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安徽省六校教育研究会2011年高二素质测试数学(理)试题


安徽省六校教育研究会 2011 年高二素质测试 数学试卷(理)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 第 I 卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1 1. 已知集合 M ? ?0, x?, N ? ? ,2?

,若 M ? N ? ?2? ,则 M ? N ? ( C. ?0,

1,2? D.不能确定



A. ?0, x,1,2?

B. ?2,0,1,2?

2. 已知平面向量 a ? (2m ? 1,3),b ? (2, m) , a ∥ b , 且 则实数 m 的值等于( 或?

) A.2

3 3 3 2 B. C. ? 2 或 D. ? 2 2 2 7 3. 从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事 件是( ) A 至少有一个黑球与都是黑球 B 至少有一个红球与都是黑球 C 至少有一个黑球与至少有 1 个红球 D 恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球
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4.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合终边在直线 2 x ? y ? 0 上,

3? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 则 ? ( ? sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 sin(
A.-2 B.2

)
2 3

C.0

D.

5.一个几何体的三视图如图,其中主(正)视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视 图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( ) A.
4 3 ? 3

B.

1 ? 2

C.

3 ? 3

D.

3 ? 6

主视图

左视图

? ? ? ? 6.函数 y ? sin( 2 x ? ) 在区间 ?? , ? ? 的简图是( 3 ? 2 ?
y
? ? 3


y

1
? 6

1
?

俯视图

? ? 2

O
?1


x

?

? ?? O 3 2

?1


? 6

? x

y

y
?
? 3

1
? ? 2
? ? O 6

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O
?1


? x



7.实数的加法运算满足交换律 a+b=b+a 和结合律(a+b)+c=a+(b+c)。 若对于正实数 x 和 y 定义 x ? y ?
xy ,则( x? y

)

A.”*”是可以交换的,但不可以结合 B.”*”是可以结合的,但不可以交换 C.”*”既不可以交换,也不可以结合 D.”*”是可以交换和结合的 8.已知函数 f ( x) ? x 2 ? lg( x ? 1 ? x 2 ), 且 f (2) ? a, 则 f (?2) ? ( A a?4
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) D
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B 4?a
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C 8?a
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a ?8

? ? ? ? ? ? ? ? | a | ? |b | 9.已知非零向量 a , b 满 足| a + b |=| a - b |,则 ? ? 的 |a ?b|

取值范围是( A
网]
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) B
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? 0,1?

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?1,2?

C

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?1,+??

D

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?1, 2 ? ?

[来源:学§科§

10. 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , 且对任意的 x, y ? R ,等式 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) 成立.若数列

{an } 满足 a1 ? f (0) ,且 f (an ?1 ) ?
值为 ( ) A 4021
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1 (n ? N ? ) ,则 a2011 的 f (?2 ? an )
4018 D 4019

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B

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4020

C

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二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.右边程序框图的程序执行后输出的结果是
?x ? 1 ? 12.已知 x、y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 z ? ( x ? 2) 2 ? y 2 的 ?x ? y ? 1 ? 0 ?


D1 A1 F D A B1 E C B

C1

最小值为



13. (右图) 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,E 是 C1B 与 CB1 的交点, 是 BB1 的中点, F 则直线 D1E 与 AF 所成角的余弦值的大小为 。 14.一直线被两直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 和 l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 截得的线段的中点恰好 是直角坐标系的原点,则这条直线的方程 。 15.给出下列命题: ①.在等差数列 ?an ? 中 7a5 ? 5a9 ? 0 ,且 a5 ? a9 ,则使数列前 n 项和 s n 取最小值的 n 等于 5; ② ?ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1, 2 AO ? AB ? AC ,且 OA ? AB ,则向 量 BA 在向量 BC 方向上的投影为 ?
1 ; 2

③ 函数 y ? f ( x) ( x ? R) 的值域是集 合 A ,则函数 y ? f (?2 x ? 1) ( x ? R) 的值域也 是集合 A; ④直线 y ? x ? tan ? ? 1 的倾斜角是 ? ; ⑤若定义在区间 D 上的函数 f ?x ? 对于 D 上任意 n 个值 x1 , x2 , x3 ? xn 总满足
x ? x2 ? ? xn 1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] ? f ( 1 ) ,则 f ?x ? 称为 D 上的凸函数,现已 n n

知 f ( x) ? cos x在(0, ) 上凸函数,则锐角三角形△ABC 中 cos A ? cos B ? cos C 的最 2 大值为

?

3 。其中正确命题的序号是_______。 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤 16. (本题满分 12 分)某市为了争创“全国文明城市” ,市文明委组织了精神文明 建设知识竞赛。 统计局调查中心随机抽取了甲、乙两队中各 6 名组员的成绩,得 分情况如下表所示: 甲组 84 85 87 88 88 90 乙组 82 86 87 88 89 90 根据表中的数据,哪个组对精神文明建设知识的掌握更为稳定? 用简单随机抽样方法从乙组 6 名成员中抽取两名,他们的得分情况组成一个样本, 求抽出的两名成员的分数差值至少是 4 分的概率。
[来源:]

17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab (1) 若
a cos B ? ,且 c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; b cos A

(2)已知向量 m ? (sin A, cos A) , n ? (cosB,? sin B) ,求| m ? 2n |的取值范围.

18. (本小题满分 12 分).如图所示,四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形,PA⊥面 ABCD,PA=2,过点 A 作 AE⊥PB,AF⊥PC,连接 EF. (1) 求证:PC⊥面 AEF. (2) 若面 AEF 交侧棱 PD 于点 G( 图中未标出点 P G),求多面体 P—AEFG 的体积。

F D A E C B

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? t ),且f (0), f (1), f (3) 成等差数列, 点 P 是函数 y ? f ( x) 图像上任意一点,点 P 关于原点的对称点 Q 的轨迹是函数
y ? g ( x) 的图像 。

(1)解关于 x 的不等式 2 f ( x) ? g ( x) ? 0 ; (2)当 x ? ?0,1) 时,总有 2 f ( x) ? g ( x) ? m 恒成立,求 m 的取值范围.

20. (本题满分 13 分)已知圆 C: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 (1) 若平面上有两点 A(1 , 0), B(-1 , 0), P 是圆 C 上的动点, 点 求使 AP ? BP
2 2

取得最小值时点 P 的坐标. (2) 若 Q 是 x 轴上的动点, QM , QN 分别切圆 C 于 M , N 两点 ①若 MN ? 2 3 ,求直线 QC 的方程; ②求证:直线 MN 恒过一定点.

21. (本小题满分 14 分)数列 ?an ? 中, a1 ? 有 an?2 ?
3 1 ? ?a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 。 16 4

1 3 ; a2 ? , 对任意的 n 为正整数都 4 16

(1)求证: 2 n an 是等差数列; (2)求出 ?an ? 的通项公式 an ;
n 3 (3)若 sn ? a1 ?a 2 ?? ? an ( n ? N ? ) ,是否存在实数 a, b 使得 a ? ?? 1? ( ? s n ) ? b 4

?

?

对任意的 n ? N ? 恒成立?若存在,找出 a, b ;若不存在,请说明理由。

安徽省六校教育研究会 2011 年高二素质测试 数学(理)参考答案
一. 选择题 : 本大 题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选 项中, 有且只有一项是符合题目要求的 . 10[来 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 源:Zxxk.Com] 答案 C C D B D A D C D A 二. 填空题: 本大题有 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 请将答案 填写在答题卷中 的横线上. 11 625 ; 12
1 2



13

30 10

; 14

2x ? 5 y ? 0

; 15

③⑤_ 三、解答题( 本大题共 6 小题,共 80 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 16. (本小题满分 12 分)为了淮北市争创“全国文明城市” ,市文明委组织了精神 文明建设知识竞赛。 统计局调查中心随机抽取了甲、 乙两队中各 6 名组员的成绩, 得分情况如下表所示: 84 85 87 88 88 甲组 90[ 来 源:Zxxk.Com] 82 86 87 88 89 90 乙组 (1)根据表中的数据,哪个组对精神 文明建设知识的掌握更为稳定? (2)用简单随机抽样方法从乙组 6 名成员中抽取两名,他们的得分情况组成一个 样本,求抽出的两名成员的分数 差值至少是 4 分的概率。 解: (1)由题意可知, 1 X 甲 ? ?84 ? 85 ? 87 ? 88 ? 88 ? 90 ? ? 87 , ??????1 分 6 1 X 乙 ? ?82 ? 86 ? 87 ? 88 ? 89 ? 90 ? ? 87 ??? 6 ???2 分 1 2 2 S甲 ? [?(84 ? 87 ) 2 ? (85 ? 87 ) 2 ? (87 ? 87 ) 2 ? (88 ? 87 ) 2 ? 88 - 87) ? (90 ? 87 ) 2 ?] ? 4 ( 6 ??3 分 1 20 2 2 S乙 ? [?(82 ? 87 ) 2 ? (86 ? 87 ) 2 ? (87 ? 87 ) 2 ? (88 ? 87 ) 2 ? 89 - 87) ? (90 ? 87 ) 2 ?] ? ( 6 3 ??4 分 20 因为 4 ? ,所以甲组的成绩比乙组稳 3 定。 ???6 分 (2) 从乙组抽取两名成员的分数, 所有基本事件为 (用坐标表示) : (82, , 86) (82,

87)(82,87)(82,89)(82,90)(86,87)(86,88)(86,89)(86, , , , , , , , 90)(87,88) , (87,89) (87,90)(88,89)(88,90)(89,90)共 15 种情 , , , 况。 ??????8 分 则抽取的两 名成员的分数差值至少是 4 的事件包含: (82,86)(82,87)(82, , , 87)(82,89)(82,90)(86,90)共 6 种情 , , , 况。 ??????10 分 由古典概型公式可知,抽取的两名成员的分数差值至少是 4 分的概率 2 P= ??12 分 5 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab (1) 若
a cos B ? ,且 c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; b cos A

(2) 已知向量 m ? (sinA, cosA),n ? (cosB, -sinB),求| m ? 2n |的取值范围. 解:1) ( 在△ABC 中, a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab, 即? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos60o ?
? ?C ?

?
3



a cos B a sin A cos B ? ? ,? sin A cos A ? sin B cos B , 即 ? b cos A b sin B cos A


sin 2 A ? sin 2B,? A ? B 或 A ? B ?

?
2

而 ?C ?

?
3

故△ABC 是等边三角形。 ????6

又 c ? 2 ? S ?ABC ? 3 分 (2)

(m ? 2n) 2 ? m ? 4n ? 4m ? n ? 5 ? 4(sin A cos B ? cos A sin B) ? 5 ? 4 sin( A ? B)

2

2

[来源:]

A? B ? 5 ? 4 sin(

?
3

2? 2? 2? ,A? ? B, (m ? 2n) 2 ? 5 ? 4 sin(A ? B) ? 5 ? 4 sin( ? 2 B) = 3 3 3

? 2 B)

????? 10 分
0?B? 2? ? ? 5? ? , ? ? 2B ? ,? ?1 ? sin( ? 2 B) ? 1,?1 ? (m ? 2n) 2 ? 9 , 3 3 3 3 3

故| m ? 2n |的取值范围 ?1,3? 。

???1 2

分 18. (本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形,PA⊥面 ABCD,PA=2,过点 A 作 AE⊥P B,AF⊥PC,连接 EF. (1)求证:PC⊥面 AEF.

(2)若面 AEF 交侧棱 PD 于点 G(图中未标出点 G),求多面体 P—AEFG 的体积。 [来源:学#科#网] (1)证明:? PA⊥面 ABCD,BC 在面内,∴ PA⊥ BC BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面 PAB,又∵AE 在 面 PAB 内∴ BC ⊥AE? AE⊥PB,BC∩PB=B, ,∴AE ⊥面 PBC 又∵PC 在面 PBC 内? AE⊥PC, ? AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面 AEF. ???5 分 (2)PC⊥面 AEF, ∴ AG⊥PC, ? AG⊥DC ∴PC ∩DC=C AG⊥面 PDC, ∵GF 在面 PDC 内∴AG⊥ GF? △AGF 是直角三角形,由(1)可知△AEF 是 直角三角形, AE=AG= 2 ,EF=GF=
6 3 ∴ S AEF ? , 3 3

P F D A E C B

S AGF ?

3 2 6 2 3 2 3 又 AF= ,PF= ∴ S AEFG? ,∴ 3 3 3 3

1 2 3 2 3 4 VP ? AEFG ? ? ? ? 3 3 3 9

??????12 分

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? t ),且f (0), f (1), f (3) 成等差数列, 点 P 是函数 y ? f ( x) 图像上任意一点,点 P 关于 原点的对称点 Q 的轨迹是函数
y ? g ( x) 的图像

(1)解关于 x 的不等式 2 f ( x) ? g ( x) ? 0 ;[来源:] (2)当 x ? ?0,1) 时,总有 2 f ( x) ? g ( x) ? m 恒成立,求 m 的取值范围. 解:由 f (0), f (1), f (3) 成等差数列,得 2 log2 (1 ? t ) ? log2 t ? log2 (3 ? t ) , 即 (t ? 1) 2 ? t (t ? 3)(t ? 0),? t ? 1

? f ( x) ? l o 2 ( x ? 1), g
[来源:]

P Q 由题意知: 、 关于原点对称, Q( x, y) 函数 y ? g (x) 图像上任一点, P(? x,? y) 设 则

是 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ) 上 的 点 , 所 以 ? y ? log2 (? x ? 1)

, 于 是

g ( x) ? ? l o2 (g ? x) ????2 分 1
(1) 2 f ( x) ? g ( x) ? 0
?1 ? x ? 0 ? ? ?1 ? x ? 0 ?0 ? x ? 1 ?(1 ? x) 2 ? 1 ? x ?

? 此不等式的解集是 ?x 0 ? x ? 1?

??????5 分

(2) y ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log2 (1 ? x) ? log2 (1 ? x), 当 x ? ?0,1) 时
2 f ( x) ? g ( x) ? m 恒成立,

即在当 x ? ?0,1) 时 log2 设

(1 ? x) 2 (1 ? x) 2 ? log2 2 m 恒成立,即 2 m ? , 1? x 1? x

???8 分

? ( x) ?

( x ? 1)2 4 ? (1 ? x) ? ? 4,? 0 ? x ? 1?1 ? x ? 0, ? y ? ? (x)在[0,1)上单增 1? x 1? x

?? ( x)min ? 1,?am ? 1 ? a0 ,?m ? 0

??????12 分

20. (本小题满分 13 分)已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 (1) 若平面上有两点 A(1 , 0), B(-1 , 0), P 是圆 C 上的动点, 点 求使 | AP | 2 ? | BP | 2 取得最小值时点 P 的坐标. (2) 若 Q 是 x 轴上的动点, QM , QN 分别 切圆 C 于 M , N 两点 ①若 MN ? 2 3 ,求直线 QC 的方程; ②求证:直线 MN 恒过一定点. 解: (1)设 P(x , y), 则由两点之间的距离公式知
[来源:Z*xx*k.Com]

AP ? BP = ? x ? 1? ? y 2 ? ? x ? 1? ? y 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? 2 =2 OP 2 ? 2
2 2
2 2

要使 | AP | 2 ? | BP | 2 取得最小值只要使 | OP | 2 最小即可 又 P 为圆上的点,所以 | OP | min ?| OC | ?r = 32 ? 42 ? 2 ? 3 ∴ AP 2 ? BP 2 由? ?
? y? 4 x 3

( r 为 半径)
3

?

?

? 2 ? 32 ? 2 ? 20
min

此时直线 OC : y ? 4 x
? 或? ? 21 ?3 ? 9 12 ? 5 (舍去) ∴点 P 的坐标为 ? , ? ? ?5 5 ? ? y ? 28 ? 5 ? x?

? 解得 ?

?

?? x ? 3 ? 2 ? ? y ? 4 ? 2 ? 4 ?

9 5 ? 12 ?y ? ? 5 ? x?

??? ?4 分 (2) ① 设 Q( x0 ,0) 因为圆 C 的半径 r ?2 , 而 MN ? 2 3 则

?MCN ?

2? , 3 ?MQN ?
? QC
2

?
3
2

而 QM ? QN ,? ?QMN 为等边三角形。
? CN
2

? QN

? 2 2 ? (2 3 ) 2 ? 16, 即? QC ? 4

所求直线 QC 的方程: x ? 3 ???????8 分 ②
? ?CNQ ? ?CMQ ?

?
2

, 则 M , N 是以 QC 为直径的圆上。设 Q(a,0) 则

以 QC 为直径的圆 H 的方程: ( x ?

a?3 2 (a ? 3) 2 ? 16 ) ? ( y ? 2) 2 ? 即 2 4

x 2 ? y 2 ? (a ? 3) x ? 4 y ? 3a ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 21 ? 0 联立,
消去 x 2 , y 2 得 ? a( x ? 3) ? 3x ? 4 y ? 21 ? 0 ,故无论取 a 何值时,直线 MN 恒过一 定点 (3,3) .???????13 分 21. (本小题满分 14 分)数列 ?an ? 中, a1 ? 有 an?2 ?
3 1 ? ?a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 。 16 4 1 3 ; a2 ? , 对任意的 n 为正整数都 4 16

(1)求证: 2 n an 是等差数列 (2)求出 ?an ? 的通项公式 an 。
n 3 (3)若 sn ? a1 ?a 2 ?? ? an , n ? N ? ) ( ,是否存在 a, b 使得 a ? ?? 1? ( ? s n ) ? b 对 4

?

?

任意的 n ? N ? 恒成立?若存在,找出 a, b ;若不存在,请说明理由。
3 1 3 1 ? ?a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1 ? ? ?a1 ? a 2 ? ? ? a n-1 ? 16 4 16 4 1 3 1 1 ? ? ( n ? 2, n ? N ? )两式相减可得 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? a n n ? 2, n ? N ? ,又 a 3 ? 4 16 4 8 1 1 a3 ? a 2 ? ? a1 也成立,所以 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? a n , n ? N ? ,等式两边同乘 2 n ? 2 可得 4 4 1 2 n ? 2 a n ? 2 ? 2 n ? 2 a n ?1 ? ? ? 2 n ? 2 a n ,所以 2n?2 an?2 ? 2n?1 an?1 ? 2n?1 a n?1 ?2n an 4

解: 由题意可知 a n ? 2 ? (1)

所以 2 n an 是等差数列。???????6 分 ( 2 ) 2 2 a 2 ? 2a 1 ? (n? N?)
1 1 1 1 1 n ?1 , 2a1 ? , 所 以 2 n a n ? ? ?n ? 1? ? ?n ? 1?, a n ? n ? 2 4 2 2 4 4 2

?

?

??????8 分

2 3 n ?1 1 2 3 n ?1 ? 4 ? ? ? n ? 2 , s n ? 4 ? 5 ? ? ? n ?3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 n ?1 两式相减可得 s n ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 2 ? n ?3 2 2 2 2 2 3 n?2 所以 s n ? ? n ? 2 ( n ? N ? ) 4 2 n 3 n n?2 所以 ?? 1? ( ? s n ) ? ?? 1? n ? 2 4 2 3 4 5 6 n n?2 各项为 - 3 , 4 , 5 , 6 ? ?- 1? n ? 2 2 2 2 2 2 n ? 2 n ?1 ? n 3 ? n ?1 ? n ? 2 ? 0 恒成立,所以上述数列中奇数项从 - 递增趋向于零,偶数项 n?2 8 2 2 2 1 3 1 n 3 从 递 减趋 向于 零, 所以 存 在 a ? - , b ? 使 得 a ? ?? 1? ( ? s n ) ? b 对 任意 的 4 8 4 4

(3) s n ?

n ? N ? 恒成立。???????14 分


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安徽省六校教育研究会2011年高二素质测试数学
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安徽省六校教育研究会2011年高二素质测试 (数学文)
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安徽省六校教育研究会2011年高二素质测试化学参考答案
说明乙同学的猜想是不合 理的 或 取少量褪色后溶液,加入 FeCl3 溶液 (其他合理答案也可给分) ⑷(2 分)28% 安徽省六校教育研究会 2011 年高二素质测试化学...
安徽省六校教育研究会2011年高二素质测试 (数学文)
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安徽省六校教育研究会2011年高二素质测试语文参考答案
安徽省六校教育研究会 2011 年高二素质测试 语文参考答案一、 (9 分) 1、C 2、B 3、D 二、 (32 分) () (19 分) 4、B 5、B 6、D 7、 (10 ...
安徽省六校教育研究会2011年高二素质测试地理试题
安徽省六校教育研究会2011年高二素质测试地理试题_政史地_高中教育_教育专区。安徽...衡水中学文科学霸高中数学笔记 清华附中文科学霸高中政治笔记 东北师大附中理科学霸...
安徽省六校教育研究会2012年高二素质测试数学试卷(文)(含答案)
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