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(新课程)高中数学《3.3.3 函数的最大(小)值与导数》评估训练 新人教A版选修1-1


高中新课程数学 (新课标人教 A 版) 选修 1-1 3.3.3 函数的最大(小) 《 值与导数》评估训练
双基达标 (限时 20 分钟) 1.函数 y=x(1-x )在[0,1]上的最大值为( 2 A. 3 9 2 B. 2 9
2 2

). 3 D. 8

4 C. 2 9

解析 y′=1-3

x =0,∴x=± =

3 3 3 .当 0<x< 时,y′>0;当 <x<1 时,y′<0.所以当 x 3 3 3

3 2 3 2 时,y 极大值= 3;当 x=0 时,y=0;当 x=1 时,y=0.所以当 x= 时,ymax= 3. 3 9 3 9

答案 A 2.函数 f(x)=x -3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( A.0≤a<1 C.-1<a<1
2 2 3

).

B.0<a<1 1 D.0<a< 2

解析 ∵f′(x)=3x -3a,令 f′(x)=0,可得 a=x , 又∵x∈(0,1),∴0<a<1,故选 B. 答案 B 3. f(x)=x(ax +bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值, 设 则下列点中一定在 x 轴上 的是( A.(a,b)
2 2

). B.(a,c) C.(b,c)
2

D.(a+b,c)

解析 f′(x)=3ax +2bx+c,由题意知-1,1 是方程 3ax +2bx+c=0 的两根,由根与系 2b 数的关系知 1-1=- ,所以 b=0,故选 A. 3a 答案 A

? π? 4.函数 y=x+2cos x 在区间?0, ?上的最大值是________. 2? ?
π π π π 解析 y′=1-2sin x=0,x= ,比较 0, , 处的函数值,得 ymax= + 3. 6 6 2 6 答案 π + 3 6

? π π? 5.函数 f(x)=sin x+cos x 在 x∈?- , ?的最大、最小值分别是________. ? 2 2?
解析 f′(x)=cos x-sin x=0,即 tan x=1,

1

x=kπ + ,(k∈Z),
π π ? π π? 而 x∈?- , ?,当- <x< 时,f′(x)>0; 2 2? 2 4 ? π π ?π ? 当 <x< 时,f′(x)<0,∴f? ?是极大值. 4 2 ?4?

π 4

?π ? ? π? ?π ? 又 f? ?= 2,f?- ?=-1,f? ?=1, ?4? ? 2? ?2? ?π ? ? π? ∴函数最大值为 f? ?= 2,最小值为 f?- ?=-1. ?4? ? 2?
答案 2 -1
5 4 3

6.求函数 f(x)=x +5x +5x +1 在区间[-1,4]上的最大值与最小值. 解 f′(x)=5x +20x +15x =5x (x+3)(x+1), 由 f′(x)=0 得 x=0 或 x=-1 或 x=-3(舍), 列表:
4 3 2 2

x f′(x) f(x)

-1 0 0

(-1,0) + ?

0 0 1

(0,4) + ?

4

2 625

又 f(0)=1,f(-1)=0,右端点处 f(4)=2 625, ∴函数 y=x +5x +5x +1 在区间[-1,4]上的最大值为 2 625,最小值为 0. 综合提高 (限时 25 分钟) 7.函数 y= +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是( 3 17 A.- 3
2 5 4 3

x3

2

). 64 D.- 3

10 B.- 3

C.-4
2

解析 y′=x +2x-3(x∈[0,2]),令 x +2x-3=0,知 x=-3 或 x=1 为极值点.当 x 17 =1 时,ymin=- ,故选 A. 3 答案 A 8.已知函数 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2, 2]上的最小值为( A.-37
2 3 2

). B.-29 C.-5 D.-11

解析 ∵f′(x)=6x -12x=6x(x-2),由 f′(x)=0 得 x=0 或 2.∵f(0)=m,f(2)=-8 +m,f(-2)=-40+m,显然 f(0)>f(2)>f(-2),∴m=3,最小值为 f(-2)=-37. 答案 A

2

9.函数 f(x)=

4x ,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________. x +1
2 2 2

4(x +1)-2x·4x -4x +4 解析 ∵y′= = 2 2 2 2, (x +1) (x +1) 令 y′=0 可得 x=1 或-1. 8 8 又∵f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)= ,f(-2)=- , 5 5 ∴最大值为 2,最小值为-2. 答案 2 -2 3 2 3 10.如果函数 f(x)=x - x +a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1,1]上的最小 2 值是________. 解析 f′(x)=3x -3x, 令 f′(x)=0 得 x=0,或 x=1. 5 ∵f(0)=a,f(-1)=- +a, 2
2

f(1)=- +a,∴f(x)max=a=2.
5 1 ∴f(x)min=- +a=- . 2 2 1 答案 - 2 11.已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 解 (1)∵f′(x)=-3x +6x+9. 令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,
2 3 2

1 2

f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)>f(-2).
于是有 22+a=20,∴a=-2. ∴f(x)=-x +3x +9x-2. ∵在(-1,3)上 f′(x)>0,∴f(x)在[-1,2]上单调递增.又由于 f(x)在[-2,-1]上单 调递减, ∴f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,∴f(-1)=1+3-9-2 =-7,
3 2

3

即 f(x)最小值为-7. 12.(创新拓展)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x 2 -y+1=0,若 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由 f(x)=x +ax +bx+c, 得 f′(x)=3x +2ax+b, 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0. 2 ?2? 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ?=0. 3 ?3? 可得 4a+3b+4=0. 由①②解得 a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为 x=1,代入 3x-y+1=0 得切点坐标(1,4),∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4,∴c=5. (2)由(1)可得 f(x)=x +2x -4x+5, 2 2 ∴f′(x)=3x +4x-4,令 f′(x)=0,得 x=-2,x= . 3
3 2 2 3 2 3 2





?2 ? 当 x∈[-3,-2),? ,1?时 f′(x)>0,函数是增函数; ?3 ?
2? ? 当 x∈?-2, ?时 f′(x)<0,函数是减函数, 3? ? ∴f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=13. 2 ?2? 95 在 x= 处取得极小值 f? ?= . 3 ?3? 27 95 又 f(-3)=8,f(1)=4.∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27

4


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