ? ? ? arccos ? a2 ? ? ? 所以 cosθ 为减函数,故 0

2b 2 ? a 2 2b 2 ? a 2 ? ? ?0 ? ,? ? [0, ] 2 2 2 2 ,sinθ 为增 a a 当 2b2>a2 即 a ? 2b 时, ,arccos
? ? 2b 2 ? a 2 ? sin ?arccos ? a2 ? ? 函 数 , sin θ 取 最 大 值 ?? 2bc ?? ? 2 ? ?? a ; 当 2b2 ? a2 时 ,

2b 2 ? a 2 ? ? 2 ,θ ∈[0,π ],则 sinθ 最大值为 1。 a2 arccos
12.解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB 斜率不为 0,设为 k,直线 AB 方程为 y=k(x+c),代 入椭圆方程并化简得 (b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. ① 则 x1,x2 为方程①的两根,由韦达定理得

x1 ? x 2 ? ?

2a 2 k 2 c , b2 ? a2k 2



x1 x 2 ?

a 2 (k 2 c 2 ? b 2 ) . b2 ? a2k 2



因为 y1y2=k2(x1+c)(x2+c),再由②,③得

y1 y 2 ?

? b2k 2 . a2k 2 ? b2

k 2 (a 2 c 2 ? b 4 ) ? a 2 b 2 a2k 2 ? b2 所以 OA? OB =x1x2+y1y2= ,O 点在以 AB 为直径的圆内,等价

OA? OB <0, k2(a2c2-b4)-a2b2<0 对任意 k∈R 成立, 即 等价于 a2c2-b2?0,即 ac-b2?0,
5 ?1 . 即 e2+e-1?0.所以 0<e? 2
b2 ? c. e ? 若斜率不存在,问题等价于 a 即
13.解 (1)由双曲线方程得 b ? 线的距离 p ? 2 3a ,抛物线

5 ?1 5 ?1 0?e? . 2 ,综上 2

2a, c ? 3a ,所以 F1( ? 3a ,0),抛物线焦点到准

y 2 ? ?4 3ax.
把①代入 C1 方程得



2x 2 ? 4 3ax ? 2a 2 ? 0.



Δ =64a2>0,所以方程②必有两个不同实根,设为 x1,x2,由韦达定理得 x1x2=-a2<0,所以

y ? ?2 ? 3ax1 ②必有一个负根设为 x1,把 x1 代入①得 y2= ? 4 3ax1 ,所以 (因为 x1
≠0) ,所以 C1,C2 总有两个不同交点。

( 2 ) 设 过 F1( ? 3a ,0) 的 直 线 AB 为 my=(x+

? y 2 ? ?4 3ax, ? ? 3 a), 由 ?m y ? x ? 3a 得 ?

y2+4 3 may-12a2=0,因为Δ =48m2a2+48a2>0,设 y1,y2 分别为 A,B 的纵坐标,则 y1+y2=

4 3ma

,y1y2=-12a2.





(y1-y2)2=48a2(m2+1).





S

Δ

1 3 2 2 2 2 AOB= 2 |y1-y2|?|OF1|= 2 a? 4 3 a? m ? 1 ? 6a m ? 1 ? 6a , 当且仅当 m=0 时, S
Δ AOB 的面积取最小值;当 m→+∞时,SΔ AOB→+∞,无最大值。所以存在过 F 的直线 x= ? 3a 使Δ AOB 面积有最小值 6a2. 联赛一试水平训练题

x 2 ? ( y ? 1) 2 x ? 2y ? 3
1.m>5.由已知得

?

5 m
,说明(x,y)到定点(0,-1)与到定直线 x-2y+3=0

12 ? (?2) 2

5 5 的距离比为常数 m ,由椭圆定义 m <1,所以 m>5.
2a 2a 4a ? ? 2 b=|PQ|=|PF|+|QF|= 1 ? cos? 1 ? cos(? ? ? ) sin ?

2. a ab. 因 为

, 所 以

s i? n? 2

a 1 b 。所以 SΔ OPQ= 2 absinθ = a ab .

? 5 ?1 ? ,1? ? ? 2 ? 。设点 P 坐标为(r1cosθ ,r1sinθ ),点 Q 坐标为(-r2sinθ ,r2cosθ ),因为 3. ? r1 r2 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 r12 r2 a b ,RtΔ OPQ 斜边上的高为 r1 ? r2 P,Q 在椭圆上,可得 ab a ? b2
2

5 ?1 ?|OF|=c. 所以 a2b2?c2(a2+b2),解得 2 ?e<1.
OM //
4.以 O 为圆心,a 为半径的圆。延长 F1M 交 PF2 延长线于 N,则 |F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a,所以|OM|=a.
?

1 2 F2N,而

1 5.t∈(0,1]时|AT|min= 2 ? t ,t>1 时|AT|min=|t-2|.由题设 kAB?kAC=- 2 ,设 A(x,y),
2

x2 y2 y? 2 y? 2 1 ? ? ? 2 =1(x ≠ 0) , 所 以 x x 2 (x ≠ 0) , 整 理 得 4 则
? x2 ? 1 ?2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? |AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+ ? (x-2t)2+2-t2.因为|x|?2,所以当 t∈(0,1]时
取 x=2t,|AT|取最小值 2 ? t 。当 t>1 时,取 x=2,|AT|取最小值|t-2|.
2

1 1 l2 x0 ? cos ? , y 0 ? sin ? . 2 2 6. 4 设点 M(x0,y0) ,直线 AB 倾斜角为θ ,并设 A(x0), 1 1 cos ? , y 0 ? sin ? 2 B(x0+ 2 ),因为 A,B 在抛物线上,所以 1 1 y 0 ? sin ? ? ( x0 ? cos ? ) 2 , 2 2 1 1 y 0 ? sin ? ? ( x0 ? cos ? ) 2 , 2 2
由①,②得



② ③

2x0cosθ =sinθ .

所以

1 1 1 1 1 y0 ? ( x0 ? cos? ) 2 ? sin ? ? ( 2 ? l 2 cos2 ? ) ? . 2 2 4 cos ? 4

1 2 ?l x 因为 l2<1,所以函数 f(x)= x .在(0,1]在递减,

所以

y0 ?

1 1 l2 l2 (1 ? l 2 ) ? ? . 4 4 4 。当 cosθ =1 即 l 平行于 x 轴时,距离取最小值 4

2 ? y0 ? ? y2 ? 2 pa ? ? ?, M 1 ? 1 , y1 M , y0 ? ? a, ?. ? 2p b ? 设 ? 2p ? ? ? 7. ?

? ? y2 ? ?, M 2 ? 2 , y 2 ? ? ? 2p ? ? ? ? , 由 A , M , M1 共 线 得

by0 ? 2 pa 2 pa y2 ? y 0 ? b ,设(x,y)是直线 M1M2 上的点,则 y1= y 0 ? b ,同理 B,M,M2 共线得
y1y2=y(y1+y2)-2px,将以上三式中消去 y1,y2 得 y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.

? 2 pa ? 2 pa ? a, ?. b ? 当 x=a,y= b 时上式恒成立,即定点为 ?

1 4 ? 2 ?1 2 b 8. 3 ? 6 。由题设 a 且 a2+2b2?15,解得 5?b2?6.

t?4 b2 t?4 ? t?4 ?b ? ? t?4 2 t t 所以 a+b? b ? 4 (t=b2-4∈[1,2]),而

? 6 ? 3 ? t?4 ? 6 ? 3?
得上式成立。

t?4 t ?2 2(t ? 2) ? ? t t?4 ? 6 3t ? t (t ? 4) ,又 t?2 可

9.解 设 A(2cosθ , 3 sin ? ), B(2cosα , 3 sinα ),C(2cosβ , 3 sinβ ),这里α ≠

3 (sin? ? sin ? ) ( x ? 2 cos? ) ? 3 sin ? ? y β ,则过 A,B 的直线为 lAB: 2(cos? ? cos? ) ,由于直线
AB 过点 F1(-1,0),代入有 3 (sinθ -sinα )?(1+2cosθ )=2 3 sinθ (cosθ -cosα ),即

sin
2sin( α θ )=sin θ -sin α =2

? ??
2 ?0
,即 ?

cos

? ??
2
, 故

2 cos

? ??
2

? cos

? ??
2

? 3 cos

?
2

cos

?
2

? sin

?
2

sin

?
2

tan

?
2?

tan

?
2

? ?3
。又

3 sin ? 3 ? y? ( x ? 2) ? tan 2(1 ? cos? ) 2 2 lBD:
tan

?
?(x+2)=

3 3 2 tan

?
2

( x ? 2)
, 同 理 得

?
2

? tan

?
2

??

3 sin ? 1 y? 2(cos? ? 1) (x-2)= 3 。lCE:

3 ( x ? 2) 3 3 ? 2 ? ? tan ? 2 2 tan 2 ?(x-2).

?? ? 2 ? ? 2 tan 2 ? 2 ? 6 3 tan 2 ? , ? ? ? 2 ? ? tan ? 1 tan2 ? ? 1 ? tan ? ,消去 2 得点 P(x,y)在 2 2 ? ? 两直线方程联立,得 P 点坐标为 ?
x2 y2 ? ?1 27 椭圆 4 上(除去点(-2,0),(2,0)).

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, ?a ? y 2 ? 2( x ? m) 10.解 (1) ? 由 消去 y 得 x2+2a2x+2a2m-a2=0,①设 f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2,
问题(1)转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况:

m?
10.Δ =0,得

a2 ?1 2
,此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a 即 0<a<1 时适合;20。

f(a)?f(-a)<0,当且仅当-a<m<a 时适合;30。f(-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a2,当且仅当 -a<a-2a2<a 即 0<a<1 时适合。令 f(a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2.由于-a-2a2<-a,从而 m

m?
≠-a.综上当 0<a<1 时,

a2 ?1 2 或-a<m?a;当 a?1 时,-a<m<a.

S?
(2)Δ OAP 的面积

1 1 ay p . 2 2 因为 0<a< 2 ,故当-a<m?a 时, 0<-a2+ a a ? 1 ? 2m ? a ,由
xp ? 1? x2 p a 2 时取值最大,

唯一性得 xp=-a2+.当 m=a 时,xp 取最小值。由于 xp>0,从而

此时

xp ? 2 a ? a

2

,故

S ? a a?a

2

m?
;当

a2 ?1 2 2 时,xp=-a2,yp= 1 ? a ,此时

S?

1 1 1 2 a 1? a2 . a a ? a2 ? a 1? a2 a a ? a2 2 a 1? a 2 2 以下比较 与 的大小。令 , 1 1 1 1 a a (1 ? a ) ? a 1 ? a 2 Smax ? a 1 ? a 2 3 ,故当 0<a? 3 时, 2 2 ,此时 ;当

a?


1 1 1 ?a? a 1? a2 S ? a a ? a2 . 3 2 时,有 a a(1 ? a) ? 2 ,此时 max
? x ? 1 y2 ? A2 ? 2 ? 2 , 2 ? ? ? 11. 设 A, 关于 l 的对称点分别为 A1(x2,y2),B1(x1,y1), AA1 中点 ? 解: B 则
在 l 上, 所以 y2=k(x2-1) ① 又 l ? AA1,所以

y2 1 ?? . k x2 ? 1
由①,②得



? k 2 ?1 x2 ? 2 , ? ? k ?1 ? ? y ? ? 2k . ? 2 k 2 ?1 ? 16k ? ? x1 ? 1 ? k 2 , ? ? 2 ? x 8 ? y1 ? ? y ? 8(k ? 1) . ? B2 ? ? 1 , ? 2 1 2 ? ? 在 l 上,且 l ? BB1,解得 ? 1? k 2 ? 同理,由 BB1 中点 ?
设抛物线方程为 y2=2px,将 A1,B1 坐标代入并消去 p 得 k2-k-1=0.

k?
所以

2 1? 5 1? 5 p? 5. k? 5 2 ,由题设 k>0,所以 2 ,从而

y?
所以直线 l 的方程为

4 1? 5 y2 ? 5 x. x 5 2 ,抛物线 C 的方程为

联赛二试水平训练题 1. A 为原点, 以 直线 AC 为 x 轴, 建立直角坐标系, C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB), 设 则直线 DF 的方程为

x? f ?

f ? xD y ? 0. kxD



x?c?
直线 BC 的方程为 c×①-f×②得

c ? xB y ? 0. ? kxB



1 ? 1 1 [cf ? ?x ? x k ? D B (c-f)x+

? ? ? (c ? f )]y ? 0. ? ?



③表示一条直线,它过原点,也过 DF 与 BC 的交点 G,因而③就是直线 AG 的方程。 同理 ,直线 AE 的方程为

1 ? 1 1 ? [cf ? ? ? ? (c ? f )]y ? 0. k ? xD xB ? ? ? (c-f)x+



③,④的斜率互为相反数,所以∠GAC=∠EAC。 2.证明 假设这样的闭折线存在,不妨设坐标原点是其中一个顶点,记它为 A0,其他顶

?a c ? ?a c ? a i ci A1 ? 1 , 1 ? An ? ? n , n ? , ?b d ? ?b d ? bi d i 都是既约分数, ? 1 1 ?, ? n n ?, 点坐标为: …, 其中 并记 An+1=A0.
若 p 与 q 奇偶性相同,则记 p≡q,否则记 p≠q,下面用数学归纳法证明。 bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。

? a1 ? ?b 当 k=1 时,由 ? 1

? ? c1 ? a12 ? d12 ? ?? ? ?1 ? d12 ? c12 ? ?d ? 2 ? ? 1 ? ,得 b1 ,因为 a1,b1 互质,所以 d1 被
2 2 2 2

2

2

b1 整除,反之亦然(即 b1 被 d1 整除) 。 因此 b1=±d1,从而 b1 ? d1 ? a1 ? c1 .a1 , c1 不可能都是偶数(否则 b1 也是偶数,与互质 矛盾) ;不可能都是奇数,因为两个奇数的平方和模 8 余 2 不是 4 的倍数,也不可能是完全 平方数,因此,a1≠c1,b1≡d1≡1,并且 a1+c1≠0=a0+c0.

am am?1 a cm cm?1 c ? ? , ? ? . bm bm?1 b d m d m?1 d 设结论对 k=1,2,…,m-1?n 都成立,令

?a? ? c ? a c ? ? ?? ? , ? d ? =1,与 k=1 情况类似:a 这里 b d 是既约分数,因为每一段的长为 1,所以 ? b ?
am a am?1 abm?1 ? bam?1 am ? ? ? b bm?1 bbm?1 ≡c,d≡b≡1,又因为 bm ,分数 bm 既约,所以 bm 是 bbm-1
的一个因子,bm≡1. 同理可知 dm≡1,又 am≡abm-1+bam-1(同理 cm≡cdm-1+dcm-1). 因 此 (am+cm-am-1-cm-1) ≡ (abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1) ≡ am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1. 所以 am+cm≠am-1+cm-1,结论成立,于是在顶点数 n+1 为奇数时,an+1+cn+1≠a0+c0,故 折线不可能是闭的。 3.证明 (1)由已知 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0 和 Q0P0,Q0P1 和 P1Q1,P1Q1 和 Q1P1 分 别 相 内 切 于 点 Q0 , P1 , Q1 , 得 C1B0+B0Q0=C1P1 , B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以 及 C0Q1=C0B0+

2

2

B0 P'0 ,四式相加,利用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 P ' 。在 B0P0 或其延长
P' 0 ,从而可知点 P' 0 与点 P0 重合。由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0,圆弧 P0Q0

线上,有 B0P0=B0

的圆心 B0 以及 P0 在同一直线上,所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。 (2)现分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1 引相应相切圆弧的公切线 R1S1,分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1,连接 P0Q1 和 P1Q1,得 等腰Δ P0Q1R1 和Δ P1Q1S1,由此得∠P0Q1P1=π -∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π -(∠P1P0T-∠ Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π -∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得∠

1 P0Q1P1=π - 2 (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0). 1 同理得∠P0Q0P1=π - 2 (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0),所以 P0,Q0,Q1,P1 共圆。
4.证明 引理:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是 2ax0+b. 引理的证明:设(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0),代入抛物线方程得 ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. ① 又
2 y0 ? ax0 ? bx0 ? c

故①可化简成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ② 因为②只有一个实根,所以 k=2ax0+b.引理得证。

?1 ?
设 P(x0,y0) 为 任 一 正 交 点 , 则 它 是 由 线 y=x ? tan

g 2v cos2 ? 1 ?x2 与 y=x ?
2 0

?2 ?
tan

g 2v cos2 ? 2 ?x2 的交点,则两条切线的斜率分别为(由引理)
2 0

k ??

gx0 gx0 ? tan?1 , k 2 ? ? 2 ? tan? 2 . 2 v0 cos ?1 v0 cos2 ? 2

又由题设 k1k2=-1,所以

? gx0 ? tan?1 ? ? v0 cos2 ?1 ?

?? gx0 ?? tan? 2 ? 2 ?? v0 cos2 ? 2 ??

? ? ? ?1. ? ?



y0 gx , ? tan?1 ? 2 0 2 2v0 cos ?1 x0 又 因 为 P(x0,y0) 在 两 条 抛 物 线 上 , 所 以 y0 gx , ? tan? 2 ? 2 0 2 2v0 cos ? 2 代入③式得 x0

? 2 y0 ? ? x ? tan? 1 ? 0

?? 2 y 0 ? ?? ?? x ? tan? 2 ? ? ?1. ? ?? 0 ?

(※)

gx0 y0 gx0 ? 2 2v0 ?t2-t+ x0 2v0 =0 的两根,所以 又因为 tanα 1,tanα 2 是方程 2v 0 , gx0 tanα 1+tanα 2=
2v 0 gx 0



tanα 1?tanα 2=

? y 0 gx 0 ? ? x ? 2v 2 0 ? 0

? ? ? ?。 ⑤

把④,⑤代入(※)式得

? v ? ?y? 0 ? ? 2 4g ? ? ? ? x0 ? 1? 0 ? y ? v0 ?. ? ? 2 2 ? 2g ? v0 v0 v0 ? ? 2 2 2 y 0 ? y 0 ? x0 ? 0 2 2 8g g ,即 16g
5.证明 以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,设∠ADC=θ ,|PD|=r.各点 坐标分别为 D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ ),B(x0,0),P(x1-rcosθ ,rsinθ ).

2

x y ? ?1 x0 x1 tan? 则 lAB 方程为 , x1x+x0?cotθ ?y-x1x0=0,因为 lAB 与圆相切, 即 可得 x1

?

2 x12 ? x0 ? cot 2 ? | x12 ? = x0x1?cotθ -x1x0|,约去 x1,再两边平方得

2 2 x12 ? x0 cot2 ? ? x12 ? 2x1 x0 (cot? ? 1) ? x0 (cot? ? 1) 2 , 所以
2

x0 ?

2(cot ? ? 1) 2 cot ? ? 1 ?x1. ①


又因为点 P 在圆上,所以(rcos ? )2+(x1-rsin ? )2= x1 ,化简得 r=2x1sin ? .

x1 t an? 要证 DP=AP+AE ? 2DP=AD+AE ? 2r= sin ? +x1tan ? -x1 ? 1+sin ? -cos ? =4sin ? cos ? .
③ 又因为 CP ? PB ,所以 CP ? BP ? 0. 因为 BP =(x1-x0-rcosθ ,rsinθ ), CP =(x1-rcosθ ,rsinθ ), 所以 (x1-rcosθ )(x1-rcosθ -x0)+r2sin2θ =0. 把②代入④化简得 ④

x12 [(1 ? sin 2? ) 2 ? (1 ? cos2? ) 2 ] ? x1 x0 (1 ? sin 2? ).
2 ? 2(cos 2? ? sin 2? ) . 由①得 x0=x1? 2 ? 2 cos 2? ? sin 2?



3 代入⑤并约去 x1,化简得 4sin22 ? -3sin2 ? =0,因为 sin2 ? ≠0,所以 sin2 ? = 4 ,又因为 AC CD ? AD =cos ? ,所以 sin ? -cos ? >0. sin ? = AD 1 ? sin 2? ? 1 3 2 ,所以 1+sin ? -cos ? = 2 =4sin ? cos ? ,即③成立。

所以 sin ? -cos ? = 所以 DP=AP+AE。

c 6.证明 设 BC=d,CD=b,BD=c,则 AC=CQ= 2 ,取 BC 中点 M,则 AM ? BC,以 M 为原点, B(?
直线 BC 为 x 轴建立直角坐标系,则各点坐标分别为

d d d ,0) C ( ,0) D ( , b) 2 2 2 , , ,

b 5 2 1 d c A(0, ) S ( d ? c ,0) CR ? (d ? c) R ( ? ,0) 2 , 6 3 3 6 3 ,因为 ,所以点 ,所以

tan DRC ? ?

b 1 (d ? c) 3

?

3b 3b ,t a n A S Q ? ? . (d ? c) 5d ? 4 c

? 因 为 0< ∠ DRC< 2 , 0< ∠ ASQ< π , 所 以 只 需 证 tan ∠ ASQ=tan2 ∠ DRC, 即
6b 3b d ?c ? 2 5d ? 4c ? 3b ? 1? ? ? ?d ?c? , 化简得 9d2-9c2-9b2=0 即 d2=b2+c2, 显然成立。 所以命题得证。


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